人教版八年级下册数学 17.2勾股定理的逆定理 同步练习（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.2勾股定理的逆定理 同步练习（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 94.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-27 00:23:22 | ||
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文档简介
17.2勾股定理的逆定理 同步练习
一．选择题
1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4cm，8cm，7cm B．3cm，5cm，2cm
C．2cm，2cm，4cm D．13cm，12cm，5cm
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠C＝∠A﹣∠B
3．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
5．下列结论中，正确的有（ ）
①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．30，40，50 D．，，
7．如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD．现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个直角三角形 B．能拼成一个锐角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
8．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．5km B．8km C．10km D．20km
9．下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三角形的三边a，b，c满足关系a+b＞c
B．三角形的三边长分别为32，42，52
C．三角形的一边等于另一边的一半
D．三角形的三边长为20，15，25
10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，P为边AB上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则DE的最小值为（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2
二．填空题
11．若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 ．
12．在△ABC中，给出以下4个条件：
①∠C＝90°；
②∠A+∠B＝∠C；
③a：b：c＝3：4：5；
④∠A：∠B：∠C＝3：4：5．
从中任取一个条件，可以判定出△ABC是直角三角形的有 ．（填序号）
13．已知三角形的两条较短边的长分别为6和8，当第三边的长为 时，此三角形是直角三角形．
14．如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，阴影部分的面积为 ．
15．已知直角三角形的三边长为a，b，c，那么三边长为a+1，b+1，c+1的三角形一定不是直角三角形． （判断对错）
三．解答题
16．如图，已知在△ABC中，AB＝25，BC＝14，BC边上的中线AD＝24．求证：AB＝AC．
17．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．
18．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；
B、2+3＝5，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
C、2+2＝4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D、52+122＝132，故能构成直角三角形；
故选：D．
2．解：A、由b2﹣c2＝a2，可得：b2＝c2+a2，是直角三角形，故本选项错误；
B、由a：b：c＝5：12：13，可得（5x）2+（12x）2＝（13x）2，是直角三角形，故本选项错误；
C、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形，故选项正确；
D、由∠C＝∠A﹣∠B，可得∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
故选：C．
3．解：①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④12+（2）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
4．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
5．解：①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形，选项说法正确；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或2，选项说法错误；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，选项说法正确；
④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形，选项说法正确；
故选：A．
6．解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
B．（32）2+（42）2＝337≠（52）2，∴32，42，52不是勾股数；
C．∵302+402＝2500＝502，∴30、40、50是勾股数；
D．2+（）2≠（）2且，，均不是整数，∴，，不是勾股数；
故选：C．
7．解：由网格图可得：
AB2＝22+32＝4+9＝13，
CB2＝22+12＝4+1＝5，
CD2＝22+22＝4+4＝8，
∴CB2+CD2＝5+8＝13＝AB2，
∴线段AB，BC，CD首尾相连拼成的三角形是直角三角形，
故选：A．
8．解：由题意可得：AB＝＝＝20（km），
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
故选：B．
9．解：A、三角形的三边满足关系a+b＞c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项不符合题意；
D、∵152+202＝252，∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
10．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，82+62＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
连接CP，
∵PD⊥AC于D，PE⊥CB于E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP＝＝4.8，
故选：B．
二．填空题
11．解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x＝；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x＝；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
12．解：①∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
②∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
③∵a：b：c＝3：4：5，∴（3x）2+（4x）2＝（5x）2，△ABC是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，△ABC不是直角三角形；
故答案为：①②③．
13．解：∵三角形的两条较短边的长分别为6和8，
∴当第三边的长为＝10时，此三角形是直角三角形．
故答案为：10．
14．解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5，
∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝
＝
＝24，
故答案为：24．
15．解：设某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，
∴a2+b2＝c2，
∵（a+1）2+（b+1）2＝a2+2a+1+b2+2b+1，（c+1）2＝c2+2c+1，
∴（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2＝2a+2b﹣2c+1＝2（a+b﹣c）+1，
∵a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0，
∴2（a+b﹣c）+1＞1，
∴（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2＞1≠0，
∴三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形不是直角三角形，
故答案为：×．
三．解答题
16．证明：∵AD 是BC边上的中线
∴BD＝BC＝×14＝7，
在△ABD中，BD2+AD2＝72+242＝625＝252＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴AD 垂直平分BC，
∴AB＝AC．
17．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝8，CD＝2，
∴62+（2）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
18．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP?BQ＝×6×6＝18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．
一．选择题
1．以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（ ）
A．4cm，8cm，7cm B．3cm，5cm，2cm
C．2cm，2cm，4cm D．13cm，12cm，5cm
2．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝5：12：13
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠C＝∠A﹣∠B
3．三角形三边长分别为①3，4，5②5，12，13③17，8，15④1，3，2．其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
5．下列结论中，正确的有（ ）
①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
6．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．32，42，52
C．30，40，50 D．，，
7．如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段AB，BC，CD．现在取出这三条线段AB，BC，CD首尾相连拼三角形．下列判断正确的是（ ）
A．能拼成一个直角三角形 B．能拼成一个锐角三角形
C．能拼成一个钝角三角形 D．不能拼成三角形
8．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°）绕过村庄间的一座大山．打通A，B间的隧道后，就可直接从A村到B村．已知，AC＝12km，BC＝16km，那么，打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为（ ）
A．5km B．8km C．10km D．20km
9．下列三角形中，是直角三角形的是（ ）
A．三角形的三边a，b，c满足关系a+b＞c
B．三角形的三边长分别为32，42，52
C．三角形的一边等于另一边的一半
D．三角形的三边长为20，15，25
10．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，P为边AB上一动点，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，则DE的最小值为（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2
二．填空题
11．若一个三角形的三边长为1、2、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是 ．
12．在△ABC中，给出以下4个条件：
①∠C＝90°；
②∠A+∠B＝∠C；
③a：b：c＝3：4：5；
④∠A：∠B：∠C＝3：4：5．
从中任取一个条件，可以判定出△ABC是直角三角形的有 ．（填序号）
13．已知三角形的两条较短边的长分别为6和8，当第三边的长为 时，此三角形是直角三角形．
14．如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，阴影部分的面积为 ．
15．已知直角三角形的三边长为a，b，c，那么三边长为a+1，b+1，c+1的三角形一定不是直角三角形． （判断对错）
三．解答题
16．如图，已知在△ABC中，AB＝25，BC＝14，BC边上的中线AD＝24．求证：AB＝AC．
17．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．
18．如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA＝3：4：5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？
参考答案
一．选择题
1．解：A、42+72≠82，故不能构成直角三角形；
B、2+3＝5，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
C、2+2＝4，故不能构成三角形，不能构成直角三角形；
D、52+122＝132，故能构成直角三角形；
故选：D．
2．解：A、由b2﹣c2＝a2，可得：b2＝c2+a2，是直角三角形，故本选项错误；
B、由a：b：c＝5：12：13，可得（5x）2+（12x）2＝（13x）2，是直角三角形，故本选项错误；
C、由∠A：∠B：∠C＝3：4：5，可得：∠C＝75°，不是直角三角形，故选项正确；
D、由∠C＝∠A﹣∠B，可得∠A＝90°，是直角三角形，故本选项错误；
故选：C．
3．解：①32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
②52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
③82+152＝172，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形；
④12+（2）2＝32，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形．
故选：D．
4．解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
5．解：①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形，选项说法正确；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或2，选项说法错误；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，选项说法正确；
④若三角形的三边长之比为1：2：，则该三角形是直角三角形，选项说法正确；
故选：A．
6．解：A．0.3，0.4，0.5不是整数，不是勾股数；
B．（32）2+（42）2＝337≠（52）2，∴32，42，52不是勾股数；
C．∵302+402＝2500＝502，∴30、40、50是勾股数；
D．2+（）2≠（）2且，，均不是整数，∴，，不是勾股数；
故选：C．
7．解：由网格图可得：
AB2＝22+32＝4+9＝13，
CB2＝22+12＝4+1＝5，
CD2＝22+22＝4+4＝8，
∴CB2+CD2＝5+8＝13＝AB2，
∴线段AB，BC，CD首尾相连拼成的三角形是直角三角形，
故选：A．
8．解：由题意可得：AB＝＝＝20（km），
则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：12+16﹣20＝8（km）．
故选：B．
9．解：A、三角形的三边满足关系a+b＞c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、∵（32）2+（42）2≠（52）2，∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项不符合题意；
D、∵152+202＝252，∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
10．解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，82+62＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
连接CP，
∵PD⊥AC于D，PE⊥CB于E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP＝＝4.8，
故选：B．
二．填空题
11．解：设第三边为x，
（1）若2是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得：
12+22＝x2，所以x＝；
（2）若2是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得：
12+x2＝22，所以x＝；
综上所述：x的值为或，
故答案为：或．
12．解：①∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
②∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，△ABC是直角三角形；
③∵a：b：c＝3：4：5，∴（3x）2+（4x）2＝（5x）2，△ABC是直角三角形；
④∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝，△ABC不是直角三角形；
故答案为：①②③．
13．解：∵三角形的两条较短边的长分别为6和8，
∴当第三边的长为＝10时，此三角形是直角三角形．
故答案为：10．
14．解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5，
∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S△ACB﹣S△ADC＝
＝
＝24，
故答案为：24．
15．解：设某直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边长为c，
∴a2+b2＝c2，
∵（a+1）2+（b+1）2＝a2+2a+1+b2+2b+1，（c+1）2＝c2+2c+1，
∴（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2＝2a+2b﹣2c+1＝2（a+b﹣c）+1，
∵a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0，
∴2（a+b﹣c）+1＞1，
∴（a+1）2+（b+1）2﹣（c+1）2＞1≠0，
∴三边长分别为a+1，b+1，c+1，三角形不是直角三角形，
故答案为：×．
三．解答题
16．证明：∵AD 是BC边上的中线
∴BD＝BC＝×14＝7，
在△ABD中，BD2+AD2＝72+242＝625＝252＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴AD 垂直平分BC，
∴AB＝AC．
17．证明：∵在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8，
∴BD＝＝＝6，
∵BC＝8，CD＝2，
∴62+（2）2＝82，
∴△BDC是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥DC．
18．解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP?BQ＝×6×6＝18（cm2）．
故过3秒时，△BPQ的面积为18cm2．