第1章整式的乘除计算 题型解读10 完全平方公式（重点及难点）-北师大版七年级数学下册（word版含答案）

1164590011620500《整式的乘除》计算题型解读10 完全平方公式（重点及难点）
【知识梳理】
1．完全平方公式：(a±b)?=a?±2ab+b?---“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
注意：①公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式
②注意公式结构特征，运用时一定要参照公式结构
③对变形形式的解题过程：一变、二套、三计算；
④此公式的逆公式：a?±2ab+b?=(a±b)?
2．完全平方公式的变形----两个完全平方公式间的变形:①(a+b)?=a?+2ab+b?；②(a-b)?=a?-2ab+b?.
（1）由①可得a?+b?=(a+b)?-2ab -----用途：已知a+b和ab可求a?+b?；
由②可得a?+b?=(a-b)?+2ab -----用途：已知a-b和ab可求a?+b?；
由①+②可得a?+b?=[(a+b)?+(a-b)?]÷2 -----用途：已知a-b和a+b可求a?+b?；
（2）由①可得ab=[(a+b)?-( a?+b?)]÷2----用途：已知a+b和a?+b?求ab；
由②可得ab=[( a?+b?)-(a-b)?]÷2-----用途：已知a-b和a?+b?求ab；
由①-②可得ab=[(a+b)?-(a-b)?]÷4 ----用途：已知a+b和ab求a-b；
（3）由①-②可得(a+b)?=(a-b)?+4ab----用途：已知a-b和ab求a+b；
由①-②可得(a-b)?=(a+b)?-4ab----用途：已知a+b和ab求a-b；
【典型例题】
例1.下列运算中，错误的有（ ）个
①(2x+y)2=4x2+y2； ②(a-3b)2=a2-9b2；
③(-x-y)2=x2-2xy+y2； ④(x-12)2=x2-x+14.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：选项①:(2x+y)2=4x2+4xy+y2；
选项②：(a-3b)2=a2-6ab+9b2；
选项③：(-x-y)2=(x+y)2=x2+2xy+y2.故选C
例2.计算下列各题
1.利用两个完全平方公式间的等量变形解题
(1)已知a+b=3，ab=2，则a?+b?=______
(2)已知x-y=7，xy=2，则x?+y?=______
(3)已知a?+b?=3，a-b=2，那么ab= ___
(4)已知a?+b?=2，a+b=1，则ab=___
(5)若a+b=3，a-b=7，则ab=__________
(6)若a+b=5，ab=4，则a-b的值等于__________
(7)若(x-y)?=1, (x+y)?=9, 则xy= __________
(8)若m+n=7，mn=12，则m?-mn+n?=_________
(9)已知(a+b)?=11，ab=2，则(a-b)?=_______
(10)已知a2+b2=5且ab=2，则a+b=_______
(11)如果x+y=1，x2+y2=3，那么x2+xy+y2=______
(12)已知x-y=3，xy=10，则(x+y)2=_______
(13)若a+b=5，ab=-3，则(a-b)2=________
(14)已知xy=10，(x-2y)2=1，则(x+2y)2=_______
(15)若a-b=1，则a2-b2-2b=_______
2.公式中的两个数是互为倒数，利用“ab=1”解题
(16)已知a+1a=4，则a2+1a2=_______
(17)若x-1x=3，则x2+1x2=___________
(18)已知x2+3x+1=0，那么x2+1x2=________
(19) 若x+1x=2，则下列等式成立的有（ ）
①x2+1x2=2；②x4+1x4=2；③x8+1x8=2；④x-1x=0
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
解析：(1) a?+b?=(a+b)2-2ab=32-2×2=5
(2) x?+y?=(x-y)2+2xy=72+2×2=53
(3) ab=[( a?+b?)-(a-b)2]÷2=[3-22]÷2=-0.5．
(4) ab=[ (a+b)2-( a?+b?)]÷2=[12-2]÷2=-0.5
(5) ab=[(a+b)2-(a-b)2]÷4=[32-72]÷4=-10
(6) ∵a+b=5，ab=4，∴(a-b)?=(a+b)?-4ab=25-16=9，则a-b=±3，
(7) xy=[(x+y)2-(x-y)2]÷4=[92-12]÷4=20
(8) m?-mn+n?=(m+n)2-3mn=72-3×12=13
(9) (a-b)?=(a+b)2-4ab=11-4×2=3
(10) ∵a2+b2=5且ab=2，∴(a+b)?=a2+b2+2ab=5+4=9，则a+b=±3
(11) ∵xy=[ (x+y)2-( x?+y?)]÷2=[12-3]÷2=-1，
∴x2+xy+y2=3-1=2
(12) (x+y)2=(x-y)2+4xy=32+4×10=49
(13) (a-b)2=(a+b)2-4ab=52+4×(-3)=37
(14) (x+2y)2=(x-2y)2+8xy=1+8×10=81
(15) ∵a-b=1，∴a=b+1，∴a?-b?-2b=（b+1）?-b?-2b=b?+2b+1-b?-2b=1．
(16) 将a+=4两边平方得，a?+=16-2=14
(17) 将x-=4两边平方得，x?+=9+2=11
(18) ∵x?-3x+1=0?x+＝3?x?++2＝9?x?+＝7．
(19) 公式中a是x，但公式中的b就成了1x，则2ab=2?x?1x=2，
（1）x2+1x2=(x+1x)2-2?x?1x=22-2=2;
（2）x4+1x4=(x2+1x2)2-2?x2?1x2=22-2=2;
（3）x8+1x8=(x4+1x4)2-2?x4?1x4=22-2=2;
（4）由公式①-②可得：x-1x2=x+1x2-4?x?1x=22-4×2=0,∴x-1x=0
∴下列等式成立的有(1)、（2）、（3）、（4）,故选D
例3. 公式中出现字母参数，要分类讨论
(20)若x2+ax+9=(x+3)2，则a的值为_____________
(21)已知(x+m)2=x2+nx+36，则n的值为_____________
(22)若x2-kxy+9y2是一个完全平方式，则k的值为____________
(23)若4x2+axy+25y2是一个完全平方式，则a=______________
(24)若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m的值等于____________
(25)如果x2-(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为___________
(26)若x2+16x+m是完全平方式，则m=____________
解析：
(20) ∵x2+ax+9=(x+3)2=x2+6x+9，∴a=6
(21) ∵(x+n)2=x2+2nx+36=x2+nx+36，∴n=±12
(22) ∵x2-kxy+9y2=x±32=x2±6xy+9y2，∴k=±6．
(23) ∵4x2+axy+25y2=2x±5y2=4x2±20xy+25y2，∴a=±20
(24) ∵x2+2(m-3)x+16=x±42=x2±8xy+16，∴m=7或-1，
(25) ∵x2-(m+1)x+1=x±12=x2±2x+1，∴m=1或-3
(26) ∵x2+16x+m=x+62=x2+16x+64，∴m=64
例4.为了扩大绿化面积，若将一个正方形花坛的边长增加3米，则它的面积就增加39平方米，求这个正方形花坛的边长.
解析：由等量关系式“面积增加数=原正方形面积-现花坛面积= (边长+3)×(边长+3)- 边长×边长=39”可得：
∴(a+3)2-a2=6a+9=39, a=5