27.2.3相似三角形应用举例 课件（共23张PPT）

(共23张PPT)
27.2.3
相似三角形应用举例
人教版数学九年级下册
第二十七章
相似
1
能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度.
(重点)
2
进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力.
(难点)
学习目标
一、利用相似三角形测量高度
据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用
相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，
借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的
高度.
自无穷远处发的光相互平行地向前行进，称平行光。
自然界中最标准的平行光是太阳光。
探究新知
一、利用相似三角形测量高度
例1：木杆
AC
长
2厘米，它的影长
AD
为3厘米，测得
OA
为
201米，
求金字塔的高度
BO
。
B
D
解：太阳光是平行线，
因此∠BAO=
∠CDA
又
∠AOB=
∠CAD=90°
∴△ABO∽△DCA
∴
BO
=
134m
∴
即：
O
A
C
一、利用相似三角形测量高度
表达式：物1高
：物2高
=
影1长
：影2长
测高方法一：
测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
知识归纳
B
D
O
A
C
表达式：物1高
：影1长
=
物2高
：影2长
1.
如图，要测量旗杆
AB
的高度，可在地面上竖一根竹竿
DE，测量出
DE
的长以及
DE
和
AB
在同一时刻下地面上的影长即可，则下面能用来求AB长的等式是
(
)
A．
B．
C．
D．
C
针对练习
2.
如图，九年级某班数学兴趣小组的同学想利用所学数学知识测量学校旗杆的高度，当身高
1.6
米的楚阳同学站在
C
处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，同一时刻，其他成员测得
AC
=
2
米，AB
=
10
米，则旗杆的高度是
米．
8
一、利用相似三角形测量高度
A
B
O
F
E
△ABO∽△AEF
平面镜
一题多解
BO
=
测高方法二：
测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用
“利用镜子的反射测量高度”的原理解决.
1.
如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点
P
处放一水平的平面镜，光线从点
A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙的顶端
C
处，已知
AB
=
2
米，且测得
BP
=
3
米，DP
=
12
米，那么该古城墙的高度是
(
)
A.
6米
B.
8米
C.
18米
D.
24米
B
针对练习
2.
小明要测量一座古塔的高度，从距他2米的一小块积水处C看到塔顶的倒影，已知小明的眼部离地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到积水处C的距离是40米。求塔高AB？
答：塔高30米.
解:∵∠DEC=∠ABC=90°∠DCE=∠ACB
∴△DEC∽△ABC
∴
∴
∴
AB
=
30
二、利用相似三角形测量宽度
例2：
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点
A，在近岸取点
B
和
C，使点
A,B,C共线且直线
AC与河垂直，接着在过点
C且与
AC
垂直的直线
a
上选择适当的点
D，确定
AC与过点
B且垂直
AC的直线
b
的交点
E.
已知测得BC
=
45
m，CD
=
90
m，BE=
60
m，请根据这些数据，
计算河宽
AB.
A
E
B
C
b
D
a
易证△ABE∽△ACD.
∴
即：
∴
AB
=
90m
如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点
A，再在河的这一边选点
B
和
C，使
AB⊥BC，然后，再选点
E，使
EC
⊥
BC
，用视线确定
BC
和
AE
的交点
D．?
此时如果测得
BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，
求两岸间的大致距离
AB．
E
A
D
C
B
60m
50m
120m
?
∴
，即
，
解得
AB
=
100.
因此，两岸间的大致距离为
100
m.
易证
△ABD∽△ECD.
针对练习
二、利用相似三角形测量宽度
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解.
知识归纳
A
B
D
C
1.
如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长
1.2米，求树的高度.
E
F
方法1：展直影长
方法2：平移地面
4.2m
针对练习
2.
如图，小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD=4m，BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？
C
A
B
D
F
E
F
方法一：
过点D，作DE⊥BC于E，
延长AD交BC于F
方法二：
过点D，分别作DE⊥BC于E，
DF⊥AB于F，
相似三角形的应用
测量高度
测量宽度
物1高
：物2高
=
影1长
：影2长
物1高
：影1长
=
物2高
：影2长
常见辅助线
展直影长
平移地面
构造相似三角形
课堂小结
1.
小明身高
1.5
米，在操场的影长为
2
米，同时测得教学大楼在操场的影长为
60
米，则教学大楼的高度应为
(
)
A.
45米
B.
40米
C.
90米
D.
80米
2.
小刚身高
1.7
m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85
m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为
1.1
m，那么小刚举起的手臂超出头顶
(
)
A.
0.5m
B.
0.55m
C.
0.6m
D
.
2.2m
A
A
课堂练习
3.
如图，为了测量水塘边
A、B
两点之间的距离，在
可以看到
A、B
的点
E
处，取
AE、BE
延长线上的
C、D
两点，使得
CD∥AB.
若测得
CD＝5
m，AD
＝15m，ED=3
m，则
A、B
两点间的距离为
m.
A
B
E
D
C
20
4.
如图所示，有点光源
S
在平面镜上面，若在
P
点看
到点光源的反射光线，并测得
AB＝10
cm，BC＝
20
cm，PC⊥AC，且
PC＝24
cm，则点光源
S
到平
面镜的距离
SA
的长度为
.
12
cm
5.
某同学想利用树影测树高.他在某一时刻测得竹竿高为1.5米，其影长为1.2米，当他测量大树影长时，因大树靠近教学楼，部分影子在墙上。
经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，
那么这棵大树高多少米？
9.4
m
F
F
6.
如图，左、右并排的两棵大树的高分别是
AB
=
8
m
和
CD
=
12
m，两树底部的距离
BD
=
5
m，一个人估计自己眼睛距离地面
1.6
m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路
l
从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C
了?
6.
如图，左、右并排的两棵大树的高分别是
AB
=
8
m
和
CD
=
12
m，两树底部的距离
BD
=
5
m，一个人估计自己眼睛距离地面
1.6
m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路
l
从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C
了?
由此可知，当她与左边的树的距离小于
8
m
时，
就看不到右边树的顶端
C
.
解：
∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH∽△CEK.
即
解得
EH=8.