27.2.2 相似三角形的性质 课件（共23张PPT）

27.2.2 相似三角形的性质
人教版数学九年级下册
第二十七章 相似
1
经历相似三角形性质的简单推理过程，进一步深化对相似三角形的认识。(重点)
2
掌握相似三角形的性质，并会运用结论进行有关简单的计算。(难点)
学习目标
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该怎么切割呢？
A
B
C
导入新课
一、相似三角形对应线段的比
A
B
C
A'
B'
C'
①相似三角形的对应角 。
②相似三角形的对应边 。
1. 根据相似三角形的定义我们知道：
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
如果两个三角形相似，那么，对应的这些要素有什么关系呢？
高
中线
角平分线
周长
面积
相等
成比例
探究新知
一、相似三角形对应线段的比
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
已知△A′B′C′ ∽△ABC ，相似比为 ，
观察猜想
分别作 B′C′ 、BC 边的高 A′D′ 、AD ，
通过度量计算可得：
.
一、相似三角形对应线段的比
A′
B′
C′
D′
A
B
C
D
已知△A′B′C′ ∽△ABC ，相似比为 k ，
验证猜想
分别作 B′C′ 、BC 边的高 A′D′ 、AD ，
求证：
证明：∵△A′B′C′ ∽△ABC
∴∠B′ =∠B
∵A′D′ 、AD分别为B′C′ 、BC 边的高 ，
∴∠A′D′B′ =∠ADB=90°
∴△A′B′D′ ∽△ABD
∴
一、相似三角形对应线段的比
A′
B′
C′
A
B
C
相似三角形对应高的比等于相似比.
知识归纳
类似地，
可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比
也等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
D
D
D′
D′
D′
D
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是 .
2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
针对练习
D
E
F
H
3. 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG = 4.8 cm. 求 EH 的长.
A
G
B
C
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
∴
(相似三角形对应角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
二、相似三角形的周长比和面积比
图(1)，图(2)，图(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，
它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
(1)与(2)的相似比= ，(1)与(2)的周长比= 。
(2)与(3)的相似比= ，(2)与(3)的周长比= 。
1∶2
（都相似）
2∶3
1∶2
2∶3
再探新知
二、相似三角形的周长比和面积比
验证猜想
如图，△ABC∽△A‘B’C‘ ，相似比为 k，求它们周长的比.
解：∵△ABC ∽△A'B'C'
相似三角形周长的比等于相似比.
A'
B'
C'
A
B
C
∴
∴
∴
知识归纳
二、相似三角形的周长比和面积比
合作探究
如图，△ABC∽△A‘B’C‘ ，相似比为 k，求它们面积的比.
解：∵△ABC ∽△A'B'C'
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
A'
B'
C'
A
B
C
∴
∴
知识归纳
D′
D
1. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为原来的 倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大为原来的 倍.
25
10
2. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差60cm，这两个三角形的周长分别是 ；
(2) 它们的面积和是58cm2，这两个三角形的面积分别是 .
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
针对练习
例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB=2DE ，AC=2DF，∠A=∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边EF上的高和面积.
A
B
C
D
E
F
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
∴
例题讲解
(1)△ADE 与△ABC 相似吗？如果相似， 求它们的相似比.
A
B
C
D
E
(2) △ADE 的周长︰△ABC 的周长＝ .
1∶4
1. 如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
(3) ＝ .
(4) ＝ .
△ADE ∽△ABC，相似比为1∶4
针对练习
2. 如图，已知DE∥BC，CD 和 BE 相交
于O，若S△DOE：S△COB = 9：25，
则AD：DB = ．
A
B
C
D
E
O
3：2
针对练习
解决问题
如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该怎么切割呢？
A
B
C
E
F
D
注意：相似多边形也有同样的结论
相似三角形的性质
相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于 ；
相似三角形周长的比等于 ；
相似三角形对应边 ，对应角 ；
相似三角形面积的比等于 。
相似比的平方
成比例
相等
相似比
相似比
课堂小结
1. 如图，平行四边形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，
连接 AC、DE 交于点 F。
(1) ?AEF与?CDF的相似比为 .
(2) 若?AEF 的面积为5cm2，则?CDF 的面积为 .
B
F
E
D
C
A
1 : 2
20cm2
2. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周
长比等于 ，面积比等于 .
1 : 2
1 : 4
3. 两个相似三角形对应的中线长分别是6cm 和18cm，若较大三角形的周长是
42cm，面积是36cm2，则较小三角形的周长 cm，面积为 cm2.
14
4
课堂练习
4. 如图，在平行四边形ABCD中．E为CD上一点，DE：CE=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF=( )
A. 4：10：25 B. 4：9：25
C. 2：3：5 D. 2：5：25
B
F
E
D
C
A
5. 如图， ABCD中，E 为AD的中点，若S ABCD =1，
则图中阴影部分的面积为（ ）
B
A
E
D
C
F
C
A. B. C. D.
A
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为
4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.