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北师大版数学九年级下册
2.3
确定二次函数的表达式（1）导学案
课题
2.3
确定二次函数的表达式（1）
单元
第
2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1、能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题.
2、能够根据二次函数的表达式、列表、画图象三种不同表达方式，从不同的侧面对函数性质进行研究.
重点
难点
根据已知条件确定二次函数的表达式
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
求一次函数y=kx+b解析式，需要知道几个点的坐标？
合
作
探
究
探究一：
如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）的图象，你能求出其表达式吗？
想一想
确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流.
探究二：
例1
已知二次函数
y
=
ax2+c
的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求出这个二次函数的表达式.
做一做
已知二次函数的图象与
y
轴交点的纵坐标为
1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．
想一想
在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？
二次函数y＝ax2＋bx＋c
用配方法可化成：y＝
a（x
-h）2＋k，顶点是（h，k）．如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．
二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式．
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下两种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
当
堂
检
测
1、如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．
8
B．
14
C．
8或14
D．
-8或-14
2、
已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．
4
B．
8
C．
-4
D．
16
3、二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（
）
A．y=2x2-4x
B．y=-x（x-2）
C．y=-（x-1）2+2
D．y=-2x2+4x
已知二次函数的图象经过点（0，-2），且当x=1时函数有最小值-3．（1）求这个二次函数的解析式；（2）如果点（-2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小
课
堂
小
结
待定系数法解题的一般步骤：
(1)设二次函数的表达式；
(2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)；
(3)解方程（或方程组）,求出待定系数；
(4)写出二次函数的表达式.
参考答案
自主学习：求一次函数y=kx+b解析式，需要知道2个点的坐标.
合作探究：
探究一：解:根据图象是一抛物线且顶点坐标为(4，3)
,
因此设它的关系式为y=a(x-4)2+3
又∵图象过点（10，0)
∴(10-4)2a+3=0
解得:
图象的表达式为
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，二次函数的关系式可设如下两种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
探究二：解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax2+c中，得
解这个方程组，得
∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为y＝ax2＋bx＋1,
∵经过点(2,5)和(-2,13),
解方程组得：a=2,b=-2
∴这个二次函数关系式为
当堂检测：
1、解析：根据题意,=±3，解得c=8或14．
故选C.
2、解析：根据题意，得=0，解得c=16．故选D.
3、根据图象得抛物线的顶点坐标为（1，2），设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，将（2，0）代入解析式得0=a+2，解得a=-2，
则抛物线解析式为y=-2（x-1）2+2=-2x2+4x．故选D
4、解：（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，-3）设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-3，由于抛物线过点（0，-2），
则有a（0-1）2-3=-2，解得a=1；
因此抛物线的解析式为y=（x-1）2-3．
∵a=1＞0，∴故抛物线的开口向上；∵抛物线的对称轴为x=1，
∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．由于（-2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，
可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，
由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．于是y2＜y3＜y1．
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精品试卷·第
2
页
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.
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2.3
确定二次函数的表达式（1）
数学北师大版
九年级上
复习导入
函数表达式
开口方向
增减性
对称轴
顶点坐标
a<0,开口向下.
a<0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大；在对称轴右侧,y都随x的增大而减小
.
a>0,
开口
向上;
a>0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小；在对称轴右侧,y都随
x的增大而增大;
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
复习导入
新知讲解
如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）的图象，你能求出其表达式吗？
图
2-7
新知讲解
解:根据图象是一条抛物线且顶点坐标为(4，3)
,
因此设它的关系式为y=a(x-4)2+3
又∵图象过点（10，0)
∴(10-4)2a+3=0
解得:
图象的表达式为
图
2-7
新知讲解
确定二次函数的表达式需要几个条件？
与同伴进行交流.
想一想
新知讲解
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，二次函数的关系式可设如下两种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
新知讲解
例1
已知二次函数
y=ax2+c
的图象经过点（2，3）和（-1，-3），求出这个二次函数的表达式.
新知讲解
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax2+c中，得
3=4a+c,
－3=a+c,
解这个方程组，得
a=2,
c=－5.
∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5
新知讲解
做一做
已知二次函数的图象与
y
轴交点的纵坐标为
1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式．
新知讲解
法一：
解：因为抛物线与y轴交点纵坐标为1，
所以设抛物线关系式为y＝ax2＋bx＋1,
∵经过点(2,5)和(-2,13),
4a+2b+1=5
4a-2b+1=13
解方程组得：a=2,b=-2
∴这个二次函数关系式为y=2x2-2x+1
新知讲解
法二：
解：设抛物线关系式为y=ax2+bx+c,
由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)
∴
解方程组得：a=2,b=-2，c=1
∴这个二次函数关系式为
y=2x2-2x+1
新知讲解
在什么情况下，一个二次函数只知道其中的两点就可以确定它的表达式？
想一想
二次函数y＝ax2＋bx＋c
用配方法可化成：y＝
a（x
-h）2＋k，
顶点是（h，k）．
如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点
的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式．
新知讲解
二次函数的各项系数中有两个是未知的，知道图象上两点的坐标，也可以确定这个二次函数的表达式．
新知讲解
课堂练习
1、如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（ ）
A．8
B．14
C．8或14
D．-8或-14
C
课堂练习
解析：根据题意,
=±3，
解得c=8或14．
故选C.
解析：根据题意，得
=0，解得c=16．故选D.
课堂练习
2、已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）
A．4
B．8
C．-4
D．16
D
课堂练习
3、二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（ ）
A．y=2x2-4x
B．y=-x（x-2）
C．y=-（x-1）2+2
D．y=-2x2+4x
D
课堂练习
解：根据图象得抛物线的顶点坐标为（1，2），
设抛物线解析式为y=a（x-1）2+2，
将（2，0）代入解析式得0=a+2，
解得a=-2，
则抛物线解析式为y=-2（x-1）2+2=-2x2+4x．
故选D
拓展提高
4、已知二次函数的图象经过点（0，-2），且当x=1时函数有最小值-3．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）如果点（-2，y1），（1，y2）和（3，y3）都在该函数图象上，试比较y1，y2，y3的大小．
拓展提高
解：（1）由题意知：抛物线的顶点坐标为（1，-3）
设二次函数的解析式为y=a（x-1）2-3，
由于抛物线过点（0，-2），
则有a（0-1）2-3=-2，
解得a=1；
因此抛物线的解析式为y=（x-1）2-3．
拓展提高
（2）∵a=1＞0，
∴故抛物线的开口向上；
∵抛物线的对称轴为x=1，
∴（1，y2）为抛物线的顶点坐标，∴y2最小．
由于（-2，y1）和（4，y1）关于对称轴对称，
可以通过比较（4，y1）和（3，y3）来比较y1，y3的大小，
由于在y轴的右侧是增函数，所以y1＞y3．
于是y2＜y3＜y1．
课堂总结
待定系数法解题的一般步骤：
(1)设二次函数的表达式；
(2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)；
(3)解方程（或方程组）,求出待定系数；
(4)写出二次函数的表达式.
板书设计
课题：2.3
确定二次函数的表达式（1）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、二次函数的表达式
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P43练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P43练习第3题
