《万有引力与航天》综合评估
一、选择题(1～6为单选每小题4分，7～10为多选每小题5分，共44分)
1．两颗行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则它们的公转周期之比为( C )
解析：
2．已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高h处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h为( D )
A．R
B.2R
C.R
D．(－1)R
解析：根据万有引力定律，F＝G，F′＝G＝F，代入可求解得h＝(－1)R.
3．某物体在低速(接近0)情况下质量为m0，在速度为v的高速(接近光速)情况下质量为m，则由狭义相对论，物体速度v为( B )
解析：
4．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是
( D )
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
解析：根据F＝G，可得＝·，代入数据可知，太阳的引力远大于月球的引力，则A、B错误；由于月心到不同区域海水的距离不同，所以引力大小有差异，C错误、D正确．
5.
“开普勒—226”星，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于( D )
A．3.3×103
m/s
B.7.9×103
m/s
C．1.2×104
m/s
D.1.9×104
m/s
解析：在任何天体表面重力加速度g＝＝Gρ·πR，第一宇宙速度v＝＝·R，因为行星密度与地球密度相等，所以＝，所以v′≈1.9×104
m/s.
6．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为
( B )
A.
B.
C.
D.
解析：设地球的半径为R，质量为m的物体，在两极点时，有：mg0＝G，在赤道时，有：G－mg＝mR()2，又地球的密度ρ＝，由以上各式联立得ρ＝，选项B正确．
7．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下面说法中正确的是( ABC )
A．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率
B．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度
C．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度
D．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍
解析：由开普勒第二定律知：v近>v远、ω近>ω远，故A、B正确；由a向＝知a近>a远，故C正确；由开普勒第三定律得＝，当T＝75T地时，R＝R地≠75R地，故D错．题目的求解方法应视具体情况而定，由于将地球绕太阳的运动视为圆周运动，因此开普勒第三定律中的半长轴可用地球公转半径替代．
8．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知
( CD )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m1、m2做圆周运动的向心力大小相等
解析：双星系统周期相同(角速度相同)，所受万有引力作为向心力相同，所以B错误，D正确；由F＝mω2r，m1r1ω2＝m2r2ω2，得m1v1＝m2v2，＝＝，选项A错误；＝又r1＋r2＝L，所以r1＝L＝L，C正确．
9．某探索飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是( BC )
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
解析：飞船点火变轨，前后的机械能不守恒，所以A不正确．飞船在圆轨道上时万有引力提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B正确．飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据T＝可知，飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度，C正确．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，所以相等，D不正确．
10．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小．根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( BC )
A．公转半径R较大
B．公转周期T较小
C．公转速度v较大
D．公转角速度ω较小
解析：由于万有引力常量G在缓慢减小，地球所受的万有引力在变化，故地球的轨道半径R、速率v、周期T、角速度ω等都在变化，即地球做的不是匀速圆周运动，但由于G变化缓慢，在并不太长的时间内，可认为是匀速圆周运动．由G＝m＝m＝mω2R，得v＝，T＝2π，
ω＝.对于漫长的演变过程而言，由于G在减小，地球所受万有引力在逐渐减小，有G二、填空题(共2小题，每小题8分，共16分)
11．地核的体积为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为1.2×104
kg/m3.(地球的半径R＝6.4×106
m，引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，结果取两位有效数字)
解析：设地球的质量、体积、密度分别为M、V、ρ；地核的分别为M′、V′、ρ′.
据题给条件，由密度定义式ρ＝，用比例关系可得ρ′＝＝＝ρ，①
设地球表面上任一物体的质量为m，有＝mg，V＝πR3，则ρ＝，②
将g＝9.8
m/s2，π＝3.14，以及已知的G、R的数值代入②式，可估算出地球的平均密度为ρ≈5.5×103
kg/m3，再将ρ值代入①式，可得地核的密度为ρ′≈1.2×104
kg/m3.
12．古希腊某地理学家经过长期观测，发现6月21日正午时刻，在北半球A城阳光与竖直方向成7.5°角下射，而在A城正北方，与A城距离L的B城，阳光恰好沿竖直方向下射，如图所示．射到地球的阳光可看成平行光．据此他估算了地球的半径，其表达式为R＝.
解析：B点在A城的正北方，则A、B两点在同一经线圈上A与B的距离为弧长L，由题意可知弧长L所对圆心角为7.5°，L＝R·θ，R＝＝＝.
三、计算题(每小题10分，共40分)
13．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，如图所示，现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起(三个球心在一条直线上)，试计算它们之间的万有引力大小.
答案：F
解析：用“割补法”处理该问题．原来是个实心球时可知F＝G.
假如挖空部分为实心球，则该球与左边球之间的万有引力为F1＝G，
m1∶m＝3∶r3＝1∶8，
联立得F1＝F.
剩余部分之间的万有引力大小为F′＝F－F1＝F.
14．科学家一直在努力寻找适宜人类生存的行星，至今已发现多颗“宜居行星”可能存在支持生命的条件．假设某“宜居行星”其质量约为地球质量的6.4倍，已知一个在地球表面质量为50
kg的人在这个行星表面的重力约为800
N，地球表面处的重力加速度为10
m/s2.则：
(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
(2)若在该行星上距行星表面2
m高处，以10
m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？
答案：(1)2∶1 (2)5
m
解析：(1)在该行星表面处，由G行＝mg行，有g行＝＝16
m/s2，
由万有引力定律有G＝mg，得R2＝，
故R＝，R＝，＝，代入数据解得＝4，所以＝2.
(2)由平抛运动的规律，有h＝g行t2，x＝vt，故x＝v.代入数据解得x＝5
m.
15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
答案：(1) 4π (2)1.34R
解析：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有
F1＝，F2＝，F1＋F2＝mv2/R，
运动星体的线速度v＝.
设周期为T，则有T＝，T＝4π.
(2)设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝.
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有
F合＝2cos30°，F合＝mR′，所以r＝R≈1.34R.
16．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内，一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动，春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了，已知地球的半径R地＝6.4×106
m．地面上的重力加速度为10
m/s2.估算：(答案要求精确到两位有效数字)
(1)卫星轨道离地面的高度；
(2)卫星的速度大小．
答案：(1)6.4×106
m
(2)
5.7×103
m/s
解析：(1)根据题意作出如图所示
由题意得∠AOA′＝120°，∠BOA＝60°，由此得卫星的轨道半径r＝2R地， ①
卫星距地面的高度h＝R地＝6.4×106
m， ②
(2)由万有引力提供向心力得＝， ③
由于地球表面的重力加速度g＝， ④
由③④得v＝＝＝
m/s≈5.7×103
m/s.
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7《万有引力与航天》综合评估
一、选择题(1～6为单选每小题4分，7～10为多选每小题5分，共44分)
1．两颗行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半长轴分别为r1和r2，则它们的公转周期之比为( )
2．已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高h处时，物体所受万有引力减少到原来的一半，则h为( )
A．R
B.2R
C.R
D．(－1)R
3．某物体在低速(接近0)情况下质量为m0，在速度为v的高速(接近光速)情况下质量为m，则由狭义相对论，物体速度v为( )
4．在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是
( )
A．太阳引力远小于月球引力
B．太阳引力与月球引力相差不大
C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等
D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异
5.
“开普勒—226”星，其直径约为地球的2.4倍．至今其确切质量和表面成分仍不清楚，假设该行星的密度和地球相当，根据以上信息，估算该行星的第一宇宙速度等于( )
A．3.3×103
m/s
B.7.9×103
m/s
C．1.2×104
m/s
D.1.9×104
m/s
6．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为
( )
A.
B.
C.
D.
7．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下面说法中正确的是( )
A．彗星在近日点的速率大于在远日点的速率
B．彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度
C．彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度
D．若彗星周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍
8．经长期观测，人们在宇宙中已经发现了“双星系统”，“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2.则可知
( )
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m1、m2做圆周运动的向心力大小相等
9．某探索飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是( )
A．飞船变轨前后的机械能相等
B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态
C．飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度
D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度
10．在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G在缓慢地减小．根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比( )
A．公转半径R较大
B．公转周期T较小
C．公转速度v较大
D．公转角速度ω较小
二、填空题(共2小题，每小题8分，共16分)
11．地核的体积为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%，经估算，地核的平均密度为(
)kg/m3.(地球的半径R＝6.4×106
m，引力常量G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，结果取两位有效数字)
12．古希腊某地理学家经过长期观测，发现6月21日正午时刻，在北半球A城阳光与竖直方向成7.5°角下射，而在A城正北方，与A城距离L的B城，阳光恰好沿竖直方向下射，如图所示．射到地球的阳光可看成平行光．据此他估算了地球的半径，其表达式为R＝(
).
三、计算题(每小题10分，共40分)
13．两个质量分布均匀、密度相同且大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，如图所示，现将其中一个小球中挖去半径为原球半径一半的球，并按如图所示的形式紧靠在一起(三个球心在一条直线上)，试计算它们之间的万有引力大小.
14．科学家一直在努力寻找适宜人类生存的行星，至今已发现多颗“宜居行星”可能存在支持生命的条件．假设某“宜居行星”其质量约为地球质量的6.4倍，已知一个在地球表面质量为50
kg的人在这个行星表面的重力约为800
N，地球表面处的重力加速度为10
m/s2.则：
(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少？
(2)若在该行星上距行星表面2
m高处，以10
m/s的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力)，则小球的水平射程是多大？
15．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
16．晴天晚上，人能看见卫星的条件是卫星被太阳照着且在人的视野之内，一个可看成漫反射体的人造地球卫星的圆形轨道与赤道共面，卫星自西向东运动，春分期间太阳垂直射向赤道，赤道上某处的人在日落后8小时时在西边的地平线附近恰能看到它，之后极快地变暗而看不到了，已知地球的半径R地＝6.4×106
m．地面上的重力加速度为10
m/s2.估算：(答案要求精确到两位有效数字)
(1)卫星轨道离地面的高度；
(2)卫星的速度大小．
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