沪教版（上海）数学九年级第二学期-27.4 切线长定理 课件（16张）

(共16张PPT)
切线长定理
过⊙O外一点作⊙O的切线
O
·
P
A
B
O
作法:
1.连接OP.
2.以OP为直径作圆,设此圆交⊙O于点A、B.
3.连接PA、PB.
则直线PA、PB为所求.
一、切线长定义
从圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点和切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
P
A
B
定理形成
切线与切线长的区别与联系：
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论.
A
P
O
。
B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点,
∴OA⊥PA，OB⊥PB
,
即∠OAP=∠OBP=90°.
∵
OA=OB，OP=OP,
∴Rt△APO≌Rt△BPO
(HL)
∴
PA
=
PB
,
∠APO=∠BPO.
试用文字语言叙述你所发现的结论
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条
切线的夹角.
二、切线长定理
A
P
O
。
B
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提
供了新的方法
我们学过的切线，常有
性质：
1、切线和圆只有一个公共点；
2、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3、切线垂直于过切点的半径；
4、从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，
圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
四个
A
P
O
。
B
M
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
OP垂直平分AB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,
∴PA
=
PB
,
∠APO=∠BPO.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线,
∴OP垂直平分AB.
A
P
O
。
B
若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点,
∴PA
=
PB
,
∠APO=∠BPO.
又∵PC=PC.
∴
△PCA
≌
△PCB
,
∴AC=BC.
C
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C.
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系.
OA⊥PA，OB
⊥PB，AB
⊥OP
.
（3）写出图中所有的全等三角形.
△AOP≌
△BOP，
△AOC≌
△BOC，
△ACP≌
△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP
,
△AOB
.
（5）若PA=4、PD=2，求半径OA.
（2）写出图中与∠OAC相等的角.
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
。
P
B
A
O
（3）连结圆心和圆外一点.
（2）连结两切点;
（1）分别连结圆心和切点;
反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形.
例2、
已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA分别与⊙O相切于E、F、G、H.
求证：AB+CD=AD+BC。
D
A
B
C
O
G
H
E
F
证明:∵AB、BC、CD、DA都与⊙O相切,E、F、G、H是切点.
∴AE=AH,BE=BF,CG=CF,DG=DH.
∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
即
AB+CD=AD+BC.
结论:
圆外切四边形的对边和相等.
例3.如图所示PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm.
(1)求△PCD的周长．
(2)
如果∠P=46°,求∠COD的度数.
C
·
O
P
B
D
A
E
解:(1)连接OA、OB、OE,
∵PA、PB分别是⊙O的切线,A、B、E为切点.
∴△PCD的周长=PC+PD+DC=PC+PD+DA+CB
=PA+PB=7+7=14(cm)
.
∴DA=DE,CB=CE,
∴DC=DE+CE=DA+CB.
∴OA⊥PA,OB⊥PB,OE⊥DC.
C
·
O
P
B
D
A
E
(2)∵PA、PB分别是⊙O的切线,
∴DA=DE,∠ADO=∠EDO.
在四边形APBO中,∠AOB=180°－∠P=134°
∴DA、DE
为⊙O的切线,
∴∠PAO=∠PBO=90°.
又∵DO=DO，∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD.
同理
∠BOC=∠EOC.
∴∠DOC
=∠DOE+∠COE=
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说明理由。
F
O
E
D
P
B
A
知识拓展
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，∠P=70°,求：△PEF的周长和∠EOF的大小。
E
A
Q
P
F
B
O
1.切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
小
结：
E
A
P
O
。
B
C
D
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
∴PA
=
PB
,∠OPA=∠OPB,
OP垂直平分AB
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
2.切线长定理的应用.