人教版数学九年级下册 第27章 27.2 相似三角形同步测试试题（一）（Word版 含解析）

相似三角形同步测试试题（一）
一．选择题
1．如图，DE∥BC，下列各式不正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（　　）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
3．若直角三角形的两条直角边各扩大2倍，则斜边扩大（　　）
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍
4．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形DECB的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
6．如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（　　）
①AM平分∠CAB；
②AM2＝ACAB；
③若AB＝4，∠APE＝30°，则的长为；
④若AC＝3，BD＝1，则有．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，已知：△ABC∽△DAC，∠B＝36°，∠D＝117°，∠BAD的度数为（　　）
A．36° B．117° C．143° D．153°
8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：
①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．
正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，梯形ABCD的面积为12，AB＝2CD，E为AC的中点，BE的延长线交AD于F，则△AEF的面积是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．如图，△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①∠C＝∠E；②△ADE∽△FDB；③∠AFE＝∠AFC；④FD＝FB．其中正确的结论是　 　．
12．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，AC与BD交于点O，E、F为AC、BD的中点，等边△OEF的边长为1，S△BOC＝，则梯形ABCD的面积为　 　．
13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E、F分别是AB、AD的中点，直线EF分别交CB、CD的延长线于G、H，且BC：AD＝7：4，对角线AC＝28，则GH的长为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，AF⊥BE于点F，以BF为直径的圆与BC交于点G，则的值为　 　．
15．如图所示，⊙O中两弦AB，CD相交于点M，且AC＝CM＝DM，MB＝AM＝1，则⊙O的直径为　 　．
三．解答题
16．如图，AC，BD相交于的点O，且∠ABO＝∠C．
求证：△AOB∽△DOC．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．请写出一对相似三角形，并证明．
18．如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过顶点D作DF⊥AE，垂足为F，求证：△ABE∽△DFA．
19．如图，方格网的小方格是边长为1的正方形，A、B、C、D四点都在格点上．
（1）找出图中一组相似三角形，并给予证明；
（2）作∠ABC和∠ACD的角平分线BM、CM，求∠BMC的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵DE∥BC，
＝，＝，＝，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
2．【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：B．
3．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别是x，y，
原来直角三角形的斜边：．
两条直角边都扩大2倍后两直角边为2x，2y，
则斜边：．
所以斜边也扩大2倍．
故选：A．
4．【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∵△ADE的面积为1，
∴△ABC的面积为4，
∴四边形DBCE的面积等于3，
故选：B．
5．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．
故选：C．
6．【解答】解：连接OM，
∵PE为⊙O的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴，
∴AM2＝ACAB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴的长为，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，
∴BD∥AC，
∴，
∴PB＝PA，
∴PB＝AB，BD＝OM，
∴PB＝OB＝OA，
∴在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，
∴OP＝4，
∴∠OPM＝30°，
∴PM＝2，
∴CM＝DM＝DP＝，故④正确．
故选：C．
7．【解答】解：∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝153°，
故选：D．
8．【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∵AD∥BE，
∴＝＝2，
即AG：GE＝2：1；
故①正确；
②∵AD∥BE，
∴，
∴BG＝BD，
同理得：DH＝BD，
∴BG＝GH＝HD，
∴BG：GH：HD＝1：1：1；
故②正确；
③∵AD∥BE，
∴△BEG∽△DAG，
∴＝，
∵BG＝GH＝HD，
∴S5＝S3＝S4，
设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，
∴S＝12x，
同理可得：S2＝x，
∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；
故③正确；
④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，
∴S2：S4：S6＝1：2：4，
故④正确；
所以本题的4个结论都正确；
故选：D．
9．【解答】解：∵EF∥BC，
∴，
∵EG∥AB，
∴，
∴，
故选：A．
10．【解答】解：作辅助线如下：延长EF交CD的延长线于点M，
∵梯形ABCD的面积为12，AB＝2CD，E为AC的中点，BE的延长线交AD于F，
∴△ADC的面积＝△AEB的面积＝△ECB的面积＝×梯形ABCD的面积＝×12＝4，
∵△MDF∽△FAB，
∵MD＝AB，
∴△MDF的面积＝△AFB的面积，
∵假设△AEF的面积为k，
∴四边形EFDCDE 的面积为4﹣k，
∴△MDF的面积＝×（k+4），
∵△MEC的面积＝△AEB的面积，
∴×（k+4）+4﹣k＝4，
∵k＝，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：在△ABC与△AEF中，
，
∴△AEF≌△ABC，
∴AF＝AC，∠AFE＝∠C，
∴∠AFC＝∠C，
∴∠AFE＝∠AFC；
由∠B＝∠E，∠ADE＝∠FDB，
可知△ADE∽△FDB；
无法得到∠C＝∠E；FD＝FB．
综上可知：②③正确，
故答案为：②③．
12．【解答】解：画出示意图，如图所示：连接BE，并延长BE交CD于H，
∵E、F为AC、BD的中点，
∴AE＝EC，BF＝DF，
∵△EOF是等边三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠EOF＝60°，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CHE，
∴＝1，
∴BE＝EH，
又∵BF＝DF，
∴EF∥CD，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠OFE＝∠ODC＝∠ABO＝60°，∠OEF＝∠OCD＝∠OAB＝60°，
∴△ABO、△CDO为等边三角形，
∴设CD＝OD＝OC＝a，
∴DF＝BF＝a﹣1，
∴OB＝（a﹣1）﹣1＝a﹣2；CF＝，
∵S△BOC＝，
∴（a﹣2）×a＝．
∴a＝5．
∴梯形面积为16．
故答案为：16．
13．【解答】解：连接BD，如下图所示，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，
∴此梯形为等腰梯形，
∴BD＝AC＝28，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴AE＝EB，AF＝FD＝AD，
∵AD∥BC．
∴∠FAE＝∠EBG（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEF＝∠GEB，
∴△AEF≌△BEG（ASA），
∴GB＝AF＝FD，EG＝EF，
∵FD∥BC，
∴△HFD∽△HGC，
∴＝，
∵BC：AD＝7：4，
∴﹣＝，
设HF＝2k，
∴FE＝EG＝×7k，
∵四边形FDBG是平行四边形，
∴FG＝BD＝28，
∴7k＝28，
∴k＝4，
∴GH＝9k＝36，
故答案为：36．
14．【解答】解：连接FG，如下图所示：
∵在正方形ABCD中，E是AD的中点，AF⊥BE于点F．
∴AE＝ED＝AB，
∴∠EFA＝90°＝∠EAB，
∵∠FEA＝∠AEB，
∴△FEA～△AEB，
∴＝，
∴EF＝AF，
设EF＝k，
∴AF＝2k，
∵∠EAF＝∠ABF，
∵∠AFE＝∠BFA＝90°，
∴△AFE∽△BFA，
∴＝，
∴BF＝4k，
∴BE＝5k，
设正方形的边长为2a，∴BE＝a，
∴k＝a，
∵BF是圆的直径，
∴∠BGF＝90°，
∵∠AEF＝∠FBG，
∠AFE＝∠BGF＝90°，
∴△AFE∽△FGB
∴FG＝2BG，
∵BF＝4k＝a，
∴BG＝a，
∴GC＝2a﹣BG＝2a﹣a＝a，
∴＝，
故答案为：．
15．【解答】解：如图，连接OB，OC，BC，BD，过点C作CH⊥AB于H，
∵MB＝AM＝1，
∴AM＝3，
∵∠A＝∠D，∠CMA＝∠BMD，
∴△AMC∽△DMB，
∴，
∵CM＝AC＝MD，
∴CM2＝1×3＝3，
∴CM＝DM＝＝AC，
∵CH⊥AB，
∴AH＝HM＝，
∴CH＝＝＝，
∴BC＝＝＝，
∵sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
又∵BO＝CO，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝CO＝，
∴⊙O的直径为2，
故答案为2．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】证明：∵AC，BD相交于的点O，
∴∠AOB＝∠DOC，
又∵∠ABO＝∠C，
∴△AOB∽△DOC．
17．【解答】解：△BEC∽△ADC，
证明如下：
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
又∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°．
∴∠ADC＝∠BEC＝90°．
又∵∠C＝∠C，
∴△BEC∽△ADC．
18．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠AEB，
又∵∠B＝∠DFA＝90°，
∴△ABE∽△DFA．
19．【解答】解：（1）△ADC∽△ACB，
理由如下：由勾股定理：AD＝2，AC＝5，DC＝，BC＝5，AB＝5，
∴；
∴△ADC∽△ACB；
（2）如图，连接CH，
∵BM，CM分别平分∠ABC和△ACD，
∴∠ABM＝∠CBM，∠DCM＝∠ACM，
∴∠BMC＝180°﹣∠MBC﹣∠BCD﹣∠DCM＝180°﹣∠ABM﹣∠CBM﹣∠BCD＝∠BDC，
由勾股定理可得CM＝，CD＝，DH＝2，
∵CM2+CD2＝20＝DH2，
∴∠DCH＝90°，
又∵CM＝CD，
∴∠BDC＝45°＝∠BMC．