27.2.1 相似三角形的判定 （第2课时） 课件(共21张PPT）

27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定(1)
人教版数学九年级下册
第二十七章 相似
1.定义法: 两三角形对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似.
问题1：如何判断两三角形是否相似?
2.平行法: 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，
所构成的三角形与原三角形相似。
“A”型
“X”型
问题2：三角形全等有哪几种简单的判定方法呢？
SSS、SAS、ASA、AAS、HL
猜想：有没有其他简单的办法判断两个三角形相似呢？
定义法过于繁琐
平行法有局限性
知识回顾
1
经历探索两个三角形相似的判定方法，理解“三边成比例的两个三角形相似”,“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 的判定定理。(重点)
2
能运用三角形相似的判定定理进行相关计算. (难点)
学习目标
学习目标
类比判定三角形全等的“SSS”方法，
我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
三组对应边的比相等
A
B
C
C'
B'
A'
是否有△ABC∽△A'B'C' ？
如果
导入新课
一、相似三角形的判定(SSS)
已知：如图 △ABC 和△A'B'C' 中
求证：△ABC∽△A'B'C'
问题探究
A
B
C
C'
B'
A'
?
D
E
∴
证明：在线段AB上截取 AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E。
∵ DE∥BC ，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′
∴ ， .
又∵ 且AD=A′B′，
?
∴△ABC∽△A′B′C′ .
探究新知
一、相似三角形的判定(SSS)
相似三角形的判定定理：
知识归纳
几何语言
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
三边成比例的两个三角形相似．
A
B
C
C'
B'
A'
∵
?
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
1. 已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24，
DE＝16，EF＝20， DF＝30.
(2) AB=4， BC =8， AC＝10，
DE＝20，EF＝16， DF＝8；
(1) AB =3， BC =4， AC＝6，
DE＝6， EF＝8， DF＝9；
是
否
否
针对练习
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC，
即 ∠BAD=∠CAE.
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°.
∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
2. 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD=20°，
求∠CAE 的度数.
A
B
C
D
E
解：∵
3. 如图，△ABC 中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA的中点，
求证：△ABC∽△EFD．
∴ △ABC∽△EFD.
证明：∵△ABC 中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴
∴
A
B
C
E
F
D
二、相似三角形的判定(SAS)
两边成比例且夹角相等
是否有△ABC∽△A'B'C' ？
如果∠A= ∠A′,
类比判定三角形全等的“SAS”方法，
我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
A
B
C
C'
B'
A'
探究新知
二、相似三角形的判定(SAS)
A
B
C
C'
B'
A'
已知：如图 △ABC 和△A'B'C' 中∠A= ∠A′,
求证：△ABC∽△A'B'C'
问题探究
证明：在 △ABC 的边 AB上截取点 D，使 AD = A′B′．过点 D 作 DE∥BC，交 AC′于点 E.
∵ DE∥BC，
∴ △ADE∽△ABC.
D
E
∴
?
?
又∵ ∠A= ∠A′,
∴ △ADE≌△A′B′C′
∴ △ABC∽△A'B'C'
∵ , AD = A′B′
?
二、相似三角形的判定(SAS)
相似三角形的判定定理：
知识归纳
几何语言
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
A
B
C
C'
B'
A'
∴△ABC ∽△A′B′C′.
∵ ，∠A=∠A′
?
二、相似三角形的判定(SAS)
思考
A
B
C
C'
B'
A'
如果△ABC 和△A'B'C' 中 ∠C=∠C′,
能证明△ABC∽△A'B'C' 吗？
B
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
结论
AB=7， AC=14， ∠A＝60°
A'B'＝3，A'C'＝6， ∠A'＝ 60°
1. 根据下列条件，判断△ABC 和△A'B'C' 是否相似，并说明理由。
AB=7， AC=14， ∠A＝60°
A'B'＝6，A'C'＝3，∠A' ＝ 60°
变式：根据下列条件，判断△ABC 和△A‘B’C‘ 是否相似？
∴△ABC ∽△A′B′C′.
∵ ，∠A=∠A′
?
∴△ABC ∽△A′B′C′.
∵ ，∠A=∠A′
?
针对练习
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
证明：∵ AD =AE，AB = AC，
∴
又 ∵∠DAB = ∠CAE，
∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，
即 ∠DAE =∠BAC，
∴△ABC ∽ △ADE.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
3. 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且 ，
求证 ∠ACB=90°．
证明： ∵ CD 是边 AB 上的高，
∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，
∴ ∠ACD =∠B，
∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
∵
定义法
判定定理
相似三角形的判定
平行法
比较复杂，烦琐.
有局限性，只能在特定的图形里面使用.
三边成比例的两个三角形相似．
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
课堂小结
1. 课本P34“练习”
2. 如图，已知 △ABC中，D 为边 AC 上一点，P 为边
AB上一点，AB = 12，AC = 8，AD = 6，当 AP 的长
度为 时，△ADP 和 △ABC 相似.
A
B
C
D
4 或 9
P
P
3. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，
AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，
则 AD 的长为 ．
A
B
C
D
?
课堂练习
4. 如图，D，E 分别是 △ABC 的边 AC，AB 上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的长.
A
C
B
E
D
解：∵ AE=1.5，AC=2，
∴
又∵∠EAD=∠CAB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∴
∴