北师大版 八年级下册 第一章 三角形的证明（ 1.1等腰三角形、1.2直角三角形）（学案 表格式）

1.1等腰三角形1.2直角三角形
学生姓名
性别
年级
学科
授课教师
上课时间
年
月
日
第（
）次课
共（
）次课
课时：
3
课时
教学课题
三角形的证明（1）
教学目标
1、了解等腰三角形的概念；2、掌握等腰三角形的性质；
3、培养学习数学的兴趣，应用等腰三角形的性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题
教学重点与难点
重点：等腰三角形的性质、判定
难点：等边三角形的性质、判定以及证明
一、作业检查
作业完成情况：优
良
中
差
内容回顾
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知识整理
温故知新
知识点一、三角形相关知识
1．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
三角形的两边差小于第三边．
注意：A、在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
B、在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
2.
三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于
180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是
180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．
直接根据两已知角求第三个角；
依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
3.
三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
知识点二、等腰三角形
1、等腰三角形的概念与性质
（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的相等
②等腰三角形的两个底角相等．
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【简称：三线合一】
在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2、等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③判定定理在同一个三角形中才能适用．
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
3．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：
①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
【练一练】
1、若等腰三角形底角为72°，则顶角为（　　）
2、等腰三角形一腰上的高与腰长之比为1：2，则等腰三角形顶角的度数为（　　）
A．30°
B．150°
C．60°或120°
D．30°或150°
3、如图射线BA、CA交于点A．连接BC，己知AB=AC，∠B=40度．那么x的值是（　　）
A．80
B．60
C．40
D．100
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（　　）
A．60°
B．120°
C．60°或150°
D．60°或120°
第5
题
5、如图，△ABC中，AB=AC，AD=DE，∠BAD=20°，∠EDC=10°，则∠DAE的度数为（　　）
A．30°
B．40°
C．60°
D．80°
6、已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x，则x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜5/2
B．x≥5/2
C．x＞5/2
D．0＜x＜10
7、一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为　　cm．
8、已知等腰△ABC的周长为18cm，BC=8cm，若△ABC≌△A′B′C′，则△A′B′C′中一定有一条边等于（　　）
A．7cm
B．2cm或7cm
C．5cm
D．2cm或5cm
9、
已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是　　．
【技能提升】
1．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（　　）
A．44°
B．68°
C．46°
D．22°
2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．9
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（　　）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
4．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5　
6．△ABC中，若∠A=80°，∠B=50°，AC=5，则AB=　　．
7．等腰△ABC的两边长为2和5，则第三边长为　　．
8、
8、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
5、
在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2
知识点三、等边三角形
1、等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．
在等边三角形中，腰
和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
等边三角形的判定与性质
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形。
（2）有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
【练一练】
1、如图所示，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，则∠DFC的度数为（　　）
A．60°
B．45°
C．40°
D．30°
2、
如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（　　）
A．1/3
B．1/2
C．2/3
D．不能确定
3、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（　　）
A．25°
B．30°
C．45°
D．60°
4、一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（　　）
A．30海里
B．40海里
C．50海里
D．60海里
5、如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
技能提升
1．如图，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1、9、9、5，那么这个六边形的周长是　　cm．
2．在△ABC中，AB=AC，高线AD=1/2BC，AE为∠BAC的平分线，则∠CAD的度数为　　　．
3．如图，△ABC中，AB=AC，若BC=CD=DE=EF=FA，则∠A=　　　°．
4．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
5．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
知识点四、直角三角形
典例分析
考点一：利用勾股定理求边长
例1.
在直角三角形中，若两直角边的长分别为6cm，8cm
，则斜边长为
。
变式1：已知直角三角形的两边长为3.
2，则另一条边长的平方是
。
例2.
把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（
）
A．
2倍
B．
4倍
C．
6倍
D．
8倍
变式2：在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=
；
②若a=15，c=25，则b=
；
③若c=61，b=60，则a=
；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=
。
例3.
如果直角三角形的两直角边长分别为，那么它的斜边长是（　　）
A.
2n
B.
n+1
C.
n2－1
D.
n2+1
变式：一个直角三角形的三边为三个连续整数，则它的三边长分别为
。
考点二：利用勾股定理求面积
例1.
求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．
变式：如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
例2.
四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
变式：在直线上依次摆放着七个正方形（如下图所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1.
2.
3，正放置的四个正方形的面积依次是.
=_____________。
考点三：勾股定理与三角形的高
例1.
如下图所示，等腰中，，是底边上的高，若，求
①AD的长；②ΔABC的面积。
变式：已知直角三角形两直角边长分别为5和12，
求斜边上的高。
例2.
在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为多少？
变式：如果直角三角形的三边为10.
6.
x，则最短边上的高为
。
考点四.
网格问题
例.
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC的面积是？比较三边的大小关系。
变式：如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是
（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
考点五：与展开图有关的计算（正方体、长方体、圆柱）
例.
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离。
变式：如图，在长方体中，，AD＝3，一只蚂蚁从A点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是多少？
考点六：利用列方程求线段长（方程思想）
例.
小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
变式.
如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离
1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
考点七、折叠问题
例
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C与点E重合，折痕为AD，则CD等于（
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
5
变式：如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长的平方。
知识点五、互逆命题与逆命题
课堂检测
1.
下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（
）
A.
4，5，6
B.
2，3，4
C.
11，12，13
D.
8，15，17
2.
若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）
A.
2∶3∶4
B.
3∶4∶6
C.
5∶12∶13
D.
4∶6∶7
3.
下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（
）。
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4.
已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
5.
如果三角形的三边长a，b，c满足（a+b）2=c2+2ab，则此三角形为什么三角形？
如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行
cm
6、如图，长方体的长为15
cm，宽为10
cm，高为20
cm，点B离点C
5
cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
7.
折叠矩形ABCD的一边AD，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8CM，BC=10CM，求CF
和EC。