导数练习题

导数练习题
班级 姓名
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数
2.如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
4.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
5.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
6．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝(　　)
A．0 B．2x C．6 D．9
7.函数y＝的导数是(　　)
A. B.
C. D.
8.若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
9.命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10.函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)
A．a≥ B．a＝1 C．a＝2 D．a≤0
11.函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
12．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0 B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在 D．f′(x0)存在但可能不为0
13．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)
A．2　　 　 B．3
C．4 D．5
14．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)
A．2 B．2，－1 C．－1 D．－3
15．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
16．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
二、填空题
17．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．
18．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
19．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
20．一物体的运动方程是s(t)＝，当t＝3时的瞬时速度为________．
21．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
22．y＝x3－6x＋a的极大值为________．
23．函数y＝xex的最小值为________．
24．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．
三、解答题
25．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x3＋； (2)f(x)＝sinx(1＋cosx)
26．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
27．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：
(1)实数a的值；
(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．
28．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－lnx；(2)y＝.
29．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．
导数练习题答案
班级 姓名
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数(　　)
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化量
D．在区间[x0，x1]上的导数
答案：A
2．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为(　　)
A．6 B．18
C．54 D．81
解析：选B.＝，
s′＝li ＝li (18＋3Δt)＝18，故选B.
3．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是(　　)
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：选B.
4．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处的切线斜率为(　　)
A．4 B．16
C．8 D．2
解析：选C.
5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(　　)
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：选A.
6．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝(　　)
A．0　　　　　　　　　　　　 B．2x
C．6 D．9
解析：选C.∵f′(x)＝2x，∴f′(3)＝6.
7．函数y＝的导数是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A
8．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　)
A．0 B．－1
C．1 D．2
解析：选B.∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，
∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.
∴f′(－1)＝－1.
9．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的．则甲是乙的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－110．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则(　　)
A．a≥ B．a＝1
C．a＝2 D．a≤0
解析：选D.因为y′＝3ax2－1，函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y′＝3ax2－1≤0恒成立，
即3ax2≤1恒成立．
当x＝0时，3ax2≤1恒成立，此时a∈R；
当x≠0时，若a≤恒成立，则a≤0.
综上可得a≤0.
11．函数y＝4x2＋的单调递增区间是(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：选C.∵y′＝8x－＝>0，∴x>.
即函数的单调递增区间为(，＋∞)．
12．设x0为可导函数f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)
A．必有f′(x0)＝0
B．f′(x0)不存在
C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在
D．f′(x0)存在但可能不为0
答案：A
13．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)
A．2　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
解析：选D.f′(x)＝3x2＋2ax＋3，
∵f(x)在x＝－3处取得极值，
∴f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，
∴a＝5.
14．函数f(x)＝－x3＋x2＋2x取极小值时，x的值是(　　)
A．2 B．2，－1
C．－1 D．－3
解析：选C.f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)．
∵在x＝－1的附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，如图所示：
∴x＝－1时取极小值．
15．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)
A．－2 B．0
C．2 D．4
解析：选C.f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，
当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2.
16．(2010年高考山东卷)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　)
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：选C
二、填空题
17．若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.
答案：3
18．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．
解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．
答案：ex(2x＋x2)
19．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，则x0＝________.
解析：2＝li
＝2x0＋4，∴x0＝－1.
答案：－1
20．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：10ln10
21．一物体的运动方程是s(t)＝，当t＝3时的瞬时速度为________．
解析：∵s′(t)＝－，∴s′(3)＝－＝－.
答案：－
22．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′()＝，则a＝________，b＝________.
解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，
f′()＝πa＋＝，得a＝0.
答案：0　－1
23．y＝x3－6x＋a的极大值为________．
解析：y′＝3x2－6＝0，得x＝±.当x<－或x>时，y′>0；当－答案：a＋4
24．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．
解析：设底面边长为x，
则高为h＝，
其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，
S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，
则高h＝＝4 (dm)．
答案：4
三、解答题
25．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x3＋；
(2)f(x)＝sinx(1＋cosx)
解：(1) f′(x)＝3x2－＝3(x2－)，
(2)f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)
＝2cos2x＋cosx－1
26．求过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线．
解：先求曲线y＝3x2－4x＋2在M(1,1)的斜率，
k＝y′|x＝1＝li
＝li (3Δx＋2)＝2.
设过点P(－1,2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式y－2＝2(x＋1)，化为一般式2x－y＋4＝0.
所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.
27．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：
(1)实数a的值；
(2)f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．
解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.
∵f′(x)＝3x2＋2ax，
∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.
(2)由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.
当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －2 ? 2 ? －2 ? 2
从上表可知f(x)在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2.
28．求下列函数的单调区间：
(1)y＝x－lnx；(2)y＝.
解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
其导数为y′＝1－.
令1－>0，解得x>1；再令1－<0，解得0因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，
函数的单调减区间为(0,1)．
29．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，当x＝－1时，取得极大值7；当x＝3时，取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值．
解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可知－1,3是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根，
则有解得
∴f(x)＝x3－3x2－9x＋c.
由f(－1)＝7，得－1－3＋9＋c＝7，∴c＝2.
∴极小值为f(3)＝33－3×32－9×3＋2＝－25.