北师大版数学八年级下册4.2 提公因式法 课件（34张）

第四章 因式分解
2 提公因式法

公因式
提公因式法.
多项式的变形原则
用提公因式法分解因式（重点、难点）
学习目标
新课导入
互为逆运算
一、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 .
二、整式乘法与分解因式之间的关系.
新课讲解
知识点1 公因式
多项式ab＋bc各项都含有相同的因式吗？多项式
3x2＋x呢？多项式mb2＋nb－b呢？尝试将这几个多项
式分别写成几个因式的乘积，并与同伴交流.
新课讲解
公因式的定义：
一个多项式各项都含有的相同因式 ,叫做这个
多项式各项的公因式 .
新课讲解
怎样确定多项式各项的公因式？
系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数；
字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母；
指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字
母最低次幂；
新课讲解
例
典例分析
指出下列多项式各项的公因式：
(1)3a2y－3ya＋6y； (2) xy3－ x3y2；
(3)a(x－y)3＋b(x－y)2＋(x－y)3；
(4)－27a2b3＋36a3b2＋9a2b.
新课讲解
(1)3，6的最大公约数是3，所以公因式的系数是3；
有相同字母y，并且y的最低次数是1，所以公因
式是3y.
(2)多项式各项的系数是分数，分母的最小公倍数是
27，分子的最大公约数是4，所以公因式的系数
解：
新课讲解
是 ；两项都有x，y，且x的最低次数是1，y的
最低次数是2，所以公因式是
(3)观察发现三项都含有x－y，且x－y的最低次数是2，
所以公因式是(x－y)2.
(4)此多项式的第一项是“－”号，应将“－”提取变
为－(27a2b3－36a3b2－9a2b)．多项式27a2b3－36a3b2
－9a2b各项系数的最大公约数是9；各项都有a，b，
且a的最低次数是2，b的最低次数是1，所以这个多
项式各项的公因式是－9a2b.
新课讲解
练一练
1　多项式8x2y2－14x2y＋4xy3各项的公因式是(　　)
A．8xy B．2xy C．4xy D．2y
2　式子15a3b3(a－b)，5a2b(b－a)的公因式是(　　)
A．5ab(b－a) B．5a2b2(b－a)
C．5a2b(b－a) D．以上均不正确
B
C
新课讲解
知识点2 提公因式法
(1)多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？
(2)你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？与同
伴交流.
新课讲解
确定一个多项式的公因式时，要从____________
和__________________分别进行考虑 .
数字系数
字母及其指数
　　公因式的系数应取各项系数的最大公约数.
　　公因式中的字母取各项相同的字母，而且各项相同字母的指数取其次数最低的.
数字系数
字母及其指数
新课讲解
例
典例分析
(1)3x＋x3＝x·3＋x·x2＝x(3＋x2);
(2)7x3－21x2＝7x2·x－7x2·3＝7x2(x－3);
(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1
＝ab(8a2b－12b2c＋l)；
解：
把下列各式因式分解：
(1)3x＋x3；
(2)7x3－21x2;
(3)8a3b2－12ab3c＋ab；
(4)－24x3＋12x2－28x.
新课讲解
(4)－24x3＋12x2－28x
＝－( 24x3－12x2＋28x)
＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)
＝ －4x(6x2－3x＋7).
当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.
新课讲解
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什
么关系?
新课讲解
例
典例分析
利用提公因式法解答下列各题：
(1)计算：978×85＋978×7＋978×8；
(2)已知2x－y＝ ，xy＝2，求2x4y3－x3y4的值．
(1)题每一项都含有公因数978，把978作为公因式提
出；(2)题先对所求式提取公因式，再整体代入计算．
分析：
解：
(1)原式＝978×(85＋7＋8)＝978×100＝97 800.
(2)2x4y3－x3y4＝x3y3(2x－y)＝(xy)3(2x－y)．
当2x－y＝ ，xy＝2时，原式＝23× ＝
新课讲解
练一练
把下列各式因式分解：
(1)ma＋mb； (2)5y3＋20y2；
(3)6x－9xy； (4)a2b－5ab；
(5)4m3－6m2； (6)a2b－5ab＋9b；
(7)－a2＋ab－ac； (8)－2x3＋4x2－6x.
新课讲解
解：
(1) ma＋mb＝m(a＋b)．
(2) 5y3＋20y2＝5y2(y＋4)．
(3) 6x－9xy＝3x(2－3y)．
(4) a2b－5ab＝ab(a－5)．
(5) 4m3－6m2＝2m2(2m－3)．
(6) a2b－5ab＋9b＝b(a2－5a＋9)．
(7) －a2＋ab－ac＝－a(a－b＋c)．
(8) －2x3＋4x2－6x＝－2x(x2－2x＋3)．
新课讲解
知识点3 多项式的变形原则
请在下列各式等号右边的括号前填入“＋”或“－”，
使等式成立：
(1) 2－a＝_____(a－2)； (2) y－x＝_____(x－y )；
(3) b＋a＝_____(a＋b)； (4)(b－a)2＝____(a－b)2；
(5 ) －m－n＝____(m＋n); (6)－s2＋t2＝___(s2－t2).?
新课讲解
添括号法则：
(1)添上括号和“＋”号，括到括号里的各项都不
变.
(2)添上括号和“－”号，括到括号里的各项都改
变符号.
新课讲解
例
典例分析
把a(x－y)－b(y－x)提公因式后，所得的另一个
因式是(　　)
A．a－b　　　　　　　　B．a＋b
C．x＋y D．x－y
因为y－x＝－(x－y)，所以若将－b(y－x)转化为
＋b(x－y)，则多项式出现公因式x－y，由此可确
定剩余的因式．
分析：
B
新课讲解
练一练
　在下列各式中，从左到右的变形正确的是(　　)
A．y－x＝＋(x－y)
B．(y－x)2＝－(x－y)2
C．(y－x)3＝(x－y)3
D．(y－x)4＝(x－y)4
D
新课讲解
知识点4 用提公因式法分解因式
例
(1) a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)(a＋2b)；
(2) y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]
＝y(x＋1)(xy＋y＋1).
解：
把下列各式因式分解：
(1) a(x－3)＋2b(x－3); (2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.
新课讲解
例
典例分析
(1)a(x－y)＋b(y－x)
＝a(x－y)－b(x－y)
＝(x－y)(a－b)；
解：
把下列各式因式分解：
(1)a(x－y)＋b(y－x)； (2)6(m－n)3－12(n－m)2.
(2)6(m－n)3－12(n－m)2
＝6(m－n)3－12[－(m－n)]2
＝6(m－n)3－12(m－n)2
＝ 6(m－n)2(m－n－2).
新课讲解
例
典例分析
下面用提公因式法分解因式的结果是否正确？
说明理由．若不正确，请写出正确的结果．
(1)3x2y－9xy2＝3x(xy－3y2)；
(2)4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y)；
(3)x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3＝(a－b)3[x(a＋b)－y]．
(1)中括号内的多项式还有公因式，没有分解完；
(2)中漏掉了商是“1”的项；
(3)中(a－b)3与(b－a)3是不同的，符号相反，另外
中括号内没有化简．
分析：
新课讲解
(1)不正确，理由：公因式没有提完全；
正确的是：3x2y－9xy2＝3xy(x－3y)．
(2)不正确，理由：提取公因式后剩下的因式中有常数
项“1”；
正确的是：4x2y－6xy2＋2xy＝2xy(2x－3y＋1)．
(3)不正确，理由：(a－b)3与(b－a)3不一样，应先统一，
且因式是多项式时要最简；正确的是：
x(a－b)3(a＋b)－y(b－a)3
＝x(a－b)3·(a＋b)＋ (a－b)3y
＝(a－b)3[x(a＋b)＋y]
＝(a－b)3(ax＋bx＋y)．
解：
新课讲解
练一练
把下列各式因式分解：
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)3a(x－y)－(x－y)；
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)；
(4)a(m－2)＋b(2－m)；
(5)2(y－x)2＋3(x－y)；
(6)mn(m－n)－m(n－m)2
新课讲解
(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)．
(2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)．
(3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)．
(4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)．
(5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋
3]＝(x－y)(2x－2y＋3)．
(6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n)
[n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．
解：
课堂小结
1、确定公因式的方法：
(1)定系数 (2)定字母 (3)定指数
2、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
第一步，找出公因式；第二步，提取公因式.
3、提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽；
（2）小心漏掉1;
（3）提出负号时,要注意变号.
课堂小结
1、公因式：各项都有的公共因式
2、确定公因式：定系数→定字母→定指数
3、步骤：观察多项式→确定公因式→提取公因式
→确定另外一个因式(找公因式→提公因式)
当堂小练
1.把－a(x－y)－b(y－x)＋c(x－y)分解因式，正确的结果是(　　)
A．(x－y)(－a－b＋c)
B．(y－x)(a－b－c)
C．－(x－y)(a＋b－c)
D．－(y－x)(a＋b－c)
B
当堂小练
2.如果多项式－ abc＋ ab2－a2bc的一个因式是－ ab，那么另一个因式是(　　)
A．c－b＋5ac B．c＋b－5ac
C．c－b＋ ac D．c＋b－ ac
A
拓展与延伸
因式分解：－14x3－21x2＋28x.
－14x3－21x2＋28x＝－7x(2x2＋3x－4)．
解：
布置作业
请完成对应习题