人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步练习 （Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步练习 （Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 243.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-27 00:24:27 | ||
图片预览
文档简介
17.1勾股定理 同步练习
一．选择题
1．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）
A． B．13 C．6 D．25
2．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
3．在锐角△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是（ ）
A．66 B．126 C．120 D．68
4．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）
A．60 B．79 C．84 D．90
6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AB的中点，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，则EF的长是（ ）
A． B． C． D．3
7．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（ ）
A．13 B． C．47 D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．5.8 D．6
二．填空题
11．在直角三角形中，两直角边分别为6和8，则第三边上中线长是 ．
12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，BC＝6．则△ABC的面积为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为 ．
14．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F是垂足，且AB＝17，BC＝15，则OF、OE、OD的长度分别是 ．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．
（1）求AD的长；
（2）求BC的长．
17．两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
参考答案
一．选择题
1．解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13，
∵S△ABC＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），
∴h＝．
故选：A．
2．解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．
3．解：在锐角△ABC中，
∵∠B为锐角时，如图所示，
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝21，
∴△ABC的面积为×21×12＝126；
故选：B．
4．解：如右图所示，
∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
同理可得，S5+S6＝S4，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，
故选：A．
5．解：由图可知，（b﹣a）2＝6，
4×ab＝48﹣6＝42，
∴2ab＝42，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝6+2×42＝90．
故选：D．
6．解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
在Rt△ADF中，∠A＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝3，
在Rt△CFE中，∠C＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴EC＝FC＝，
∴EF＝＝，
故选：A．
7．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．
故选：B．
8．解：根据作图知，AD＝BC，AE＝AB，DE＝AC，
∴△ADE≌△BCA（SSS），
∴∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AE＝AB＝10，
∵点F为AE的中点，
∴DF＝AE＝5，
故选：B．
9．解：过O作OE⊥CB，OF⊥AC，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴DO＝EO＝FO，
∴四边形ADOF是正方形，
∴AD＝DO，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∴S△ABC＝＝24，
连接AO，
设DO＝x，则FO＝EO＝x，
∴×6x+×8x+×10x＝24，
解得：x＝2，
∴DO＝2，
∴AD＝2．
故选：B．
10．解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，
由勾股定理得，a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝1+2+3＝6，
故选：D．
二．填空题
11．解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为＝10，
故斜边的中线长为×10＝5，
故答案是：5．
12．解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
依题意有（2）2﹣x2＝（4）2﹣（6﹣x）2，
解得x＝2，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝4，
则△ABC的面积为×6×4＝12．
故答案为：12．
13．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝，
所以，S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝×（）2+×（）2+×（）2，
＝（AC2+BC2+AB2），
＝×（）2，
＝．
故答案为：．
14．解：如图，连接OB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17，BC＝15，
∴AC＝＝＝8，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE＝OF＝OD，
又∵OB是公共边，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD＝BF，
同理AE＝AF，CE＝CD，
∵∠C＝90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝15﹣x，AF＝AE＝8﹣x，
∴15﹣x+8﹣x＝17，解得x＝3．
∴OE＝OF＝OD＝3．
故答案为：3．
15．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
三．解答题
16．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°．
在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2 ＝ AB2，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝144．
∵AD＞0，
∴AD＝12．
（2）在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，
∴AD2+CD2 ＝ AC2 ，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝81．
∵CD＞0，
∴CD＝9．
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
由勾股定理得，CD＝＝3；
（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，
由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理得，AE＝＝3，
∴DE＝AE+AD＝3+3，
∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．
18．解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．
一．选择题
1．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（ ）
A． B．13 C．6 D．25
2．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）
A．1 B．1.4 C． D．
3．在锐角△ABC中，AB＝13，AC＝20，BC边上的高为12，则△ABC的面积是（ ）
A．66 B．126 C．120 D．68
4．如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6.其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
5．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）
A．60 B．79 C．84 D．90
6．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AB的中点，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，则EF的长是（ ）
A． B． C． D．3
7．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（ ）
A．13 B． C．47 D．
8．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．以点A为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点D，再分别以点A，D为圆心，以AB，AC的长为半径作弧交于点E，连接AE，DE，若点F为AE的中点，则DF的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作OD⊥AB于点D，则AD的长为（ ）
A． B．2 C． D．4
10．勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝1，S2＝2，S3＝3，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（ ）
A．5 B．5.5 C．5.8 D．6
二．填空题
11．在直角三角形中，两直角边分别为6和8，则第三边上中线长是 ．
12．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，BC＝6．则△ABC的面积为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若AB＝，则图中阴影部分的面积为 ．
14．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F是垂足，且AB＝17，BC＝15，则OF、OE、OD的长度分别是 ．
15．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝ ．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AB＝13，BD＝5，AC＝15．
（1）求AD的长；
（2）求BC的长．
17．两块三角板如图放置，已知∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ABC＝45°，∠ACD＝30°，BC＝6cm．
（1）分别求线段AD，CD的长度；
（2）求BD2的值．
18．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
参考答案
一．选择题
1．解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，
∴斜边为＝13，
∵S△ABC＝×5×12＝×13h（h为斜边上的高），
∴h＝．
故选：A．
2．解：由勾股定理得，OB＝＝，
则OA＝OB＝，
∴点A表示的数是，
故选：C．
3．解：在锐角△ABC中，
∵∠B为锐角时，如图所示，
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝21，
∴△ABC的面积为×21×12＝126；
故选：B．
4．解：如右图所示，
∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，a2+b2＝c2，
∴S1+S2＝S3，
同理可得，S5+S6＝S4，
∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，
∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）＝4+6＝10，
故选：A．
5．解：由图可知，（b﹣a）2＝6，
4×ab＝48﹣6＝42，
∴2ab＝42，
∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝6+2×42＝90．
故选：D．
6．解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
在Rt△ADF中，∠A＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝3，
在Rt△CFE中，∠C＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴EC＝FC＝，
∴EF＝＝，
故选：A．
7．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝32+52＝34；
y2＝22+32＝13；
z2＝x2+y2＝47；
即最大正方形E的面积为：z2＝47，边长为z＝．
故选：B．
8．解：根据作图知，AD＝BC，AE＝AB，DE＝AC，
∴△ADE≌△BCA（SSS），
∴∠ADE＝∠BCA＝90°，AE＝AC，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴AE＝AB＝10，
∵点F为AE的中点，
∴DF＝AE＝5，
故选：B．
9．解：过O作OE⊥CB，OF⊥AC，
又∵∠BAC＝90°，
∴四边形ADOF是矩形，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴DO＝EO＝FO，
∴四边形ADOF是正方形，
∴AD＝DO，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∴S△ABC＝＝24，
连接AO，
设DO＝x，则FO＝EO＝x，
∴×6x+×8x+×10x＝24，
解得：x＝2，
∴DO＝2，
∴AD＝2．
故选：B．
10．解：设直角三角形的斜边长为a，较长直角边为c，较短直角边为b，
由勾股定理得，a2＝c2+b2，
∴a2﹣c2﹣b2＝0，
∴S阴影＝a2﹣c2﹣（b2﹣S四边形DEFG）＝a2﹣c2﹣b2+S四边形DEFG＝S四边形DEFG
∴S四边形DEFG＝S1+S2+S3＝1+2+3＝6，
故选：D．
二．填空题
11．解：已知直角三角形的两直角边为6、8，
则斜边长为＝10，
故斜边的中线长为×10＝5，
故答案是：5．
12．解：如图，过A作AD⊥BC于D，
设BD＝x，则CD＝6﹣x，
依题意有（2）2﹣x2＝（4）2﹣（6﹣x）2，
解得x＝2，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝4，
则△ABC的面积为×6×4＝12．
故答案为：12．
13．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝，
所以，S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝×（）2+×（）2+×（）2，
＝（AC2+BC2+AB2），
＝×（）2，
＝．
故答案为：．
14．解：如图，连接OB，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17，BC＝15，
∴AC＝＝＝8，
∵点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，
∴OE＝OF＝OD，
又∵OB是公共边，
∴Rt△BOF≌Rt△BOD（HL），
∴BD＝BF，
同理AE＝AF，CE＝CD，
∵∠C＝90°，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE，
∴四边形OECD是正方形，
设OE＝OF＝OD＝x，则CE＝CD＝x，BD＝BF＝15﹣x，AF＝AE＝8﹣x，
∴15﹣x+8﹣x＝17，解得x＝3．
∴OE＝OF＝OD＝3．
故答案为：3．
15．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
∴AB2+CD2＝AD2+BC2，
∵AD＝2，BC＝4，
∴AB2+CD2＝22+42＝20．
故答案为：20．
三．解答题
16．解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDA＝90°．
在Rt△ADB中，∵∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2 ＝ AB2，
∴AD2＝AB2﹣BD2＝144．
∵AD＞0，
∴AD＝12．
（2）在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，
∴AD2+CD2 ＝ AC2 ，
∴CD2＝AC2﹣AD2＝81．
∵CD＞0，
∴CD＝9．
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
17．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，
∴AB＝AC＝BC＝6，
在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝3，
由勾股定理得，CD＝＝3；
（2）过点B作BE⊥AD交DA的延长线于E，
由题意得，∠BAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴BE＝AB＝3，
由勾股定理得，AE＝＝3，
∴DE＝AE+AD＝3+3，
∴BD2＝BE2+DE2＝32+（3+3）2＝45+18．
18．解：（1）梯形ABCD的面积为，
也可以表示为，∴，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．