人教版数学八年级下册 第18章 平行四边形单元测试试题（一）（Word版 含解析）

平行四边形单元测试试题（一）
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（　　）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
2．在平面直角坐标系中，以点O（0，0），A（1，1），B（3，0）为顶点，构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（　　）
A．（﹣3，1） B．（4，1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
3．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°
4．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
5．如图，在平行四边形ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有（　　）
A．4个 B．5个 C．8个 D．9个
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（　　）
A．24 B．28 C．32 D．36
7．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE＝DF，②∠DAF＝15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF＝EF，⑤S△CEF＝S△ABE+S△ADF，其中正确的结论有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AB＝．则AF的长为（　　）
A． B．2 C．3 D．
9．如图，四边形ABCD中，AB＝1，CD＝4，M、N分别是AD、BC的中点，则线段MN的取值范围是（　　）
A．3＜MN＜5 B．3＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤
10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，连接OE，则下面的结论：其中正确的结论有（　　）
①△DOC是等边三角形；
②△BOE是等腰三角形；
③BC＝2AB；
④∠AOE＝150°；
⑤S△AOE＝S△COE．
A．2 个 B．3个 C．4 个 D．5个
二．填空题
11．在?ABCD中，AB＝5，AC＝，BC边上的高为4，则BC＝　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AD边的中点，菱形ABCD的周长为64，则OE的长为　 　．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，延长BA至E，使AE＝AB，以AE为边向右侧作正方形AEFG，O为正方形AEFG的中心，若过点O的一条直线平分该组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N，则线段MN的长为　 　．
14．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝10，BD＝24，则OE的长为　 　．
15．如图，矩形ABCD中，AB＝，AD＝4，E为CD边上一点且DE＝2，连接AE，BF⊥AE于点F，则AF＝　 　．
三．解答题
16．如图，在?ABCD中，已知E、F分别为边AB、CD的中点．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AB＝2，∠ADB＝90°，求四边形BEDF的周长．
17．如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AB＝BE，连接CE，作DM⊥AG于M．
（1）求证：DM＝AG；
（2）连DE，若△ADE的面积为25，求AE的长．
18．如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，且连结BM、DN．
（1）若M，N分别为AD，BC的中点，求证：△ABM≌△CDN；
（2）当四边形BMDN是菱形，AD＝2AB，AM＝3时，求菱形的边长．
19．在正方形ABCD中，点E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．
（1）如图1，求证：PE＝QE；
（2）如图2，连接PB，PB＝PQ，过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与线段AF相等的所有线段．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵AD＝DC，CE＝EB，
∴DE＝AB＝6.5，
故选：D．
2．【解答】解：因为经过三点可构造三个平行四边形，即?AOBC1、?ABOC2、?AOC3B．根据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，
故选：A．
3．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣77.5°＝22.5°．
故选：B．
4．【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵AD∥EF，CD∥GH，
∴AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴平行四边形有：?ABCD，?ABHG，?CDGH，?BCFE，?ADFE，?AGOE，?BEOH，?OFCH，?OGDF共9个．
即共有9个平行四边形，
故选：D．
6．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，∠EAD＝∠FDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，
∴FA＝FD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
∵AF＝8，
∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32．
故选：C．
7．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°．
∴∠BAE+∠DAF＝30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，故①正确；
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF＝30°，
即∠DAF＝15°，故②正确；
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF，故③正确；
设EC＝x，由勾股定理，得EF＝x，CG＝x，
AG＝AEsin60°＝EFsin60°＝2×CGsin60°＝x，
∴AC＝，
∴AB＝，
∴BE＝AB﹣x＝，
∴BE+DF＝x﹣x≠x，故④错误；
∵S△CEF＝x2，
S△ABE＝x2，
∴2S△ABE＝S△CEF，
∴S△CEF＝S△ABE+S△ADF，故⑤正确．
综上所述，正确的有①②③⑤，共4个．
故选：B．
8．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝，AO＝CO＝BO＝DO，
∵DF垂直平分OC，
∴OD＝DC，
∴OD＝DC＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝CD＝，
∴AC＝2，
∴BC＝＝＝3，
∵△ODC是等边三角形，DE⊥AC，
∴∠CDE＝∠ODE＝30°，
∴DC＝CF＝，
∴CF＝1，
∴BF＝2，
∴AF＝＝＝，
故选：A．
9．【解答】解：连接AC，取AC的中点H，连接MH、NH，
∵M、H分别是AD、AC的中点，
∴MH＝CD＝2，
同理可得，NH＝AB＝，
在△MHN中，MH﹣NH＜MN＜MH+NH，即＜MN＜，
当H在MN上时，MN＝MH+NH＝，
∴＜MN≤，
故选：D．
10．【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正确；
∵∠OBE＝∠ABC﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°＝∠ACB，
∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，BC＝AB，故③错误；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故④错误；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故⑤正确；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：分两种情况；
①如图1所示：
在?ABCD中，BC边上的高AE为4，AB＝5，AC＝2，
∴EC＝＝＝2，
BE＝＝＝3，
∴BC＝BE+CE＝3+2＝5；
②如图2所示：
同①得：EC＝2，AB＝CD＝5，BE＝3，
∴BC＝BE﹣EC＝3﹣2＝1；
综上所述，BC的长为5或1，
故答案为：5或1．
12．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为64，
∴AB＝16，
∵E为AD边中点，O为BD的中点，
∴OE＝AB＝8．
故答案为：8．
13．【解答】解：如图，连接AC，BD交于点H，过点O和点H的直线MN平分该组合图形的面积，交AD于S，取AE中点P，取AB中点Q，连接OP，HQ，过点O作OT⊥QH于T，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AH＝HC，
又∵Q是AB中点，
∴QH＝BC＝4，QH∥BC，AQ＝BQ＝2，
同理可求PO＝AG＝2，PO∥AG，EP＝AP＝2，
∴PO∥AD∥BC∥EF∥∥QH，EP＝AP＝AQ＝BQ，
∴MO＝OS＝SH＝NH，∠OPQ＝∠PQH＝90°，
∵OT⊥QH，
∴四边形POTQ是矩形，
∴PO＝QT＝2，OT＝PQ＝4，
∴TH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴MN＝2OH＝4，
故答案为：4．
14．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝5，OB＝OD＝BD＝12，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝13，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝13，
故答案为：13．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED，
由勾股定理得：AE＝＝＝2，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD，
∴＝，
即＝，
解得：AF＝1，
故答案为：1．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】证明：（1）在?ABCD中，∵AD＝CB，AB＝CD，∠A＝∠C，
又∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AE＝CF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
（2）∵∠ADB＝90°，
∴△ABD，△CDB都是直角三角形，
∵AE＝EB，CF＝DF，
∴DE＝BE＝AB，BF＝DF＝CD，
∴DE＝BE＝BF＝DF＝1
∴四边形DEBF是菱形，周长为4．
17．【解答】解：（1）∵DM⊥AG，BG⊥AP，
∴∠AMD＝∠AGB＝90°．
∵∠DAM+∠GAB＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠GAB＝∠ADM．
在△ADM和△BAG中，∠AMD＝∠AGB＝90°，∠GAB＝∠ADM，AB＝AD，
∴△ADM≌△BAG（AAS）．
∴DM＝AG．
（2）如图所示：过点A作AF⊥BE，垂足为F．
∵△BCE是等边三角形，ABCD为正方形，
∴AB＝EB，∠ABE＝150°．
∴∠ABE＝30°．
∴AF＝AB．
设AB＝BE＝a，则FB＝a，AB＝2a，EF＝（+2）a．
∵AG＝GE＝MD，△ADE的面积为25，
∴MDAE＝MD2MD＝25，解得MD＝5．
∴AE＝10．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，
∵M，N分别为AD，BC的中点，
∴AM＝CN，
在△ABM和△CDN中，
，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；
（2）设AB＝x，则AD＝2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵四边形BMDN是菱形，AM＝3，
∴BM＝DM＝2x﹣3，
∵AM2+AB2＝BM2，
∴32+x2＝（2x﹣3）2，
解得，x1＝0（舍去），x2＝4，
即AB＝4，
∴BM＝＝5，
即菱形的边长是5．
19．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠ECQ＝90°，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
又∵∠DEP＝∠CEQ，
∴△PDE≌△QCE（ASA）；
∴PE＝QE；
（2）∵PB＝PQ，
∴∠PBQ＝∠Q，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBQ＝∠Q＝∠EPD，
∵△PDE≌△QCE，
∴PE＝QE，
∴EF∥BQ，
∵PF＝BF，
∴在Rt△PAB中，AF＝PF＝BF，
∴∠APF＝∠PAF，
∴∠PAF＝∠EPD，
∴PE∥AF，
∵EF∥BQ∥AD，
∴四边形AFEP是平行四边形，
∴AF＝PE＝EQ，
∴与线段AF相等的所有线段为BF、PF、PE、QE．