北师大版八年级下册数学 1.1等腰三角形 同步练习 (Word版 含解析)

1.1等腰三角形 同步练习
一．选择题
1．等腰三角形的一边等于3，一边等于7，则此三角形的周长为（　　）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
2．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的另外两个内角是（　　）
A．65°，65° B．80°，50°
C．65°，65°或80°，50° D．不确定
3．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（　　）
A．54° B．60° C．72° D．76°
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
5．如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
6．如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（　　）
A．40° 100° B．70° 70°
C．40° 100°或70° 70° D．以上都不对
8．如图，D为△ABC边上一点，连接CD，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（　　）
A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AC＝BC（等腰三角形三线合一）
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一）
C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知）∴AD＝BD（等腰三角形三线合一）
D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知）∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一）
9．如图，等边△ABC中，AB＝4，点P在边AB上，PD⊥BC，DE⊥AC，垂足分别为D、E，设PA＝x，若用含x的式子表示AE的长，正确的是（　　）
A．2﹣x B．3﹣x C．1 D．2+x
10．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二．填空题
11．已知等腰三角形的一个外角等于130?，则它的顶角等于　 　．
12．如图，BD为等边△ABC的边AC上的中线，E为BC延长线上一点，且DB＝DE，若AB＝6cm，则CE＝　 　cm．
13．如图，B在AC上，D在CE上，AD＝BD＝BC，∠ACE＝25°，∠ADE＝　 　度．
14．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上一点，∠DCE＝∠DAE＝60°，AD＝2.4，BE＝7，则DE＝　 　．
15．如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝24°，则∠1＝　 　°．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝40°．求：
（1）∠ADC的大小；
（2）∠BAD的大小．
17．如图，在△ABC中，AB＝BC＝AD，BD＝CD，求∠ABC的度数．
18．如图所示，已知△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）M、N同时运动几秒后，M、N两点重合？
（2）M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间？
参考答案
一．选择题
1．解：①当等腰三角形的三边长是3，3，7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成等腰三角形；
②当等腰三角形的三边长是3，7，7时，符合三角形的三边关系定理，能组成等腰三角形，此三角形的周长是3+7+7＝17；
综合上述：三角形的周长是17，
故选：C．
2．解：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
①当底角∠B＝50°时，则∠C＝50°，
∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°；
②当顶角∠A＝50°时，
∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝×（180°﹣∠A）＝65°；
即其余两角的度数是50°，80°或65°，65°，
故选：C．
3．解：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝36°，
∵BC∥AO，
∴∠BCA＝∠A＝36°，
∴∠BCO＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝72°．
故选：C．
4．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝30°．
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°．
∴∠DAF＝∠F＝30°，
∴AD＝DF．
∵AB＝11，∠B＝30°，
∴AD＝5.5，
∴DF＝5.5
故选：C．
5．解：过点P作PD⊥CB于点D，
∵∠ACB＝60°，PD⊥CB，PC＝12，
∴DC＝6，
∵PM＝PN，MN＝3，PD⊥OB，
∴MD＝ND＝1.5，
∴CM＝6﹣1.5＝4.5．
故选：D．
6．解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，
∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，
∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，
∴∠ADC＝30°，
∴DC＝2AC＝6，
∴DE＝DC＝6，
故选：D．
7．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣40°）÷2＝70°；
②当这个角是底角时，底角＝40°，顶角为180°﹣2×40°＝100°；
综上：其它两个内角的度数为70°，70°或40°，100°．
故选：C．
8．解：A．∵AD＝BD，∠ACD＝∠BCD（已知），
∴AC＝BC（等腰三角形三线合一），
条件没有等腰三角形，
故因果关系与所填依据不符；
B．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），
∴∠ACD＝∠BCD（等腰三角形三线合一），
因果关系与所填依据相符；
C．∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD（已知），
∴AD＝BD（等腰三角形三线合一），
因果关系与所填依据相符；
D．∵AC＝BC，AD＝BD（已知），
∴CD⊥AB（等腰三角形三线合一），
因果关系与所填依据相符；
故选：A．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝4，∠B＝∠C＝60°，
∵PD⊥BC，DE⊥AC，
∴BD＝PB，CE＝CD，
∵PA＝x，
∴BP＝4﹣x，
∴BD＝PB＝2﹣x，
∴CD＝4﹣（2﹣x）＝2+x，
∴CE＝1+x，
∴AE＝4﹣（1+x）＝3﹣x，
故选：B．
10．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．
②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．
综上所述：符合条件的点P共有6个．
故选：B．
二．填空题
11．解：∵等腰三角形的一个外角等于130?，
∴与其相邻的内角为50°．
当50°为顶角时，其他两角为65°、65°；
当50°为底角时，其他两角为50°、80°．
所以等腰三角形的顶角可以是50°，也可以是80°．
故答案为：50°或80°．
12．解：∵BD为等边△ABC的边AC上的中线，∴BD⊥AC，
∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠E＝30°
∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝60°
∴∠CDE＝30°
∴∠CDE＝∠E，
即CE＝CD＝AC＝3cm．
故填3．
13．解：∵BD＝BC，∠ACE＝25°
∴∠BDC＝∠C＝25°
∴∠ABD＝50°
∵AD＝BD
∴∠A＝∠ABD＝50°
∴∠ADE＝∠A+∠C＝75°．
故填75．
14．解：如图，在AB上截取BF＝AD，连接CF，
∵CA＝CB，∠ACB＝120°，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，
∵∠DAE＝60°
∴∠DAC＝∠DAE﹣∠CAB＝30°
∴∠DAC＝∠CBA，且AD＝BF，AC＝BC
∴△ADC≌△BFC（SAS）
∴∠ACD＝∠BCF，CD＝CF，
∵∠ACB＝∠ACE+∠ECF+∠BCF＝∠ACE+∠ECF+∠ACD＝∠DCE+∠ECF＝120°
∴∠ECF＝60°＝∠DCE，且CE＝CE，DC＝CF
∴△DCE≌△FCE（SAS）
∴DE＝EF
∴DE＝BE﹣BF＝BE﹣AD＝7﹣2.4＝4.6，
故答案为4.6．
15．解：∵a∥b，
∴∠1＝∠ACD，
∵△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝60°﹣24°＝36°，
∴∠1＝36°．
故答案为36．
三．解答题
16．解：（1）∵AB＝AC，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°；
（2）∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°．
17．解：∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠CBD，
设∠BCD＝∠CBD＝x°，
∵AB＝BC＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠BCD+∠CBD＝2x°，∠A＝∠C＝x°，
∴∠ABC＝3∠C＝3x°，
∵∠B+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180，
解得x＝36，
∴∠C＝36°
∴∠ABC＝3∠C＝108°．
18．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+10＝2x，
解得：x＝10；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝10﹣2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，
∴t＝10﹣2t，
解得t＝，
∴点M、N运动秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图②，假设△AMN是等腰三角形，
∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM＝y﹣10，NB＝30﹣2y，CM＝NB，
y﹣10＝30﹣2y，
解得：y＝．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰△AMN，此时M、N运动的时间为秒．