_人教版九年级上册第二十二章 二次函数复习教案

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年
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分
——
时
分
授课主题
二次函数（概念及性质）
教学目标
1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定?
??系数法求二次函数解析式。?
2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
重点难点
1：二次函数的有关概念
2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系
3：二次函数在生活中的运用
教学内容
一、导入
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
二、知识梳理+经典例题
知识点一：二次函数的概念
定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
注意：（1）任何一个二次函数的解析式都可以化成y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的形式，因此，把y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般形式.二次项系数a不能为0，而b，c可以为0，所以二次函数y=ax2+bx+c的特殊形式有：
①y=ax2（a≠0,b=0,c=0）；
②
y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0)；
③
y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0).
当a=0时，b≠0，函数就变为一次函数y=ax+c;若a=0，b=0,则y=c是一个常数.
一个函数是二次函数必须同时满足三个条件：
①函数解析式是整式；
②化简后自变量的最高次数是2
；
③二次项系数不等于0.
函数自变量的取值范围：
①y=ax2+bx+c（a≠0）中，x的取值范围是全体实数.
②函数关系式是分式，自变量取值应使得分母不等于0.
③函数关系式是偶次根式，自变量取值为被开方数为非负数.
④实际问题的函数式，使实际问题有意义.（如大于0，取正整数或某两非负数之间取值）
例1、下列函数中是二次函数的有（　）
①y=x+
；
②y=3（x-1）2+2
③y=（x+3）2-2x2；④y=+
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
知识巩固：如果函数y=(a-1)x2是二次函数，那么a的取值范围是　
　
知识点二、二次函数y=ax2的图像和性质
画法①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点（0,0）是必须的，然后在y轴的两侧各
取2个或3个点，注意对称取点；②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称
性找出另一侧的几个点；③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所
描的点，两端无限延伸.二次函数y=ax2（a≠）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点.其性质如下：二次函数解析式图像
开口方向对称轴顶点坐标增减性最大（小）值异同点?
?
y=x2?
向上
?
?
y轴
?
?
（0,0）
?
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大?
当x=0时，y取最
小值0y=x2与y=-x2图像开口方向相反，形状相同，顶点相同，两图像都关于y轴对称?
y=-x2?
?
向下?
?
y轴?
?
（0,0）当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小?
当x=0时，y取最
大值0
注意：（1）二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，
a≠0）中，b,c是任意常数，当b=c=0时，得到二次函数y=ax2，它是最简单的二次函数；
（2）由于二次函数y=ax2的图像是抛物线，故也称为抛物线y=ax2；
（3）在画函数图像时，图像必须平滑，顶端不能画成尖形的，一般来说，选点越多，图像越精确，但也要具体问题具体分析；
（4）抛物线是向两方向无限延伸的.左右两侧必须保持关于对称轴对称；
（5）抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点.
例2若二次函y=ax2的图象经过点P(
-3，2)，则该图象必经过点（
）
A.(2，3)
B.（-2，-3）
C.(3，2)
D.(-3，-2)
知识巩固：.当ab>0时，函数y=ax2与
y=ax+b
的图象可能是（
）
知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质
二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.
二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：
y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度
二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:
a的符号a>0
a<0
?图像
开口方向向上
向下对称轴y轴
y轴顶点坐标（0，k）
(0,k)增减性当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大当x<0时，y随x的增大而增大；
当x>0时，y随x的增大而减小最值当x=0时，y有最小值y最小值=k当x=0时，y有最大值y最大值=k
例3、二次函数y=x2的图像向上平移2个单位，得到新的图像的二次函数表达式是（
）
A
y=x2-2
B
y=（x-2）2
C
y=x2+2
D
（x+2）2
知识巩固：对于二次函数y=3x2+2，下列说法错误的是（
）
A.最小值为2
B.图像与y轴没有公共点
C.当x<0时，y随x的增大而减小
D.其图像的对称轴是y轴
知识点四：二次函数y=a(x-h)2的图像和性质
1、二次函数y=a(x-h)2（a≠0）的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于y轴或与y轴重合的直线x=h，顶点坐标是(h，0)，它与y=ax2(a≠0)的图象形状相同，位置不同，函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象是由抛物线y=ax2向右（或左）平移|h|个单位长度得到的．
画二次函数y=a(x-h)
2
(a≠0)的图象时，x的取值一般为h和h左右两侧的值，然后利用对称性描点画图
2、性质
a的符号a>0a<0?
图像
开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,0)(h,0)?增减性当xh时，y随x的增大而增大当x当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0
知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质
二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的
2、性质
a的符号a>0a<0?
?图像
开口方向向上向下对称轴x=hx=h顶点坐标(h,k)(h,k)?
增减性当x当x>h时，y随x的增大而增大当x当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，
y最小值=k当x=h时，y有最大值，
y最大值=k
例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c
的大致图像可（
）
知识巩固：对于抛物线
y=（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1；
③顶点坐标为（-1，3）；
④x>1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
知识点六：二次函数y=ax2+bx+c
(a,b,c是常数，a≠0)的图像和性质
1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图
像的画法：
（1）描点法，步骤如下：
①利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成
y=a(x-h)2+k的形式.
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图.
（2）平移法，步骤如下：
①利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c化成
y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点（h，k）.
②作出函数y=ax2的图像
③将函数y=ax2的图像平移，使其顶点平移到(h,k）
性质
a的符号a>0a<0?
?图像
开口方向向上向下对称轴
顶点坐标
（，）?
增减性当x<时，y随x的增大而减小；
当x>时，y随x的增大而增大当x<时，y随x的增大而增大；
当x>时，y随x的增大而减小最值当x=时，y有最小值，
y最小值=?当x=时，y有最大值，
y最大值=?
例6、对于抛物线y=-4x+x2-7,有下列说法：（1）抛物线的开口向上；（2）对称轴为x=2；
（3）顶点坐标为（2，-3）；（4）点（-
,-9）在抛物线上.其中正确的有（
）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
知识点七：二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的图像特征与a,b,c,b2-4ac的符号之间的关系
项目字母字母的符号图像的特征aa>0开口向上a<0开口向下
bab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧
cc=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交
b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点
例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，
值为正数的有（　）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
知识点八：二次函数与一元二次方程的联系
1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.
（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个不相等的实数根；
（2）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有且仅有一个交点时，b2-4ac=0,方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）有两个相等的实数根；
（3）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴无交点时，b2-4ac<0,方程ax2＋bx＋c=0(a≠0）无实数根.
综上，求一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根也就是求二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的值为0时自变量x的值，即抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的交点的横坐标.
2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴的交点分三种情况分别对应着一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的三种情况，如下表所示：
b2-4ac的取值b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴的交点
a>0
a<0一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的实数根有两个不相等的实数根x1,x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根
例8、抛物线y=x2-2x+1与坐标轴交点为（　）　
A.二个交点
B.一个交点
C.无交点
D.三个交点
知识巩固：关于x的函数y=（m2-1）x2-（2m+2）x+2的图象与x轴只有一个公共点，求m的值．
知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系
1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c
>0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号
2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c
>0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：
例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（　）
　A.x＜-1
B.x＞3
C.-1＜x＜3
D.x＜-1或x＞3
知识点十：二次函数与实际问题
1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题
2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。
例10（利润问题）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？
解：设销售单价为x元，销售利润为y元，则y＝(x－20)[400－20(x－30)]
＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500.
所以当x＝35，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
例11（利用二次函数解决抛物线形问题）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2
m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9
m，高度为2.43
m，球场的边界距O点的水平距离为18
m.
(1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
解析
(1)利用h＝2.6，将(0，2)代入解析式求出即可；
(2)利用当x＝9时，y＝－(x－6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时，－
(x－6)2＋2.6＝0，分别得出即可；
(3)根据当球正好过点(18，0)时，y＝a(x－6)2＋h的图象还过(0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点(9，2.43)，y＝a(x－6)2＋h的图象还过点(0，2)分别得出h的取值范围，即可得出答案
三、随堂练习
1．二次函数y＝ax＋bx＋1(a≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t＝a＋b＋1，则t值的变化范围是(　　)
A．0＜t＜1
B．0＜t＜2
C．1＜t＜2
D．－1＜t＜1
2．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx＋c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是(　　)'
3．将抛物线y＝x＋x向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________．
4．二次函数y＝x－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是______________．
(第4题图)
(第5题图)
5．如图，二次函数y＝(x－2)＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)＋m的x的取值范围．
6．已知：如图，抛物线y＝a(x－1)＋c与x轴交于点A(1－，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1,3)处．
(1)求原抛物线的解析式；
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比(约等于0.618)．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？(参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号)
课后作业
1．抛物线y＝x－6x＋5的顶点坐标为(　　)
A．(3，－4)
B．(3,4)
C．(－3，－4)
D．(－3,4)
2．由二次函数y＝2(x－3)＋1，可知(　　)
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x＝－3
C．其最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
3．已知函数y＝(k－3)x＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4且k≠3
D．k≤4且k≠3
4．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是(　　)
(第4题图)
(第5题图)
A．m＝n，k＞h
B．m＝n，k＜h
C．m＞n，k＝h
D．m＜n，k＝h
5．如图，已知二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过点A(－1,0)，B(1，－2)，该图象与x轴的另一交点为C，则AC长为__________．
6．抛物线y＝ax＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x…－2－1012…y…04664…
从上表可知，下列说法中正确的是__________．(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y＝ax＋bx＋c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x＝；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
7．抛物线y＝－x＋bx＋c的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．
8．2011年长江中下游地区发出了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
9．如图，已知二次函数L1：y＝x－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.
(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)研究二次函数L2：y＝kx－4kx＋3k(k≠0)．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．