人教版数学九年级下册 第27章 27.2 相似三角形同步测试试题（一）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册 第27章 27.2 相似三角形同步测试试题（一）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 297.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-27 15:04:28 | ||
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文档简介
相似三角形同步测试试题（一）
一．选择题
1．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（ ）cm．
A．16 B．16或28 C．36 D．16或36
2．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：1 B．3：2 C．6：2 D．9：4
3．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm
4．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32 B．24 C．48 D．64
5．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD边长为4，E是正方形外一点，BE＝CE＝，点E关于BD的对称点为点F，连结EB，DF并延长相交于点G，则AG的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，DE∥BC，下列各式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：
①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．
正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
二．填空题
11．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 米．
12．如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 ．
13．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是 ．
14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
15．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．
三．解答题
16．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，AE＝AC．连接DE并延长，交AB于点G，过点G作GH∥AC，交BC于点H，连接DH交AC于点F，平行四边形ABCD的面积为24．
（1）求证：EF＝2AE；
（2）△ADG的面积＝ ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝15，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若DF＝9，求线段BE的长．
18．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
19．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺．测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝6米，CD＝22米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为24cm，
∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，
故选：D．
2．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：9：4．
故选：D．
3．【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．
故选：C．
4．【解答】解：标出字母，如图：
∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠MAD，
∵DE∥AB交AC的延长线于点E，
∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴ED＝EA，
∵在三角形ABC与三角形CED中，
∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△CED，
∴＝，
∵AB＝15cm，AC＝12cm，
设ED＝15k，
∴CE＝12k，
∴ED＝15k＝EA＝EC+CA＝12k+12，
∴3k＝12，
∴k＝4，
∴CE＝12k＝48（cm），
故选：C．
5．【解答】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，
则四边形CEHO是矩形，
∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，
∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（1+x，），
∵P（1，0），
∴PM＝＝，
∴PM的最小值为＝，
故选：C．
6．【解答】解：如图，作GM⊥DA于M，GJ⊥AB于J，EP⊥BC于P，EN⊥DC于N，设MG＝x，MA＝y，如下图所示，
由BP＝2，BE＝，得PE＝，
∵点E关于BD的对称点为点F，
∴∠GDB＝∠BDE，
∴∠MDG＝45°﹣∠GDB＝∠NDE＝45°﹣∠BDE，
∵∠DMG＝∠DNE＝90°，
∴△DMG∽△DNE，得＝，
∵AB⊥BC，
∵BC⊥EP，
∴AB∥PE，
∴∠JBG＝∠PEB，
∵∠GJB＝∠BPE＝90°，
∴△BJG∽△EPB，得＝，
解得：x＝y＝，
∴AG＝．
故选：D．
7．【解答】解：∵DE∥BC，
＝，＝，＝，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
8．【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：B．
9．【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∵AD∥BE，
∴＝＝2，
即AG：GE＝2：1；
故①正确；
②∵AD∥BE，
∴，
∴BG＝BD，
同理得：DH＝BD，
∴BG＝GH＝HD，
∴BG：GH：HD＝1：1：1；
故②正确；
③∵AD∥BE，
∴△BEG∽△DAG，
∴＝，
∵BG＝GH＝HD，
∴S5＝S3＝S4，
设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，
∴S＝12x，
同理可得：S2＝x，
∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；
故③正确；
④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，
∴S2：S4：S6＝1：2：4，
故④正确；
所以本题的4个结论都正确；
故选：D．
10．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝0.75．
故答案为0.75．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝15，
∵E是边AB中点，
∴AE＝6，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴CF＝2AF，
∵AF+CF＝AC＝15，
∴AF＝5，
∴CF＝10，
故答案为：10．
13．【解答】解：∵两个三角形的相似比是2：3，
∴它们面积的比是（）2＝，
故答案为：4：9．
14．【解答】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝2，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，
∴AC＝，
故答案为：．
15．【解答】解：当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝9，
故答案为：1.5或9．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝AC，
∴AE：EC＝1：3，
∵AG∥CD，
∴△AEG∽△CED，
∴＝＝＝，
∴DE：DG＝3：4，AG：AB＝1：3，
∴BG：AB＝2：3，
∵EF∥GH，
∴△DEF∽△DGH，
∴＝＝，
∴GH＝EF，
∵GH∥AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴＝＝，
∴GH＝AC，
∴EF＝AC＝×4AE，
∴EF＝2AE；
（2）∵AG：AB＝1：3，
∴S△ADG＝S平行四边形ABCD＝×24＝4．
故答案为4．
17．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
∴△AFD∽△EBA；
（2）∵△AFD∽△EBA，
∴＝，
∵DF＝9，∠F＝90°，
∴AF＝＝12，
∴＝，
∴BE＝8．
18．【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
19．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．
一．选择题
1．两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为24cm，则另一个三角形的周长是（ ）cm．
A．16 B．16或28 C．36 D．16或36
2．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（ ）
A．1：1 B．3：2 C．6：2 D．9：4
3．两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（ ）
A．45cm，85cm B．60cm，100cm C．75cm，115cm D．85cm，125cm
4．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（ ）cm．
A．32 B．24 C．48 D．64
5．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD边长为4，E是正方形外一点，BE＝CE＝，点E关于BD的对称点为点F，连结EB，DF并延长相交于点G，则AG的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，DE∥BC，下列各式不正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
8．如图，点P是等腰△ABC的腰AB上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似．满足这样条件的直线最多有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
9．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：
①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．
正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
二．填空题
11．如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子AD刚好在甲的影子AC里边，已知甲身高BC为1.6米，乙身高DE为1.4米，甲的影长AC是6米，则甲、乙同学相距 米．
12．如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为 ．
13．两个三角形的相似比是2：3，那么它们面积的比是 ．
14．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长 ．
15．如图所示，长CD与C′D′之间距离为1，宽AD与A′D′之间距离为x，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似．
三．解答题
16．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，AE＝AC．连接DE并延长，交AB于点G，过点G作GH∥AC，交BC于点H，连接DH交AC于点F，平行四边形ABCD的面积为24．
（1）求证：EF＝2AE；
（2）△ADG的面积＝ ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝15，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若DF＝9，求线段BE的长．
18．如图，已知△ABC∽△ACD，AC＝6，AD＝4，CD＝2AD，求BD和BC的长．
19．如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺．测倾器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝6米，CD＝22米，∠CDE＝135°．已知小华的身高AB＝1.6米，请根据以上数据，求DE的长度．（结果保留根号）
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵两个相似三角形面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴两个相似三角形周长比是2：3，
∵一个三角形的周长为24cm，
∴另一个三角形的周长是16cm或36cm，
故选：D．
2．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为3：2，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：9：4．
故选：D．
3．【解答】解：根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，
大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8＝5cm，
所以两个三角形的周长分别为5×15＝75cm，5×23＝115cm．
故选：C．
4．【解答】解：标出字母，如图：
∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠MAD，
∵DE∥AB交AC的延长线于点E，
∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴ED＝EA，
∵在三角形ABC与三角形CED中，
∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△CED，
∴＝，
∵AB＝15cm，AC＝12cm，
设ED＝15k，
∴CE＝12k，
∴ED＝15k＝EA＝EC+CA＝12k+12，
∴3k＝12，
∴k＝4，
∴CE＝12k＝48（cm），
故选：C．
5．【解答】解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，
则四边形CEHO是矩形，
∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，
∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（1+x，），
∵P（1，0），
∴PM＝＝，
∴PM的最小值为＝，
故选：C．
6．【解答】解：如图，作GM⊥DA于M，GJ⊥AB于J，EP⊥BC于P，EN⊥DC于N，设MG＝x，MA＝y，如下图所示，
由BP＝2，BE＝，得PE＝，
∵点E关于BD的对称点为点F，
∴∠GDB＝∠BDE，
∴∠MDG＝45°﹣∠GDB＝∠NDE＝45°﹣∠BDE，
∵∠DMG＝∠DNE＝90°，
∴△DMG∽△DNE，得＝，
∵AB⊥BC，
∵BC⊥EP，
∴AB∥PE，
∴∠JBG＝∠PEB，
∵∠GJB＝∠BPE＝90°，
∴△BJG∽△EPB，得＝，
解得：x＝y＝，
∴AG＝．
故选：D．
7．【解答】解：∵DE∥BC，
＝，＝，＝，
∴选项A，B，D正确，
故选：C．
8．【解答】解：∵BA＝BC，
∴∠A＝∠C，
①作PE∥BC，可得△APE∽△ABC．
②作PF∥AC，可得△BPF∽△BAC．
③作∠APG＝∠A，可得∠AGP∽△ABC，
故选：B．
9．【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是BC的中点，
∴BE＝BC，
∵AD∥BE，
∴＝＝2，
即AG：GE＝2：1；
故①正确；
②∵AD∥BE，
∴，
∴BG＝BD，
同理得：DH＝BD，
∴BG＝GH＝HD，
∴BG：GH：HD＝1：1：1；
故②正确；
③∵AD∥BE，
∴△BEG∽△DAG，
∴＝，
∵BG＝GH＝HD，
∴S5＝S3＝S4，
设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，
∴S＝12x，
同理可得：S2＝x，
∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；
故③正确；
④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，
∴S2：S4：S6＝1：2：4，
故④正确；
所以本题的4个结论都正确；
故选：D．
10．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，
∵练习本中的横格线都平行，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝，即＝，
∴CD＝6cm．
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝0.75．
故答案为0.75．
12．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，
∴AC＝＝＝15，
∵E是边AB中点，
∴AE＝6，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴CF＝2AF，
∵AF+CF＝AC＝15，
∴AF＝5，
∴CF＝10，
故答案为：10．
13．【解答】解：∵两个三角形的相似比是2：3，
∴它们面积的比是（）2＝，
故答案为：4：9．
14．【解答】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝2，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，
∴AC＝，
故答案为：．
15．【解答】解：当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
当时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝9，
故答案为：1.5或9．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝AC，
∴AE：EC＝1：3，
∵AG∥CD，
∴△AEG∽△CED，
∴＝＝＝，
∴DE：DG＝3：4，AG：AB＝1：3，
∴BG：AB＝2：3，
∵EF∥GH，
∴△DEF∽△DGH，
∴＝＝，
∴GH＝EF，
∵GH∥AC，
∴△BGH∽△BAC，
∴＝＝，
∴GH＝AC，
∴EF＝AC＝×4AE，
∴EF＝2AE；
（2）∵AG：AB＝1：3，
∴S△ADG＝S平行四边形ABCD＝×24＝4．
故答案为4．
17．【解答】（1）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD＝10，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAF，
∵DF⊥AE，
∴∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
∴△AFD∽△EBA；
（2）∵△AFD∽△EBA，
∴＝，
∵DF＝9，∠F＝90°，
∴AF＝＝12，
∴＝，
∴BE＝8．
18．【解答】解：∵AD＝4，CD＝2AD，
∴CD＝8，
∵△ABC∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
解得，AB＝9，BC＝12，
∴BD＝AB﹣AD＝5．
19．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDF＝45°，
设EF为x米，DF＝x米，DE＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴，
即＝，
解得：x＝8，
∴DE＝8，
答：DE的长度为8米．