第4课时 用公式法解一元二次方程
姓名: 班别: 学号:
新课学习：
已知a、b、c为常数且，求方程的解？
（教师用配方法演示求根的过程）
一元二次方程（）的求根公式：
二、新课练习1：
① ②
解：
解：∵a= b= c= ∵a= b= c=
△== = △== =
∴= ∴
∴
小结用公式法解一元二次方程的步骤:
把方程化为一般形式;
计算△的值;
代入公式求出x.
③ ④
解：一般形式为：
⑤ ⑥
三、巩固练习：A组
① ②
③ ④
⑤ ⑥
B组：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
课后作业
1、x2 – 5x – 6=0 2、x2 – 3x +2=0
3、y2 －y －1=0 4、=0
5、=0 6、=0
7、=0 8、=0第8课时 一元二次方程根与系数关系
课前练习：
1、 化为一般形式 。其中，二次项系数为
一次项系数为 、常数项为 。
2、已知（、b2－4ac≥0），则方程的两根分别为：
＝ ＝
新课学习：（同学们先思考，教师再总结）
1．一元二次方程的根与系数的关系：
已知：、是（）的两根，求、？
解:=
=
即学即练：
1、 的两根为、，则= ，=
2、的两根为、，则= ，=
3、的两根为、，则= ，=
4、的两根为、，则= ，=
5、的两根为、，则= ，=
6、的两根为、，则= ，=
例1、已知方程的一个根为2，求它的另一个根及k的值？
解：
分层巩固练习：
A组：
1、一元二次方程的两根和等于（ ）
A、 B、 C、0 D、3
2、2是关于x的方程的一个根，则m=
3、已知方程的一个根为1，求它的另一个根及k的值？
B组：
1、如果方程的两根互为相反数，那么k=
2、若方程x2＋mx＋3＝0的一根为1，则它的另一根和m的值分别是（ ）
A、3，4 B、3，－4 C、－3，－4 D、－3，4
3、下列方程中，两根之和为2的是（ ）
A、x2＋2x－3＝0 B、x2－2x＋3＝0
C、x2－2x－3＝0 D、x2＋2x＋3＝0
4、下列一元二次方程中，两根分别为3，1的是（ ）
A、x2＋4x+3＝0 B、x2－4x+3＝0 C、x2＋4x－3＝0 D、x2－4x－3＝0
5、一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－x＋3＝0所有实数根的和为（ ）
A、2 B、－4 C、4 D、3
6、已知方程的一个根为1，求它的另一个根及k的值？
7、一元二次方程的两根为、，则：
= ； = ；
=
=
★x 1－=
C组：
已知关于x的方程x2－2x＋a＝0。
如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围：
如果此方程的两个实数根为x 1，x 2，且满足，求a的值
解：
2、已知关于x的一元二次方程x2－6x－k2＝0 (k为常数)。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x 1，x 2为方程的两个实数根，且x 1＋x 2=14，
请求出方程的两个根及k的值
这实在是太重要了，要牢牢记住哦！！
一元二次方程根与系数关系
如果（）的两个根是、，那么
= ，=
温馨提示：把2代入求k，利用根与系数的关系求x2第3课时 用配方法解一元二次方程
姓名: 班别: 学号:
一、课前复习：解下列方程：
① ②
二、新课学习：运用“配方法”解方程
（方法一）解： ------------------ 将二次项系数化为1
------------------ 将常数项移到方程的右边
---------------方程两边同时加上一次项系数一半的平方
------------------化为“(x±m)2＝n（n≥0）”的形式
------------------利用“直接开平方法”解方程
∴ ，
三、新课练习1：
① ②
③
四、新课练习2：
① ②
五、巩固练习：
1、填空题：
(1) x2 + 6x + = (x )2 (2) x2 －4x + = (x )2
(3) x2+3x+ = (x )2 (4) x2 –x + = (x )2
(5) x2＋x＋ ＝ （x ）2；
2、解方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
课外作业；
①x2－4x－12=0 ②t2 +2t－8=0
③2x2 +8x + 2=0 ④3x2 – 12x – 6=0
⑤x2 – 3x +2=0 ⑥=0
⑦ ⑧第5课时 因式分解法解一元二次方程（1）
【课前练习】
因式分解各式
（1）x2－x＝ ； （2）3x(x+2)－5(x+2)＝
【新课讲解】
1．如果ab＝0，那么，a＝ 或 b＝ .
已知x（x－1）＝0，则x＝ 或x－1＝ ，∴x1＝ ，x 2＝ .
已知，则 或 ，∴x1＝ ，x 2＝
2．例题：解下列一元二次方程：
（1）x2－x ＝0； （2）3x(x + 2)＝5( x + 2).
解 ：
（1） （2）把方程右边化为零：
x( )＝0 3x(x＋2) ＝0
∴x＝0或 ＝0 (x＋2) ＝0
∴x1＝ ，x 2＝ . ＝0或 ＝0
∴
即学即练：
（1）2 x2 + x ＝0 （2）x(x－2) + x－2 = 0.
（3）
【课堂练习】
A组 解下列方程：
（1）x(x－2)＝0； （2）5x2 + 4x＝0；
（3）x2＝x； （4）(y – 1) + 2y( y－1)＝0
（5）y2＝17y （6）5x2＋x＝0；
（7）3(x－1)＋x(x－1)＝0 （8） (y – 1) 2＝2( y－1)
（9） (x－1)(x－3)＝－1 （10）
B组
用适当的方法解下列方程：
（1）4x2－25＝0 （2）
（3） （4） x2 – 3x＝0；
（5） （6） (1－y) +2y(y－1)＝0
C组
（1）(x－1)2+(2x－2)＝0； （2）(y – 1)2+ 6( y－1)＋9＝0；
（3）x(x + 10)＝－25
PAGE
1第7课 一元二次方程的根的判别式
班别： 姓名： .
新课引入：
由于用配方法解方程： （）
配方后变形为：
小结：一元二次方程 （）根的判别式
△＞0 <=> 方程有 实数根；
△ 0 <=> 方程有 实数根；
△ 0 <=> 方程 实数根；
当△ 0时，方程有两个实数根.
即学即练：
1、 已知, 计算根的判别式：
2. 已知 ，计算根的判别式：
2、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） （2）
解：∵ = －4× = ＞0 解：原方程化为一般形式得：
∴ 原方程 实数根。 ∵ = ∴
（3）
例：已知方程,当k取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
解：
A组：
1、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） （2）
解：∵= 解：
∴ 原方程 实数根。
（3）
2、对于方程叙述正确的一项是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等实数根 C、没有实数根 D、无法确定
3、下列方程中无实数根的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、关于x的方程（k为实数）（ ）
A、无实数根 B、有两个相等的实数根
C、有两个不相等的实数根 D、有无实数根不能确定
6、若有实数根；则m的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若方程有两个相等的实数根，则b=
8、已知方程：，m取什么值时，方程有两个实数根？
B组：
1、关于x的方程的根的情况是（ ）
A、有2个不相等的实根 B、有2个相等的实根 C、没有实数根 D、不能确定
2、一元二次方程（）中，
当a 时，有两个实数根。当a 时，没有实数根。
3、若方程有两个相等的实数根，则b=
4. 方程中，a = ，b = ，c = ，= 。
5、判断关于x的方程 的实数根的情况。
C组：
1、k取什么值时，方程有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。
2、已知方程没有实数根，求证：一元二次方程式必有两个不相等的实数根。
由于一元二次方程（）的根的情况可由来判定，因此把 叫做一元二次方程的根的判别式，
用“△”来表示，即第2课时 直接开平方法
姓名：_____________
会用直接开平方法解形如ax =c或 a(x+n) =c一元二次方程
【教学过程】
一、复习
1、已知：x2 = 4 ，则x1 = 、x2 =
2、x2 = a (a≥0), x = ，即x1 = 、x2 =
二、新课学习
下面我们解形如ax=c或 a（x+n）2 =c的一元二次方程：
例题：解下列方程：
（1）x2－9=0 （2） 4t2－9=0
（3）（x+3）2=2 （4） 2（x－1）2-8=0
解：（1）∵x2－9=0 （2）∵4t2－9=0
∴x2= . ∴4t2=
∴x=________ ∴t2=
∴ ； ∴t = .
∴ ；
（3）∵（x+3）2=2 （4）原方程可化为：
∴x+3=± 2（x－1）2 =
∴x+3= 或x+3= ∴
∴ ；
以上解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。如 或 形式的一元二次方程能用直接开平方法来解。
【课堂练习】
A组：
1、方程x2=16的根是x1 = ；x2 =
2、用直接开平方法解下列方程：
（1）x2 =1 （2）x2 = 25
（3）x2－9 = 0 （4）
（5）4x2 = 25 （6）4x2 －49 = 0
（7）3x2－75=0 （8）(2x－3)2 = 1
B组、
1、方程2y2=0的根是y1 = 、y2 =
2、请你写出一个能用直接开平方法解的一元二次方程为
3、－1是关于x的方程ax2－b=0 的一个根，则a－b=
6、解下列方程
（1）x2 = （2）
（3）12y2－25=0 （4）（x+2）（x+2）=9
（5）1－x2 = 0 （6）(x + 1)2 －4= 0
（7）2（x － 1）2 －18 = 0
C组、
1、方程x2 =－9的根为（ ）
A、±3 B、3 C、-3 D、无解
2、若方程（x－a）2 = b有根，则b为
3、解方程:
（1）、 = 9 （2）、
（3）、
4、已知一元二次方程的一根为1，求m的值。
PAGE第6课时 一元二次方程的解法复习
用直接开方解下列方程：
（1）x2－4=0 （2）3t2－27=0 （3）3（x+3）2=2 （4）2（x-1）2-8=0
二、用因式分解法解下列方程：
(1) x( x- 2 ) = 0 ( 2 ) 5x2 + 4x = 0 (3) ( y – 1 ) + 2y( y-1) = 0
三、用配方法或公式法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
四、用适当的方法解下列方程：
(1) y2 -17y = 0 (2)
（3）4x2 = 25 （4）4x2 －49 = 0
(5) (1-y ) + 2y( y-1) = 0 (6) ( y – 1 ) 2= 2( y-1)
（7）x2 = （8）
（9）2x2－4x－12=0 （10）t2 +2t－8=0
（11）（x+2）（x+2）=9 （12）1- x2 = 0
（13）x2 +3x + 2=0 （14）x2 – 5x – 6=0
（15）x2 – 3x +2=0 （16）=0
（17）12y2－25=0 （18）
(19) x2 = x (20) x2 +3x = 0第9课时 一元二次方程的应用(1)
一、预备知识：（只列出式子，不用计算结果）
（１）某学生第一次测验的成绩为５０分，若平均每次测验成绩的增长率为１０％，则第二次测验成绩为 分，第三次的测验成绩为 分。
（２）某农场的粮食产量第一年为2000吨，平均每年的增产的百分率为９％，那么第二年的粮食产量为 吨；第三年的粮食产量为 吨。
（3）某商店1月份的营业额是2000元，平均每月的增长率为x，则2月份的营业额
为 元；3月份的营业额为 元。
二、新课学习：
例１：某农场的粮食在两年内从３０００吨增长到３６３０吨，平均每年增产的百分率是多少？
例2、一种商品经过两次降价，由每盒６０元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
课堂练习
A组：
1、某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%）
2、阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？（精确到0.1%）
解：设平均每年增长的百分率为x，根据题意，得
B组
1、两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1乙种药品的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为 元，两年后甲种药品成本是 元。（用用含x的代数式表示），于是有：
2、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？
分析：（１）设每轮传染中平均一个人传染了为x个人,
第一轮后共有 人患了流感, (用含x的式子表达)
第二轮后共有 人患了流感(用含x的式子表达)
解: 设每轮传染中平均一个人传染了为x个人， 根据题意, 得: （请完成列式、解方程、答数等步骤）第7课 一元二次方程的根的判别式（13、14）
班别： 姓名：
新课引入：
由于用配方法解方程： （）
小结：一元二次方程 （）根的判别式
△＞0 <=> 方程有 实数根；
△ 0 <=> 方程有 实数根；
△ 0 <=> 方程 实数根；
当△ 0时，方程有两个实数根.
例：已知方程,当取什么值时，方程有两个不相等的实数根？
解：
A组：
1、不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1） （2）
解：∵a=____，b=___, c=____ 解：
=
∴ 原方程 实数根。
（3）
2、对于方程叙述正确的一项是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等实数根 C、没有实数根 D、无法确定
3、下列方程中无实数根的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、关于x的方程（k为实数）（ ）
A、无实数根 B、有两个相等的实数根
C、有两个不相等的实数根 D、有无实数根不能确定
5、关于x的方程的根的情况是（ ）
A、有2个不相等的实根 B、有2个相等的实根 C、没有实数根 D、不能确定
6、若有实数根；则m的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若方程有两个相等的实数根，则b=
8、已知方程：，m取什么值时，方程有两个实数根？
B组：
1、一元二次方程（）中，
当a 时，有两个实数根。当a 时，没有实数根。
2、方程（）的根的判别式△= 。
3、若方程有两个相等的实数根，则b=
4、方程（）的根的判别式△= 。
5、求证关于x的方程有两个不相等的实数根。
6、若关于x的方程（m2－1）x2－2（m+2）x+1=0有实数根；
求m的取值范围；
C组：
1、k取什么值时，方程有两个相等的实数根？并求出这时方程的根。
2、已知方程没有实数根，试问：一元二次方程式必有两个不相等的实数根吗？
究竟是谁决定了一元二次方程根的情况
由于一元二次方程（）的根的情况可由来判定，因此把 叫做一元二次方程的根的判别式，
用“△”来表示，即
陷井就在眼前：a，小心呵！第1课时 一元二次方程
班别： 姓名：
一、复习
1、判断下列方程哪些是一元一次方程
① x+2=0 ② x+2x+1=0 ③ x+=0
2、一元一次方程含有 个未知数，未知数的次数最高是 次。
3、请写出一个一元一次方程
4、把x+2=2(x+1)化成一元一次方程的一般形式(bx+c=0)为
5、二次三项式3x－5x－12的二次项为 ，一次项为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数为 ；
二、新课
形如x+2x+1=0, 3x－5x=12， 2 x－1=0, 2x=3 x等都是一元二次方程。
（1）归纳：一元二次方程含有 个未知数，未知数的次数最高是 次。
（2）一般形式：
方程 x+2x+1=0, x－2x=0，2 x－1=0都是一元二次方程的一般形式。
即学即练:
1、下列方程属于一元二次方程的有（ ）
①x+2 x =0 ②x－x+1=0 ③ x+－2=0 ④（x－1）=5 ⑤x－y=2
A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、①③⑤
2、若方程为一元一次方程，则的取值范围为
若方程为一元二次方程，则的取值范围为
3、若方程是一元二次方程，则a=_______
例题1：把方程化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，及常数。
解：去括号，得
即学即练：
1.填空
二次项 一次项 二次项系数 一次项系数 常数
x+2x+1=0
x－3x=0
2 x－1=0
（）
（m+1）x2－2 x－1=0(m+1）
2、关于x的方程mx2－3x= x2+2
（1）把方程化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，及常数。
（2）方程是一元二次方程的条件是什么？
解：（1）移项，得
合并同类项，得：
二次项系数：_____________一次项系数：_____________，常数：_____________
(2)
三．巩固练习：
A组：
1、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B. C． D.
2、一元二次方程的一次项系数为（ ）
A．3 B. 5 C. D. 0
3、把一元二次方程－3x2 + 2x – 1 = 0的二项系数变为正数，而方程的根保持不变的方程为（ ） A. 3x2 + 2x – 1 = 0 B. 3x2 – 2x +1 = 0 C. 3x2 – 2x – 1 = 0 D. 3x2 + 2x +1 = 0
B组：
1、若axb-2 －5x－1= 0是关于x的一元二次方程，则a、b的值为（ ）
A .a≠0, b = 4 B. a≠3, b = 2 C . a≠3, b = 4. D. a≠－3, b =4
2、、把方程 x(2x－1)－3x(x－2)=0化成一般形式，并写出二次项系数，一次项系数，及常数。
3、已知方程，
（1）当m为何值时，原方程为一元一次方程；
（2）当m为何值时，原方程为一元二次方程。
4、把关于x的方程(mx – 1)2= n(x +3) – 2(m≠0) 化成一般形式，并写出二次项、一次项、二次项系数，一次项系数，及常数。
C：
1.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
2.关于x的方程(mx – 1)2= n(x +3) – 2(m≠0)化为一般形式后为x2－ 2x +3 =0，求m、n的值。
一元二次方程一般形式：ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是已知数，a≠0)
a叫做二次项系数
b为一次项系数
c为常数项.
PAGE
2
