行星的运动
一、单项选择题
1．关于日心说被人们所接受的原因是( B )
A．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题
B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了
C．地球是围绕太阳转的
D．太阳总是从东面升起，从西面落下
解析：托勒密的地心学说可以解释行星的运行问题，但非常复杂，缺少简洁性，而简洁性正是当时人们所追求的．哥白尼的日心说之所以能被当时人们所接受正是因为这一点．要结合当时历史时事来判断．
2．理论和实践证明，开普勒定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体(包括卫星绕行星的运动)都适用．下面对于开普勒第三定律的公式＝k的说法正确的是( C )
A．公式只适用于轨道是椭圆的运动
B．式中的k值，对于所有行星(或卫星)都相等
C．式中的k值，只与中心天体有关，与绕中心天体旋转的行星(或卫星)无关
D．若已知月球与地球之间的距离，根据公式可求出地球与太阳之间的距离
解析：行星和卫星的轨道可以近似为圆，公式＝k也适用，故A错误；k是一个由中心天体决定而与运动天体无关的常量，但不是恒量，不同星系中的k值不同，故B错误，C正确；月球绕地球转动的k值与地球绕太阳转动的k值不同，故D错误．
3．已知两颗行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为( C )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由＝k知()3＝()2，则＝，与行星质量无关．
4．我国发射“天宫一号”空间实验舱时，先将实验舱发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200
km，远地点N距地面362
km，如图所示．进入该轨道正常运行时，其周期为T1，通过M、N点时的速率分别是v1、v2.当某次通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃实验舱上的发动机，使在短时间内加速后进入离地面362
km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，周期为T2，这时实验舱的速率为v3.比较在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，及在两个轨道上运行的周期，下列结论正确的是( A )
A．v1>v3
B．v2>v1
C．a2>a1
D．T1>T2
解析：根据开普勒第三定律(周期定律)可知，轨道半径大的周期大，所以T1v2，v1>v3，选项B错误；A正确；由a＝可知，a1>a2，选项C错误．
5．月球绕地球运动的周期约为27天，则月球中心到地球中心的距离R1与地球同步卫星(绕地球运动的周期与地球的自转周期相同)到地球中心的距离R2之比R1∶R2约为( B )
A．3∶1
B．9∶1
C．27∶1
D．18∶1
解析：由开普勒第三定律有＝，所以＝＝＝，选项B正确，A、C、D错误．
二、多项选择题
6．关于行星的运动，以下说法正确的是( BD )
A．行星轨道的半长轴越长，自转周期越大
B．行星轨道的半长轴越长，公转周期越大
C．水星的半长轴最短，公转周期最长
D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运动的公转周期最长
解析：根据开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k.所以行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大；行星轨道的半长轴越短，公转周期就越小．特别要注意公转周期和自转周期的区别，例如：地球的公转周期为一年，而地球的自转周期为一天.
7．太阳系中的第二大行星——土星的卫星众多，目前已发现数十颗．下表是有关土卫五和土卫六两颗卫星的一些参数．则两卫星相比较，下列判断正确的是( ACD )
卫星
距土星的距离/km
半径/km
质量/kg
发现者
土卫五
527
000
765
2.49×1021
卡西尼
土卫六
1
222
000
2
575
1.35×1023
惠更斯
A.土卫五的公转周期较小
B．土卫六的转动角速度较大
C．土卫六的向心加速度较小
D．土卫五的公转速度较大
解析：比较同一个行星的两卫星的运动情况，其方法与比较太阳的任意两颗行星的运动情况的方法一样．卫星本身的大小、形状与其运动快慢无关．筛选所给的信息，其重要信息是：卫星离土星的距离，设其运动轨道是圆形的，且做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律：轨道半径的三次方与公转周期的二次方的比值相等，得选项A正确．土卫六的周期较大，则由匀速圆周运动的知识得，土卫六的角速度较小，故选项B错误．根据匀速圆周运动向心加速度公式a＝ω2r＝2r及开普勒第三定律＝k得a＝r＝4π2··＝4π2k，可知轨道半径大的向心加速度小，故选项C正确．由于v＝＝2π＝2π，可知轨道半径小的公转速度大，故选项D正确．
8．如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O沿不同轨道做圆周运动，旋转方向相同．A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇(即两行星距离最近)，则( BD )
A．经过时间t＝T1＋T2两行星将第二次相遇
B．经过时间t＝，两行星将第二次相遇
C．经过时间t′＝，两行星第一次相距最远
D．经过时间t′＝，两行星第一次相距最远
解析：两行星做圆周运动的角速度分别为ω1＝，ω2＝，由于r1ω2，两行星第二次相遇时，A比B多运动一周，所以用时t＝＝＝，A错，B对；两行星第一次相距最远时，A比B行星多运动半周，用时t′＝＝＝，故C错，D对．
三、非选择题
9．如图所示，一颗人造卫星先沿着圆轨道A运动，再沿着椭圆轨道B运动，最后又沿着圆轨道C运动．设在这三个轨道上周期分别为TA、TB、TC，则TA、TB、TC的大小关系为TC>TB>TA.
解析：由于RA10．天文观测发现某小行星绕太阳的周期是27年，它离太阳的最小距离是地球轨道半径的2倍，求该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的几倍？
答案：16倍
解析：设该小行星离太阳的最大距离为s，由开普勒第三定律有＝得：s＝16R，即该小行星离太阳的最大距离是地球轨道半径的16倍．
11．“卡西尼”号飞船在经过近7年的太空旅行后，于美国东部时间2004年7月1日零时12分成功飞入土星轨道，成为进入土星轨道的第一艘人造飞船．土星直径为119
300
km，是太阳系中第二大行星，它表面风速超过1
600
km/h，土星是太阳系中唯一密度小于水的行星，自转周期只有10
h
39
min，公转周期为29.4年，距离太阳14亿3千2百万公里．土星最引人注目的是环绕着其赤道的巨大光环，在地球上人们只需要一架小型望远镜就能清楚地看到光环，环外沿直径约为274
000
km.请由上面提供的信息，估算地球距太阳有多远？
答案：1.50×1011
m
解析：根据开普勒第三定律有＝k，k只与太阳质量有关，则＝，其中T为公转周期，a为行星到太阳的距离，代入数值得＝，a地≈1.50×1011
m.
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5太阳与行星间的引力
一、单项选择题
1．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所受万有引力F与轨道半径r的关系是( D )
A．F与r成正比
B.F与r成反比
C．F与r2成正比
D.F与r2成反比
解析：卫星围绕地球做匀速圆周运动时，向心力由万有引力提供，此时卫星与地球间的距离即为卫星的轨道半径，由太阳与行星间的引力F＝可知，D正确．
2．在牛顿发现太阳与行星间的引力过程中，已知太阳对行星的引力表达式推出行星对太阳的引力表达式，是一个很关键的论证步骤，这一步骤采用的论证方法是( C )
A．研究对象的选取
B．理想化过程
C．类比
D．等效
解析：太阳对行星的引力表达式为F∝，被吸引的物体为行星且质量为m，行星对太阳的引力和太阳对行星的引力是同种性质的力，其表达式与太阳对行星引力的表达式应有相同的表达形式，被吸引的物体是太阳且质量为M，行星对太阳引力的表达式应为F′∝，这一论证过程是类比论证过程，选项C正确．
3．地球对月球具有相当大的万有引力，可它们没有靠在一起，这是因为( D )
A．不仅地球对月球有万有引力，而且月球对地球也有万有引力，这两个力大小相等，方向相反，互相抵消了
B．不仅地球对月球有万有引力，而且太阳系中的其他星球对月球也有万有引力，这些力的合力为零
C．地球对月球的引力还不算大
D．地球对月球的万有引力不断改变月球的运动方向，使得月球围绕地球运动
4．行星之所以绕太阳运行，是因为( C )
A．行星运动时的惯性作用
B．太阳是宇宙的控制中心，所有星体都绕太阳旋转
C．太阳对行星有约束运动的引力作用
D．行星对太阳有排斥力作用，所以不会落向太阳
解析：行星绕太阳做曲线运动，轨迹向太阳方向弯曲，是因为太阳对行星有引力作用，C对；行星之所以没有落向太阳，是因为引力提供了向心力，并非是对太阳有排斥力，D错；惯性应使行星沿直线运动，A错；太阳不是宇宙中心，并非所有星体都绕太阳运动，B错．
5．关于太阳对行星的引力，下列说法中正确的是( C )
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，因此有F引＝m，由此可知，太阳对行星的引力F引与太阳到行星的距离r成反比
B．太阳对行星的引力提供行星绕太阳运动的向心力，因此有F引＝m，由此可知，太阳对行星的引力F引与行星运行速度的二次方成正比
C．太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
D．以上说法均不对
解析：由向心力表达式F＝和v与T的关系式v＝得F＝①
根据开普勒第三定律＝k变形得T2＝ ②
联立①②有F＝
故太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比．
二、多项选择题
6．对于太阳与行星间的引力表达式：F＝，下列说法正确的是( BD )
A．公式中G为引力常量，与太阳、行星均无关，是人为规定的
B．M、m彼此受到的万有引力总是大小相等
C．M、m彼此受到的引力是一对平衡力，合外力等于零，M和m都处于平衡状态
D．M、m彼此受到的引力是一对作用力和反作用力
解析：万有引力是两个物体之间因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力和反作用力，不能进行合成．
7．关于太阳对行星的引力，下列说法正确的是( AD )
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力公式是由实验得出的
D．太阳对行星的引力公式是由开普勒定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
解析：太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，故A项对；太阳对行星的引力大小应与“太阳和行星的距离的平方”成反比，故B项错；太阳对行星的引力公式不是直接由实验得出的，它是在实验观察的基础上，利用开普勒定律和匀速圆周运动的规律推导出来的，故C错、D对．
8．关于太阳与行星间的引力，下列说法中正确的是( BD )
A．由于地球比木星离太阳近，所以太阳对地球的引力一定比对木星的引力大
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C．由F＝G可知，G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与M和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看作圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
解析：根据F＝，太阳对行星的引力大小，与m、r有关，对同一行星，r越大，F越小，B正确；对不同行星，r越小，F不一定越大，还要由行星质量决定，A错误；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、M、m均无关，C错误；通常的研究中，行星绕太阳的椭圆轨道近似看作圆形，向心力由太阳对行星的引力提供，D正确．
三、非选择题
9．某物体在地球表面上受到地球对它的引力为800
N，为使此物体受到的引力减至50
N，物体距地面的高度为3R.(R为地球半径)
解析：由万有引力公式F＝G知，当地球质量M和物体质量m大小都不变时，物体受到地球的万有引力与它到地心的距离的平方成反比，设当物体受到的万有引力为50
N时，距地面的高度为h，则＝，解得h＝3R.
10．与行星绕太阳运动一样，卫星之所以能绕地球运动也同样是因为它受到地球的引力，假设有一颗人造地球卫星，质量为m，绕地球运动的
周期为T，轨道半径为r，则应有F＝.由此有人得出结论：地球对卫星的引力F应与r成正比，你认为该结论是否正确？若不正确错在何处？
答案：见解析
解析：不正确．F与r成正比，是建立在T不变的前提下的，由开普勒第三定律，人造卫星的r发生变化时，周期T也在变化，所以不能说F与r成正比．
11．地球通信卫星(同步卫星)离地面高度为3.6×107
m，地球半径R＝6.4×106
m，则它受到的地球引力是它在地面时受到的引力的多少倍？
答案：0.023倍
解析：设地球质量为M，同步卫星质量为m，离地高为h，则同步卫星在地面受到的引力F1＝G，在高空受到的引力F2＝G.
所以＝2＝（2）≈）0.023倍．
12．已知太阳的质量为M，地球的质量为m1，月亮的质量为m2，当发生日全食时，太阳、月亮、地球几乎在同一直线上，且月亮位于太阳与地球之间，如图所示．设月亮到太阳的距离为a，地球到月亮的距离为b，则太阳对地球的引力F1和对月亮的吸引力F2的大小之比为多少？
答案：
解析：由太阳对行星的引力满足F∝知
太阳对地球的引力F1＝G
太阳对月亮的引力
F2＝G
故＝.
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4万有引力定律
一、单项选择题
1．一个物体在地球表面所受的重力为G，在距地面高度为地球半径的位置，物体所受地球的引力大小为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：在地球表面附近，物体所受的重力近似等于万有引力，即重力G地＝F万＝G；在距地面高度为地球半径的位置，F′万＝G＝，故选项C正确．
2．关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是( B )
A．天王星、海王星都是运用万有引力定律，经过大量计算以后发现的
B．18世纪时人们发现太阳的第七颗行星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是人们推测出在这颗行星的轨道外还有一颗行星
C．太阳的第八颗行星是牛顿运用自己发现的万有引力定律，经过大量计算而发现的
D．以上说法都正确
解析：天王星是在1781年被发现的，而卡文迪许测出万有引力常量的值是在1789年，在此之前人们还不能用万有引力定律做具有实际意义的计算，A错误，B正确；太阳的第八颗行星是在1846年被发现的，而牛顿发现的万有引力定律于1687年发表在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，C错误．
3．在离地面高度等于地球半径的高度处，重力加速度的大小是地球表面重力加速度大小的( D )
A．2倍
B．1倍
C.倍
D.倍
解析：由“平方反比”规律知，g∝，故＝()2＝2＝.
4．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：利用填补法来分析此题原来物体间的万有引力为F，挖去半径为的球的质量为原来球的质量的，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－＝F.
5．一物体在地球表面重16
N，地面上重力加速度为10
m/s2.它在以5
m/s2加速度加速上升的火箭中的视重为9
N，则此火箭离地球表面的距离是地球半径的(忽略地球自转)( B )
A．2倍
B．3倍
C．4倍
D．一半
解析：设此时火箭上升到离地球表面高度为h处，火箭上物体的视重等于物体受到的支持力N，物体受到的重力为mg′，g′是h高处的重力加速度，由牛顿第二定律得
N－mg′＝ma ①
其中m＝，代入①式得mg′＝N－a＝N＝1
N
在距离地面为h处，物体的重力为1
N，忽略自转，物体的重力等于万有引力．在地球表面：mg＝G ②
在距地面h高处，mg′＝G ③
②与③相除可得＝，
所以R地＋h＝
R地＝R地＝4R地
所以h＝3R地，故选B.
二、多项选择题
6．牛顿以天体之间普遍存在着引力为依据，运用严密的逻辑推理，建立了万有引力定律．在创建万有引力定律的过程中，牛顿( AB )
A．接受了胡克等科学家关于“吸引力与两中心距离的平方成反比”的猜想
B．根据地球上一切物体都以相同加速度下落的事实，得出物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论
C．根据F∝m和牛顿第三定律，分析了地月间的引力关系，进而得出F∝m1m2
D．根据大量实验数据得出了比例系数G的大小
解析：在创建万有引力定律的过程中，牛顿接受了平方反比猜想，和物体受地球的引力与其质量成正比，即F∝m的结论，而提出万有引力定律．后来卡文迪许利用扭秤测量出万有引力常量G的大小，只有C项是在建立万有引力定律后才进行的探索，因此符合题意的只有A、B.
7．月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的，一个质量为600
kg的飞行器到达月球后( ABC )
A．在月球上的质量仍为600
kg
B．在月球表面的重量为980
N
C．在月球表面的高空中重量小于980
N
D．在月球上的质量小于600
kg
解析：物体的质量与物体所处的位置及运动状态无关，故A对、D错；由题意知，物体在月球表面上的受力为地球表面上受力的1/6，即F＝mg＝×600×9.8
N＝980
N，故B对；由F＝知，r增大时，引力F减小，故C对．
8．如下图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( BC )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：根据万有引力定律F＝G可知，质量分布均匀的球体间的距离r等于两球心间的距离，而r－R为同步卫星距地面的高度，故A错误；计算卫星与地球间的引力，r应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径r，故B正确；根据几何关系可知，两同步卫星间的距离d＝r，故两卫星间的引力大小为G＝G，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星与地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三颗卫星的引力大小相等方向成120°角，所以合力为0，故D错误．
三、非选择题
9．假设将质量为m的铅球放在地心O处，然后再假设在地球内部的A片挖去一个质量为m的小球体，如图所示，则铅球受到的万有引力大小约为4G，方向沿AO方向．设地球为一个质量均匀分布的标准球体，地球半径为R，地心O点到A点的距离OA＝.
解析：把地球分割为无数质点，则所有质点对地心处的铅球的万有引力合力为零(由于球有对称性)．现将整个地球分成两部分，一部分是挖出的质量为m的球体，另一部分是剩余的阴影部分，则这两部分对铅球的引力的合力为零，挖去的小球体在A处时对铅球的作用力为F＝G＝4G，根据平衡条件知，剩余的阴影部分对铅球的作用力应与挖去的小球体在A处对铅球的作用力F大小相等，方向相反．
10．已知地球质量大约是M＝6.0×1024
kg，地球平均半径为R＝6
370
km，地球表面的重力加速度g取9.8
m/s2.求：
(1)地球表面一质量为10
kg的物体受到的万有引力；
(2)该物体受到的重力；
(3)比较(1)(2)的结果，说明原因．
答案：(1)98.6
N (2)98.0
N (3)见解析
解析：(1)由万有引力定律得：F＝G
代入数据得：F＝98.6
N；
(2)G＝mg＝98.0
N；
(3)比较结果是万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和自转所需的向心力．
11．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为起动前压力的.已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度．(g为地面附近的重力加速度)
答案：
解析：在地面附近的物体，所受重力近似等于物体所受到的万有引力，即mg≈G，物体距地面一定高度时，万有引力定律中的距离为物体至地心的距离，故此时的重力加速度小于地面上的重力加速度．
取测试仪为研究对象，其先后受力如图甲、乙所示．
据物体的平衡条件有FN1＝mg1，g1＝g，
所以FN1＝mg，
据牛顿第二定律有FN2－mg2＝ma＝m·，
所以FN2＝＋mg2，
由题意知FN2＝FN1，所以＋mg2＝×mg，
所以g2＝g，由于mg≈G，设火箭距地面高度为H，
所以mg2＝G·，
所以＝，H＝.
12．火星的半径是地球的一半，质量是地球的1/9.一宇航员的质量是72
kg，则它在火星上所受的重力是多大？这名宇航员在地球上最多能举起100
kg的物体，那么他在火星上最多能举起质量为多大的物体？(地球表面的重力加速度为g＝10
m/s2)
答案：320
N 225
kg
解析：忽略自转的情况下，物体在星体表面的重力就是星体对物体的万有引力，
则mg＝G，即g＝，①
同理，可得在火星表面的重力加速度g′，
mg′＝G，即g′＝②
由①②式得，g′＝
m/s2.
设宇航员在火星上所受重力是G′，
G′＝mg′＝72×
N＝320
N，
由于该人的举力不会变，即能举起的最大重力不变，则在火星上举起最大质量为m′，
由mg＝m′g′得m′＝＝225
kg.
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7万有引力理论的成就
一、单项选择题
1．月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕地球连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为( C )
A．1∶6
400
B．1∶80
C．80∶1
D．6
400∶1
解析：月球和地球绕O点做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供各自的向心力，则地球和月球的向心力相等．且月球、地球和O点始终共线，说明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以＝，线速度与质量成反比，正确答案为C.
2．一物体从某行星表面某高度处自由下落．从物体开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图像如图所示，不计阻力．则根据下图像可以计算出
( C )
A．行星的质量
B．行星的半径
C．行星表面重力加速度的大小
D．物体受到行星引力的大小
解析：根据图像可得物体下落25
m，用的总时间为2.5
s，根据自由落体公式可求得行星表面的重力加速度，C项正确；根据行星表面的万有引力约等于重力，只能求出行星质量与行星半径平方的比值，不能求出行星的质量和半径，A项和B项错误；因为物体质量未知，不能确定物体受到行星的引力大小，D项错误．
3．已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( B )
A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．发射一颗贴近月球表面绕月球做圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T
C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T
D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T
解析：根据选项A的条件，可求出月球上的重力加速度g，由g＝可以求出月球质量和月球半径的二次方比，＝，无法求出密度，选项A不正确；根据选项B的条件，由＝m2R，可求出月球质量和月球半径的三次方比，＝，而月球密度为ρ＝＝＝，选项B正确；根据选项C的条件，无法求月球的质量，因而求不出月球的密度，选项C不正确；根据选项D的条件，由＝m2(R＋H)，可求出＝，虽然知道H的大小，但仍然无法求出月球质量和月球半径的三次方比，故选项D不正确．
4．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( B )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．地球的密度
解析：由天体运动的受力特点，得G＝m·R，可得地球的质量M＝.由于不知地球的半径，无法求地球的密度．故选B.
二、多项选择题
5．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量为G，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，一年的时间为T2(地球公转的周期)，地球中心到月球中心的距离为L1，地球中心到太阳中心的距离为L2.你能计算出( AB )
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．可求月球、地球及太阳的密度
解析：该题考查万有引力在天体运动中的应用．由万有引力定律得g＝，故m地＝，A选项正确；对地球的公转有G＝m地L22，所以m太＝，选项B正确；对月球有G＝m月L12，m地＝，无法求得m月，故选项C错误；虽能求太阳的质量，但太阳半径未知，故其体积未知无法求出，从而无法求出太阳的密度，可求得地球的平均密度ρ地＝，但无法求得m月，自然也无法求出其密度，所以选项D错误．
6．如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( CD )
A．a、b的线速度大小之比是∶1
B．a、b的周期之比是1∶2
C．a、b的角速度大小之比是3∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶4
解析：根据G＝m得v＝，＝＝
.
根据＝mr，得T＝，
＝
＝
＝＝3∶4.
根据an＝＝，得＝()2＝.
7．组成星球的物质是靠吸引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率．如果超过了该速率，则星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动．由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是( AD )
A．T＝2π
B．T＝2π
C．T＝
D．T＝
解析：当物体在该星球表面，万有引力恰好充当向心力时，由牛顿运动定律可得G＝mR2，所以T＝2π.又因为M＝ρV＝ρ·πR3，代入上式可得T＝.
三、非选择题
8．设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为R，速率为v，则太阳的质量可用v、R和引力常量G表示为.太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的7倍，轨道半径约为地球公转轨道半径的2×109倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳质量，则银河系中恒星数目约为1011.
解析：地球围绕太阳运动，而两者间的万有引力是其做圆周运动的向心力，则由＝m可得M＝.设太阳运动速率为v′，则v′＝7v.轨道半径r＝2×109R.则＝49v2，所以n＝，又因为M＝，故n≈1011(个)．
9．假设宇航员乘坐宇宙飞船到某行星考察，当宇宙飞船在靠近该星球表面空间做匀速圆周运动时，测得环绕周期为T.当飞船降落在该星球表面时，用弹簧测力计称得质量为m的砝码受到的重力为F，引力常量G为已知量，试根据以上数据求得该行星的质量．
答案：
解析：当宇宙飞船在该行星表面空间做匀速圆周运动时，它的向心力由万有引力提供，设行星质量、飞船质量分别为M、m1，则
G＝m1R ①
质量为m的砝码的重力等于万有引力，即F＝G ②
联立①②，解得M＝.
10．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝
s．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致于因自转而瓦解？[计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)]
答案：1.27×1014
kg/m3
解析：考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为ρ，质量为M，半径为R，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m，则有
＝mω2R，ω＝，M＝πR3ρ
由以上各式得ρ＝
代入数据解得ρ≈1.27×1014
kg/m3.
11．如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024
kg和7.35×1022
kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)
答案：(1)2π (2)1.012
解析：(1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为f，运行周期为T.根据万有引力定律有
f＝G，①
由匀速圆周运动的规律得f＝m2r，②
f＝M2R，③
由题意有L＝R＋r，④
联立①②③④式得T＝2π.⑤
(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
T1＝2π⑥
式中，M′和m′分别是地球与月球的质量，L′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
G＝m′2L′⑦
式中，T2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得
T2＝2π⑧
由⑥⑧式得2＝1＋⑨
代入题给数据得2≈1.012.⑩
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5宇宙航行
一、单项选择题
1．我国发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”，设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面，已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9
km/s.则该探月卫星绕月运行的速率约为( B )
A．0.4
km/s
B．1.8
km/s
C．11
km/s
D．36
km/s
解析：对于环绕地球或月球的人造卫星，其所受万有引力提供它们做圆周运动所需的向心力，即G＝m，所以v＝.第一宇宙速度指的是最小发射速度，同时也是近地卫星的环绕速度，对于近地卫星来说，其轨道半径近似等于地球半径．所以＝＝＝，因此v月＝v地＝×7.9
km/s≈1.8
km/s.
2．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设月球表面的重力加速度为g′，由物体“自由落体”可得h＝g′t2，飞船在月球表面附近做匀速圆周运动可得G＝m，在月球表面附近mg′＝，联立得v＝，故B正确．
3．我国发射的“北斗系列”卫星中，同步卫星到地心距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a2，近地卫星做圆周运动的速率为v2，向心加速度为a3，地球的半径为R，则下列比值正确的是( D )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：同步卫星与地球赤道上观测站的角速度相同，由a＝ω2r可得，＝；由＝a可得，同步卫星与近地卫星的向心加速度之比＝，所以只有D正确．
4．星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( C )
A.
B.
C.
D.gr
解析：由第一宇宙速度公式可知，该星球的第一宇宙速度为
v1＝，结合v2＝v1可得v2＝，C正确．
5．某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车沿赤道行驶，并且汽车相对于地球的速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是(地球半径R＝6
400
km，g取10
m/s2)( B )
A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大
B．当汽车离开地球的瞬间，速度达到7.9
km/s
C．此“航天汽车”环绕地球做匀速圆周运动的最小周期为1
h
D．在此“航天汽车”上，弹簧测力计无法测量力的大小
解析：汽车在地面上的运动相当于沿赤道这个大圆周做圆周运动，设汽车受地面支持力为FN，则mg－FN＝，FN＝mg－，根据牛顿第三定律知，汽车对地面的压力大小F′N＝FN＝mg－，v增大，F′N减小，故选项A错误；若成为“航天汽车”，则有mg＝m，v＝＝
m/s≈7.9×103
m/s＝7.9
km/s，选项B正确；该“航天汽车”的最小周期T＝＝
s≈1.41
h，选项C错误；在此“航天汽车”上虽无法测出重力，但可以测量拉力的大小，选项D错误．
二、多项选择题
6．下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( CD )
A．第一宇宙速度v1＝7.9
km/s，第二宇宙速度v2＝11.2
km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B．美国发射的凤凰号火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D．第一宇宙速度7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
解析：根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9
km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的凤凰号火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确．
7．一颗人造地球卫星以初速度v发射后，可绕地球做匀速圆周运动，若使发射速度增为2v，则该卫星可能( CD )
A．绕地球做匀速圆周运动
B．绕地球运动，轨道变为椭圆
C．不绕地球运动，成为太阳的人造行星
D．挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙去了
解析：以初速度v发射后能成为人造地球卫星，可知发射速度v一定大于第一宇宙速度7.9
km/s；当以2v速度发射时，发射速度一定大于15.8
km/s，已超过了第二宇宙速度11.2
km/s，也可能超过第三宇宙速度16.7
km/s，所以此卫星不再绕地球运行，可能绕太阳运行，或者飞到太阳系以外的空间去了，故选项C、D正确．
8．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示．当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是( BD )
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
解析：由G＝m得v＝
因为r3>r1，所以v3由G＝mω2r得ω＝
因为r3>r1，所以ω3<ω1
卫星在轨道1上经Q点时的加速度为地球引力产生的加速度，而在轨道2上经过Q点时，也只有地球引力产生加速度，故应相等，同理，卫星在轨道2上经P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度．
三、非选择题
9．一颗卫星沿半径为r0的圆轨道绕某一行星做匀速圆周运动，其运行周期为T.试求：
(1)行星的质量M多大？
(2)卫星运行的加速度a多大？
(3)若卫星质量为m，行星对卫星的万有引力多大？
(4)若该行星的半径是卫星运行轨道半径的0.1倍，行星表面的重力加速度g′多大？
答案：(1) (2) (3) (4)
解析：(1)对于天体运行，通过天文观测掌握其运行周期与半径，在此基础上应用万有引力等于天体运行所需向心力，有
G＝mr0ω2＝mr0，
行星的质量为M＝.
(2)运行中卫星的加速度即是它运动的向心加速度，大小为a＝.
(3)万有引力提供卫星运行所需向心力，万有引力大小为F＝ma＝.
(4)在行星表面，不考虑行星自转的影响，有mg′＝G，其中R为行星的半径．
在卫星运行的轨道上，有ma＝G，
由以上两式可得＝＝2＝100，
行星表面重力加速度大小为g′＝100a＝.
10．已知地球的半径是6.4×106
m，地球的自转周期是24
h，地球的质量是5.98×1024
kg，引力常量G＝6.67×10
－11
N·m2/kg2，若要发射一颗地球同步卫星，试求：
(1)地球同步卫星的轨道半径r；
(2)地球同步卫星的环绕速度v，并与第一宇宙速度比较大小关系．
答案：(1)4.2×107
m (2)3.1×103
m/s 小于第一宇宙速度
解析：(1)根据万有引力提供向心力得
＝mω2r，ω＝，则r＝
＝m
≈4.2×107
m
(2)根据＝m得：
v＝＝m/s≈3.1×103
m/s＝3.1
km/s<7.9
km/s.
11．宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球引力的作用．
(1)求该星球表面的重力加速度；
(2)如果要在这个星球上发射一颗贴近它表面运行的卫星，求该卫星做匀速圆周运动的线速度和周期．
答案：(1) (2)v0
解析：(1)根据运动学规律，物体上抛过程中有v＝2gh
所以星球表面的重力加速度g＝.
(2)卫星贴近星球表面运转时其轨道半径近似等于星球的半径，万有引力提供向心力
根据牛顿第二定律得G＝mg＝m，
v＝＝v0，
对应的速度大小即是第一宇宙速度．
又mg＝mR，所以运动周期T＝.
12．人们认为某些白矮星(密度较大的行星)每秒大约自转一周．(万有引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，地球半径R约为6.4×103
km)
(1)为使其表面上的物体能够被吸引住而不致由于快速转动被“甩”掉，它的密度至少为多少？
(2)假设某白矮星密度约为此值，且其半径等于地球半径，则它的第一宇宙速度约为多少？
答案：(1)1.41×1011
kg/m3 (2)4.02×107m/s
解析：(1)由于白矮星表面的物体随着它自转做圆周运动的角速度相同，而赤道上的物体圆周运动的半径最大，所需的向心力最大，最容易被甩掉，只要保证赤道上的物体不被甩掉，其他物体就不会被甩掉．假设赤道上的物体刚好不被甩掉，则白矮星对物体的万有引力恰好提供物体随白矮星转动的向心力．设白矮星质量为M，半径为r，赤道上物体的质量为m，则有G＝mr.
白矮星的质量为M＝，
白矮星的密度为ρ＝＝＝
＝kg/m3≈1.41×1011kg/m3.
即要使物体不被甩掉，白矮星的密度至少为1.41×1011
kg/m3.
(2)白矮星的第一宇宙速度，就是物体在万有引力作用下沿白矮星表面绕它做匀速圆周运动的速度，则G＝m，白矮星的第一宇宙速度为v＝＝＝≈4.02×107m/s.
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