人教高中数学必修一3.1.1《方程的根与函数的零点》课件（22张ppt）

(共22张PPT)
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修1
3.1.1
《方程的根与函数的零点》
教学目
标
使学生了解零点的概念，理解方程的根与零点的关系，会利用函数的图象指出函数零点的大致区间。
教学重点：方程的根与函数的零点的关系。
教学难点：求函数零点的个数问题
3.1.1方程的根与函数的零点
等价关系
判断函数零点或相
应方程的根的存在性
例题分析
课堂练习
小结
布置作业
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y=
x2－2x－3
y=
x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y=
x2－2x+3
方程ax2
+bx+c=0
(a≠0)的根
函数y=
ax2
+bx
+c(a≠0)的图象
判别式△
=
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与
x
轴的交点
有两个相等的
实数根x1
=
x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0)
,
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1
、x2
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
函数零点的定义：
等价关系
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
[－2,1]
f(－2)>0
f(1)<0
f(－2)·f(1)<0
（－2,1）x＝－1
x2－2x－3＝0的一个根
[2,4]
f(2)<0
f(4)>0
f(2)·f(4)<0
（2,4）x＝3
x2－2x－3＝0的另一个根
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
[0.5
,
1.5]
f(0.5)<0
f(1.5)>0
f(0.5)·f(1.5)<0
（0.5
,
1.5)
x＝1
lgx=0的一个根.
x
y
0
1
2
1
.
.
.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。
x
y
0
a
b
.
.
x
y
0
a
b
x
y
0
a
b
.
.
.
.
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例题1
求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
2
3
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
（3）
x2
＝4x－4；
（4）5
x2
＋2x＝3
x2
＋5.
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=
－x3－3x+5；
（2）f(x)=2x
·
ln(x－2)－3；
（3）f(x)=ex－1+4x－4;
（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
有
没有
有
没有
有
没有
有
没有
x
y
0
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
4
8
6
2
－2
4
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
(1)
－x2＋3x＋5＝0
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)=
2x2－4x
＋3
,
作出函数f(x)的图象,如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
(2)
2x(x－2)＝－3
1(3)解：x2
＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)=
x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
它与x轴只有一个交点，所以方程x2
＝4x－4有两个相等的实数根。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
6
4
(3)
x2
＝4x－4
1(4)解：5x2
+2x＝3x2
+5可化为
2x2
＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5
,
作出函数f(x)的图象，
如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－3
－3
－4
3
－6
－5
4
－4
－2
－2
.
.
.
.
.
它与x轴有两个交点，所以
方程5x2
+2x＝3x2
+5有两个不
相等的实数根。
(4)
5
x2
＋2x＝3
x2
＋5
2(1)解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)=
－x3－3x+5在区间(1,
1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1,
1.5)上有
且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
2(1)
f(x)=
－x3－3x+5
.
.
.
.
.
2(2)解：作出函数的图象，如下：
.
.
.
.
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x
·
ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x)
=2x
·
ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
-3
-2
4
2(2)
f(x)=2x
·
ln(x－2)－3
2(3)解：作出函数的图象，如下：
.
.
.
.
因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)=
ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x)
=
ex－1+4x－4是(－∞
，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
2(3)
f(x)=ex－1+4x－4
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
2(4)解：作出函数的图象，如下：
x
0
－80
－1
－5
5
y
2
40
1
20
4
3
－60
－40
－20
－4
－3
－2
因为f(－4)＝－4<0,f(－
3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0,
f(3)＝3>0,
所以f(x)=
3(x+2)(x
－
3)(x+4)+x
在区间
(－4,－3
)、
(－3，－2,)、
(2,3
)上各有
一个零点。
2(4)
f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
小结与思考
函数零点的定义
等价关系
函数的零点或相应方程的
根的存在性以及个数的判断