北师大版数学 知识点汇总 第1章 特殊平行四边形（知识点汇总·北师9上）

第一章 特殊平行四边形
菱形
一、菱形性质
1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：菱形具有平行四边形的所有性质。
（1）边的性质：对边平行且四边相等．
（2）角的性质：邻角互补，对角相等．
（3）对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．
（5）周长：（为边长）
（6）菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．
（为一边长，为这条边上的高）；
（、为两条对角线的长）．
【注意】其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．
二、菱形的判定方法
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四条边都相等的四边形是菱形；
3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
4、对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
矩形
一、矩形的性质
1、定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）边：对边平行且相等
（2）角：四个角都是直角
（3）对角线：对角线互相平分且相等
（4）对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形
（5）周长：（、为一组邻边）．
（6）面积：（、为一组邻边）．
【注意】1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2、直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半．
这两条直角三角形的性质是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．
二、矩形的判定方法
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2、对角线相等的平行四边形是矩形；
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
正方形
一、正方形的性质
1、定义：
（1）有一个内角是直角、一组邻边相等的平行四边形叫做正方形；
（2）有一个内角是直角的菱形是正方形；
（3）有一组邻边相等的矩形是正方形。
2、性质：
（1）边：对边平行，四条边都相等．
（2）角：四个角都是直角．
（3）对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．
（4）对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．
（5）周长：（为边长）．
（6）面积：（为边长）；（为对角线长）．
【注意】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）
二、正方形的判定方法。用定义也可判定。
1、有一个角是直角的菱形是正方形；
2、有一组邻边相等的矩形是正方形；
3、对角线相等的菱形是正方形；
4、对角线互相垂直的矩形值正方形
三、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
③ 说明四边形ABCD的三个角是直角．
（2）识别菱形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
③ 说明四边形ABCD的四条相等．
（3）识别正方形的常用方法
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．
③ 先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．
④ 先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．
解题方法技巧
1、中点四边形
（1）任意四边形的中点四边形为平行四边形．
（2）对角线垂直的四边形的中点四边形为矩形．
（3）对角线相等的四边形的中点四边形为菱形．
（4）对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形．
2、对角线互相垂直的四边形
（1）中点四边形为矩形；如图1
（2）四边形面积等于对角线乘积的一半；即
（3）四边形对边的平方和相等． 即
3、筝形：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形．
如图，在筝形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O．
（1）
（2）一组对角相等，即
（3）对角线平分一组对角，即平分．
（4）对角线互相垂直，即．
（5）一条对角线平分另一条对角线，即平分（）．
（6）
（7）筝形是轴对称图形，即所在直线为其对称轴．
【注意】这些性质需先证明后运用
4、平行四边形和特殊平行四边形之间的判定关系
5、正方形共顶点旋转
6、正方形角含半角旋转
7、正方形与弦图
8、正方形等面积结论
（1）
（2）为中点，则