上海市 金山区2020-2021学年第一学期期末质量检测九年级数学（一模）试卷（PDF版含答案）

金山区 2020 学年第一学期期末质量检测
初三 数学试卷
（满分 150分，考试时间 100分钟）（ 2021． 1）
一、选择题：（ 本大题共 6题，每题 4分，满分 24分 ）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸
的相应位置上．】
1.已知二次函数 ，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）
（ A）直线 ； （ B）直 线 ； （ C）直线 ； （ D）直线 .
2.下列各点在抛物线 上的是（ ）
（ A） ； （ B） ； （ C） ； （ D） .
3.在 中， ，那么锐角 的正弦等于（ ）
（ A） ；（ B） ；（ C） ；（ D） .
4.若 是锐角， ，那么锐角 等于（ ）
（ A） ； （ B） ； （ C） ； （ D） .
5.如图，已知点 、 分别在 的边 、 上， ， ， ，
，那么 等于（ ）
（ A） ； （ B） ； （ C） ； （ D） .
6.如图，已知 中， ， ， ，如果以点 为圆心的圆与斜
边 有公共点，那么 ⊙ 的半径 的取值范围是 （ ）
（ A） ； （ B） ； （ C） ； （ D） .
A B

D E


B C
第 5题图 C A
第 6题图
二、 填空 题 ：（ 本大题共 12题，每题 4分，满分 48分）
【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
1
7.计算： ．
8.已知 ，那么 ．
9.抛物线 沿着 轴正方向看，在 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”）
10.正十边形的中心角等于 度．
11.已知 ⊙ 和⊙ 的半径长分别为 和 ，若⊙ 和⊙ 内切，那么圆心距 的长
等于 ．
12.在 中， ， ， ，那么 ．
13.在 中， ，那么 ．
14.已知： 如图， 的中线 与 交于点 ， 交 于 ，那么
．
15.如图，在梯形 中， ， ，设 ， ，那么向量
用向量 、 表示为 ．
16.如图，已知 ⊙ 中， ，弦 ，那么⊙ 的半径长等于 ．
A
A D

D O
G

A B
B F C
E
C
第 14题图 B 第 15题图 第 16题图
17.如图，在 □ 中，点 在边 上， 交对角线 于 ，若 ，
的面积等于 ，那么 的面积等于 ．
18.已知在 中， ， ， ，以点 为直角顶点的 的
顶点 在 的延长线上， 交 的延长线于点 ，若 ， ，
A
那么 的长等于 ．
E
B C

F

A D
第 17题图 B C
第 18题图

2
三、 解答题（ 本大题 共 7题 ，满分 78分 ）
19.（ 本题满分 10分 ）
A
如 图，已知在 中， ， ， .
求： 的值 .

20. （ 本题 满分 10分，每 小题 满分 5分 ） C B
第 19题图
已知：如图， ⊙ 与⊙ 外切于点 ，经过点 的直线与⊙ 、⊙ 分别相交于点 和
点 . A
O1
（ 1） 求证： ；
T
（ 2） 若 ， , ，求 的长 .
O2
B
21. （ 本题 满 分 10分，每 小题 满分 5分）
第 题图
已知抛物线 经过点 、 . 20
（ 1） 求抛物线的表达式；
（ 2） 把表达式化成 的形式，并写出顶点坐标与对称轴 .

22. （ 本题 满分 10分，每 小题 满分 5分 ）
如图，在距某输电铁塔 （ 垂直地面）的底部点 左侧水平距离 米的点 处有
一个山坡，山坡 的坡度 ，山坡坡底点 到坡顶 的距离 等于 米，在坡
G
顶 处测得铁塔顶点 的仰角为 （铁塔 与山坡 在同一平面内） .
（ 1）求山坡的 高度；
（ 2） 求铁塔的高度 .（结果保留根号）
A


B H
23. （ 本题 满分 12分，每 小题 满分 6分 ） 第 22题图
已知：如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 上，联结 、 交
对角线 于 、 两点，且 . A
（ 1） 求证： ；
F
B E D
（ 2） 若 ，求证： .
M N
C
第 23题图

3
24. （ 本题满分 12分，每小题满分 4分 ）
在平面直角坐标系 中，直线 与直线 相交于点 ，抛物线
经过点 .
（ 1）求点 的坐标；
（ 2） 若抛物线 向上平移两个单位后，
经过点 ，求抛物线 的表达式；
（ 3） 若抛物线 与 关于 轴
对称，且这两条抛物线的顶点分别是点 与点 ，当 时，
求抛物线 的表达式 . 第 24题图




25. （本题 满分 14分，第 (1)分 4分， 第 (2)分 6分， 第 (3)分 4分 ）
定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 .如图 1中， .
已知：如图 2， 是 ⊙ 的一条弦，点 在⊙ 上（与 、 不重合），联结 交射
线 于点 ，联结 ，⊙ 的半径为 ， .
(1)求弦 的长 .
(2)当点 在线段 上时， 若 与 相似，求 的正切值 .
(3)当 时，求点 与 点 之间的距离（直接写出答案） .


A

O O
O
D E

A C
B A C
C
第 25题图 1
第 25题图 2 第 25题备用图





4
参 考 答 案 和 评 分 标 准
一．选择题： 1． A； 2． C； 3． B； 4． B； 5． D； 6． C．
二．填空题： 7． ； 8． ； 9． 上升 ； 10． ； 11． ； 12． ； 13． ；
14． ； 15． ； 16． ； 17． ； 18． ．
19.解： 在 中， ， ， ，由勾股定理得， ，
∴ ；……………………………………（ 2分）
∴ ； ； ； ……（ 4分）
∴原式 ；……………………（ 2分）
.………………（ 2分）
20.（ 1）证明：联结 ，即 为连心线，又 ∵ ⊙ 与⊙ 外切于点 ， ……（ 1分）
∴ 经过点 ； ………………………………………（ 1分）
∵ ； ∴ ； ……………………（ 1分）
∵ ； ∴ ； ……………（ 1分）
∴ .……………………（ 1分）
（ 2） ∵ ∴ ； ……………………………（ 2分）
∵ ， , ； ∴ ，解得： .……………（ 3分）
21． 解： （ 1）由 抛物线 经过点 、 两点可得：
………………（ 2分） 解得： ； …………………（ 2分）
∴ 抛物线的解析式为： .……………………（ 1分）
（ 2） ； ……………（ 3分）
5
∴ ，顶点坐标为： ，对称轴为：直线 .……………（ 1+1分）
22． 解： （ 1）过点 作 垂直 ，交 的延长线于点 .……………（ 1分）
即 ；
由题意得： ， （米）； ∴ ，即 ；………（ 1分）
又∵ ，即 ……………（ 1分）
∴ （米） .……………（ 1分）
答： 山坡的高度为 米 .…………………（ 1分）
（ 2）作 交 于点 .………………（ 1分）
∵ ， ；∴ ；
即：四边形 是平行四边形；
由题意可知： ， （米）；
∵ （米）； ∴ （米）； ……………（ 1分）
在 中， ； ∴ （米） .……………（ 1分）
又∵ （米） ；
∴ （米） ；……………（ 1分）
答： 铁塔的高度 为 米 .……………（ 1分）
23． 证明：（ 1） ∵ 四边形 是菱形 ；
∴ ； ……………（ 1分）
∴ ； ……………（ 1分）
∵ , ；
又 ∵ ；
∴ ； ……………（ 1分）
∴ ∽ ； ……………（ 1分）
∴ ，即 ； ……………（ 1分）
∴ .……………（ 1分）
6
（ 2） ∵ 四边形 是菱形 ；
∴ ， ； ……………（ 1分）
∴ ；……………（ 2分） ∵ ；
∴ ， ……………（ 1分）∴ ；……………（ 1分）
∴ ， 即 .……………（ 1分）
24．解： （ 1） ∵ 直线 与直线 相交于点 ，
∴ ，解得： ；……………（ 3分）
∴ 点 的坐标为 .……………（ 1分）
（ 2） ∵ 抛物线 经过点 ，
∴ 即 ……………（ 1分）
∴
∴ 平移后的抛物线的表达式是 ； ……………（ 1分）
∴ ，解得： ………………（ 1分）
∴抛物线 的表达式是： .……………（ 1分）
（ 3） ∵

∴ ……………（ 1分）
∵ 抛物线 与 关于 轴对称，
∴ ……………（ 1分）
∵ ， ∴ ；
∴ ；
又 ∵ ， ；
7
∴ ，解得： .………（ 1分）
∴抛物线 的表达式是 .………………（ 1分）
25． （ 1） 解： 作 垂足为点 ， 过圆心，
由垂径定理得： ； ……………………………（ 1分）
∵ 在 中 ，设 ， ……………（ 1分）
∴ 在 中，可得： ，由 ⊙ 的半径为 可得： ，
解得： ，（ 舍去） ∴ ,………………………（ 1分）
∴ .………………………（ 1分）
(2)∵ ，
∴当 与 相似时可得： 或者 ；
由定理： 一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 .可知： ，
∴
∴当 与 相似时不存在 情况 .………………………（ 1分）
∴当 与 相似时， ，
∴ ，∴ ；……………（ 1分）
∵ ，得 ,∴ ；…………………（ 1分）
作 垂足为 ，可 得： ,∴ ，
∴ 即 ,
∴ ，……………（ 1分） O
D
E
， ,…………（ 1分）
A G H C
∴在 中，
.…………………………（ 1分）
（ 3） 当 时， 的长是 或 .……………………………（ 2+2分）

8