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北师大版数学九年级上册2.2二次函数的图象与性质（4）导学案
课题
2.2
二次函数的图象与性质（4）
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；
3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．
重点
难点
配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
y=a(x-h)2+k(a>0）顶点坐标是？对称轴是？
合
作
探
究
探究一：
我们已经认识了形如
y=a（x-h）2
+k
的图象和性质，你能研究y=2x2-4x+5函数的图象和性质吗？
化成
a（x
-
h）2
+
k的形式呗.
探究二：
例1
求
y=2x2-
8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y
=
3x2-6x+7；
（2）y
=2x2-12x
+
8.
探究三：
例2
求二次函数
y=ax2+bx+c
图象的对称轴和顶点坐标．
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用表示，而且左、右两条抛物线关于
y
轴对称．
图
2-6
钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流．
当
堂
检
测
1、若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+1
B．y=x2-1
C．y=-x2+1
D．y=-x2-1
2、如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2-x-2
B．y=-x2-x-2或y=x2+x+2
C．y=-x2+x+2
D．y=x2-x-2或y=-x2+x+2
3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的是_________（填编号）
4、如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点C的坐标；
（3）求四边形ACBD的面积.
课
堂
小
结
参考答案
自主学习：顶点坐标是（h，k）对称轴是x=h
合作探究：
探究一：
y=2x2-4x+5
=2（x-1）2+3
顶点坐标（1,3）
对称轴x=1
探究二：
解：y
=
2x2-8x+7=2（x2-4x）+7
=2（x2-
4x+4）-8
+7
=
2（x-2）2
-
1.
因此，二次函数y=2x2
-
8x+7
图象的对称轴是直线x=2，
顶点坐标为（2，-1）
(1)对称轴x=1,顶点坐标(1,4)
(2)对称轴x=3,顶点坐标(3,-10)
探究三：
解：把二次函数
y=ax2+bx+c
的右边配方，得
因此，二次函数
y=ax2+bx+c
图象的
对称轴是直线
顶点坐标是
做一做
（1）分析：可以将函数
配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离。
解：
这条抛物线的顶点坐标是（-20,1），
可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
（2）
且左右两条钢缆关于y轴对称，
∴右边的钢缆的表达式为
因此，其顶点坐标是（20,1）.
∴两条钢缆最低点之间的距离为
|-20-20|=40(m)
当堂检测：
1、解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1），
把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-1），
即y=-x2+1．
故选C。
2、解：设抛物线解析式为y=a（x-2）（x+1），
∵OC=2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，-2），
把C（0，2）代入y=a（x-2）（x+1）
得a?（-2）?1=2，
解得a=-1，
此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），
即y=-x2+x+2
把C（0，-2）代入y=a（x-2）（x+1）
得a?（-2）?1=-2，
解得a=1，
此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），
即y=x2-x-2．
即抛物线解析式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2．故选D
3、②③
解：根据图象可知
当x=1时，y=a+b+c＞0，故①错误；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，故②正确；
∵抛物线开口朝下，∴a＜0，
∵对称轴x=（0＜x＜1），
∴2a＜-b，
∴b+2a＜0，故③正确；
∵对称轴x=
（0＜x＜1），
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故④错误．
4、（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x-6），
把D（0，4）代入得a×（-2）×（-6）=4，
解得a=
所以二次函数的解析式为
y=
所以该抛物线的顶点C的坐标为
（3）
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2.2
二次函数的图象与性质（4）
数学北师大版
九年级下册
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
复习导入
新知讲解
我们已经认识了形如
y=a（x-h）2
+k
的图象和性质，你能研究y=2x2-4x+5
函数的图象和性质吗？
化成
a（x
-
h）2
+
k的形式呗.
y=2x2-4x+5
=2（x-1）2+3
顶点坐标（1,3）
对称轴x=1
新知讲解
例1
求
y=2x2-
8x+7图象的对称轴和顶点坐标．
解：y
=
2x2-8x+7=2（x2-4x）+7
=2（x2-
4x+4）-8
+7
=
2（x-2）2
-
1.
因此，二次函数y=2x2
-
8x+7
图象的对称轴是直线x=2，
顶点坐标为（2，-1）
新知讲解
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y
=
3x2-6x+7；
（2）y
=2x2-12x+8.
做一做
(1)对称轴x=1,顶点坐标(1,4).
(2)对称轴x=3,顶点坐标(3,-10).
新知讲解
例2
求二次函数
y=ax2+bx+c
图象的对称轴和顶点坐标．
新知讲解
解：把二次函数
y=ax2+bx+c
的右边配方，得
新知讲解
因此，二次函数
y=ax2+bx+c
图象的
对称轴是直线
顶点坐标是
新知讲解
如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用
表示，而且左、右两条抛物线关于
y
轴对称．
y/m
x/m
桥面
-5
0
5
10
图2-6
做一做
新知讲解
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？你有哪些计算方法？与同伴进行交流．
y/m
x/m
桥面
-5
0
5
10
图2-6
新知讲解
（1）分析：可以将函数
配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离.
解：
新知讲解
这条抛物线的顶点坐标是（-20,1），
可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m.
新知讲解
且左右两条钢缆关于y轴对称，
∴右边的钢缆的表达式为
（2）
y/m
x/m
桥面
-5
0
5
10
图2-6
新知讲解
因此，其顶点坐标是（20,1）.
∴两条钢缆最低点之间的距离为
|-20-20|=40(m)
（2）
y/m
x/m
桥面
-5
0
5
10
图2-6
课堂练习
1、若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（ ）
A．y=x2+1
B．y=x2-1
C．y=-x2+1
D．y=-x2-1
C
课堂练习
解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-1），
把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-1），
即y=-x2+1．
故选C.
课堂练习
2、如果抛物线经过点A（2，0）和B（-1，0），且与y轴交于点C，若OC=2．则这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=x2-x-2
B．y=-x2-x-2或y=x2+x+2
C．y=-x2+x+2
D．y=x2-x-2或y=-x2+x+2
D
课堂练习
解：设抛物线解析式为y=a（x-2）（x+1），
∵OC=2，
∴C点坐标为（0，2）或（0，-2），
把C（0，2）代入y=a（x-2）（x+1）
得a?（-2）?1=2，
解得a=-1，
此时抛物线解析式为y=-（x-2）（x+1），
即y=-x2+x+2.
课堂练习
把C（0，-2）代入y=a（x-2）（x+1）
得a?（-2）?1=-2，
解得a=1，
此时抛物线解析式为y=（x-2）（x+1），
即y=x2-x-2．
即抛物线解析式为y=-x2+x+2或y=x2-x-2．
故选D
课堂练习
3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；
④abc＞0，其中正确的是_________（填编号）
②③
课堂练习
解：根据图象可知
当x=1时，y=a+b+c＞0，故①错误；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，故②正确；
∵抛物线开口朝下，∴a＜0，
∵对称轴x=
（0＜x＜1），
∴2a＜-b，
∴b+2a＜0，故③正确；
课堂练习
∵对称轴x=
（0＜x＜1），
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故④错误．
拓展提高
4、如图，已知二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的顶点C的坐标；
（3）求四边形ACBD的面积.
拓展提高
（1）设二次函数的解析式为y=a（x-2）（x-6），
把D（0，4）代入得a×（-2）×（-6）=4，
解得a=
所以二次函数的解析式为
y=
拓展提高
(2)
所以该抛物线的顶点C的坐标为
拓展提高
(3)
课堂总结
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
板书设计
课题：2.3
二次函数的图象与性质（4）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、y=ax2+bx+c的
图象与性质
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P41练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P41练习第3、4题
