(共59张PPT)
第2章 抛
体
运
动
第1节 运动的合成与分解
第1课时 运动的合成与分解
必备知识·自主学习
一、认识曲线运动
【情境思考】
从飞机上掉落的物体的运动轨迹是直线还是曲线？
提示：曲线。
1.直线运动：轨迹是_____的运动称为直线运动。
2.曲线运动：轨迹是_____的运动称为曲线运动。
3.曲线运动的速度：速度是_____，它既有_____，又有_____。做曲线运动的
物体
在某一点的速度方向，为沿曲线在该点的_________。
4.做曲线运动的条件：
(1)从动力学角度看：物体所受合外力的方向跟它的速度方向___________
_______，物体做曲线运动。
(2)从运动学角度看：物体的加速度方向与它的速度方向_______________
___，物体做曲线运动。
直线
曲线
矢量
大小
方向
切线方向
不在同一条
直线上
不在同一条直线
上
二、生活中的运动的合成与分解
【情境思考】
提示：红蜡块做斜向上的匀速直线运动。
1.合运动：物体_________的运动。
2.分运动：物体同时参与的几个运动。
3.运动合成与分解实质上是对描述运动的物理量如_____、_____、_______的
合成与分解，遵从_______________。
实际发生
位移
速度
加速度
平行四边形定则
【易错辨析】
(1)地球围绕太阳的运动是曲线运动。
(
)
(2)合运动与分运动具有等时性。
(
)
(3)只有曲线运动才能合成和分解。
(
)
(4)运动合成与分解的依据是合运动和分运动具有等效性。(
)
(5)运动合成与分解的本质是对描述物体运动的物理量进行矢量的合成和分
解。
(
)
√
√
×
√
√
关键能力·合作学习
知识点一 曲线运动的性质
1.曲线运动的速度：
(1)速度方向：曲线运动中质点在某一时刻(或某一位置)的速度方向，就是质点从该时刻(或该点)脱离曲线后自由运动的方向，也就是曲线上这一点的切线方向。
(2)关于速度的“一定”与“不一定”。
①“一定”：物体做曲线运动时，运动方向不断变化，即速度方向一定变化。
②“不一定”：物体做曲线运动时，速度的大小不一定变化。
2.曲线运动的性质判断：
(1)加速度(或合外力)
(2)加速度(或合外力)与速度方向
3.曲线运动的轨迹特点：
(1)做曲线运动的物体的轨迹与速度方向相切。
(2)轨迹向合力方向弯曲。
(3)轨迹处在运动方向与合力方向构成的夹角之间。
(4)合力指向曲线的凹侧。
4.合外力与速率变化的关系：
(1)合外力方向与速度的方向夹角为锐角时，物体做速率越来越大的曲线运动，如图甲。
(2)合外力方向与速度方向夹角为直角时，物体做速率不变的曲线运动，如图乙。
(3)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，物体做速率越来越小的曲线运动，如图丙。
提醒：(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。
(2)物体的合外力为恒力时，它一定做匀变速运动，可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动。
【问题探究】
雨天，当我们撑开雨伞让伞绕柄旋转时，雨伞上的水滴沿什么方向飞出？
提示：雨伞上的水滴将沿伞边上各点所在圆周的切线方向飞出。原因是物体做
曲线运动时，在某点的速度方向沿该点所在轨迹的切线方向。
【典例示范】
【典例】翻滚过山车是大型游乐园里比较刺激的一种娱乐项目。如图所示，翻滚过山车(可看成质点)从高处冲下，过M点时速度如图所示，在圆形轨道内先后经过A、B、C三点。下列说法正确的是
( )
A.过山车做匀速运动
B.过山车做变速运动
C.过山车受到的合力等于零
D.过山车经过A、C两点时的速度方向相同
【解题探究】
【解析】选B。过山车的速度方向沿轨道上该点的切线方向，速度方向时刻在变化，速度是矢量，所以速度是变化的，故A错误，B正确；过山车的速度时刻发生变化，由牛顿第二定律知其合力不为零，故C错误；A、C两点的速度方向沿曲线在A、C两点的切线方向，故D错误。
【素养训练】
1.如图所示，小钢球以初速度v0在光滑水平面上运动，受到磁铁的侧向作用而沿图示的曲线运动到D点，由此可知
( )
A.磁铁在A处，靠近小钢球的一定是N极
B.磁铁在B处，靠近小钢球的一定是S极
C.磁铁在C处，靠近小钢球的一定是N极
D.磁铁在B处，靠近小钢球的磁极极性无法确定
【解析】选D。小钢球受磁铁的吸引而做曲线运动，运动方向只会向所受吸引力的方向偏转，因而磁铁位置只可能在B处，不可能在A处或C处，又磁铁的N极或S极对小钢球都有吸引力，故靠近小钢球的磁极极性无法确定，则D正确，A、B、C错误。
2.已知一质点由A向C做曲线运动，关于它通过B点时的速度v的方向和加速度a
的方向正确的是
( )
【解析】选B。质点由A向C做曲线运动，所以速度方向为曲线的切线方向，因
为其做曲线运动，合外力指向运动轨迹的内侧，加速度也指向运动轨迹的内
侧，故B正确，A、C、D错误。
【加固训练】
1.冬奥会上，进行短道速滑时，滑冰运动员要在弯道上进行速滑比赛，如
图为某运动员在冰面上的运动轨迹，图中关于运动员的速度方向、合力方向正
确的是
( )
【解析】选D。做曲线运动的物体，速度沿该点的切线方向，向着受力方向弯
曲，所以选D。
2.下列说法不正确的是
( )
A.判断物体是做曲线运动还是直线运动，应看合外力方向与速度方向是否在一条直线上
B.开始时静止的物体在恒定外力(不为0)作用下一定做直线运动
C.判断物体是做匀变速运动还是非匀变速运动应看物体所受合外力(不为0)是否恒定
D.匀变速运动的物体一定沿直线运动
【解析】选D。判断物体是做曲线运动还是直线运动，应看合外力方向与速度方向是否在一条直线上，若在一条直线上，为直线运动，若不在一条直线上，为曲线运动，选项A正确；开始时静止的物体在不为零的恒定外力作用下一定做匀加速直线运动，选项B正确；
判断物体是做匀变速运动还是非匀变速运动，应看物体所受合外力是否恒定，若是恒力，则做匀变速运动，选项C正确；
匀变速运动的物体也可能是曲线运动，不一定沿直线运动，选项D错误。
知识点二 合运动与分运动的关系
1.合运动与分运动的关系：
(1)等效性：各分运动叠加起来的共同效果与合
运动有相同的效果。
(2)独立性：某个方向上的运动不会因为其他方
向上是否有运动而影响自己的运动性质。在运动中一个物体可以同时参与几种不同的运动，在研究时，可以把各个运动都看作是互相独立进行，互不影响的运动。
(3)等时性：合运动通过合位移所需时间和对应的每个分运动通过分位移的时间相等，即各分运动总是同时开始、同时结束。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
2.运动的合成与分解的方法：
(1)位移、速度、加速度都是矢量，因此运动的合成与分解遵循矢量运算法则，应用平行四边形定则进行运动的合成与分解。
(2)如果各分运动都在同一直线上，可以选取沿直线的某一方向作为正方向，与正方向相同的分运动取正值，与正方向相反的分运动取负值，把矢量的运算转化为代数运算。
(3)如果各分运动互为角度，应用平行四边形定则，运用作图法、解直角三角形法等方法进行求解。
3.互成角度的两个分运动的合成：
分
运
动
合
运
动
两个匀速直线运动
匀速直线运动
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动
匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
沿合加速度方向的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀加速直线运动(其初速度v1和v2的矢量和为v，加速度a1和a2的矢量和为a)
v和a在同一条直线上时，物体做匀变速直线运动
v和a不在同一条直线上时，物体做匀变速曲线运动
【问题探究】
下雨时，如果没有风，雨滴是竖直下落的，如图一个人正在冒雨骑车前进。骑车人为什么总觉得雨滴是向后倾斜的？当车速增大时，他会觉得雨滴怎么变化？
提示：人感觉到雨滴的速度是雨滴相对于人的速度v雨人，v雨地是v雨人和v人地的合速度，如图所示，
所以人前进时，感觉雨滴向后倾斜，而且由图可知，当车速增大时，雨相对于人的速度将增大，且向后倾斜得更厉害。
【典例示范】
【典例】质量为m=2
kg的物体在光滑平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图像分别如图甲和图乙所示。求：
(1)物体受到的合力和初速度。
(2)t=8
s时物体的速度。
(3)t=4
s时物体的位移。
【解题探究】
【解析】(1)物体在x轴方向有ax=0，y轴方向有ay=
m/s2，由牛顿第二定
律，得F合=may=1
N，方向沿y轴正方向；由题图甲、乙知v0x=3
m/s，v0y=0，所
以物体的初速度v0=3
m/s，方向沿x轴正方向。
(2)当t=8
s时，vx=3
m/s，vy=ayt=4
m/s，
所以v=
m/s=5
m/s，
设速度与x轴的夹角为θ，则tanθ=
。
(3)当t=4
s时，x=v0xt=12
m，y=
ayt2=4
m，
物体的位移x合=
=4
m，
设位移与x轴的夹角为α，则tanα=
=
。
答案：(1)见解析 (2)5
m/s，且速度与x轴的夹角为arctan
(3)4
m，且位移与x轴的夹角为arctan
【规律方法】
确定曲线运动轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
【素养训练】
1.一个质点在恒力F的作用下，由O点开始运动，在O、A两点的速度方向如图所示，在A点速度方向与x轴平行，则恒力F的方向可能为
( )
A.+x轴 B.-x轴 C.+y轴 D.-y轴
【解析】选D。曲线运动合力方向应指向轨迹凹侧，故选项B、C错误；F沿x轴正方向，虽符合指向曲线凹侧，但在A点之后并不是做直线运动，故选项A错误，D正确。
2.质量为2
kg的质点在xy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是
( )
A.质点的初速度为3
m/s
B.质点所受的合外力为3
N
C.质点初速度的方向与合外力方向垂直
D.2
s末质点速度大小为6
m/s
【解析】选B。x轴方向初速度为vx=3
m/s，y轴方向初速度vy=
m/s=-4
m/s，质点的初速度v0=
m/s=5
m/s，故A项错误；x轴方向的
加速度a=
m/s2=1.5
m/s2，质点的合力F合=ma=3
N，故B项正确；合力
沿x轴方向，而初速度方向既不在x轴，也不在y轴方向，质点初速度的方向与
合外力方向不垂直，故C项错误；由题图可知，2
s末x方向质点速度的大小为6
m/s，而y方向的速度仍然是-4
m/s，所以合速度是
m/s=2
m/s，
故D项错误。
【加固训练】
如图所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板。将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是
( )
【解析】选C。铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，A、B、D错。
【拓展例题】考查内容：现实生活中运动的分解
【典例】如图所示，一架飞机沿仰角37°方向斜向上做匀速直线运动，速度的大小为v=150
m/s，sin37°=0.6，cos37°=0.8。则：
(1)经过t=4
s飞机发生的位移是多少？
(2)飞机在竖直方向的分速度是多大？
(3)经过t=4
s飞机在竖直方向上升了多少米？
【解析】(1)由于飞机在斜线上发生的是匀速直线运动，根据s=vt
解得：s=150×4
m=600
m。
(2)由运动的分解可求得竖直方向的分速度为：vy=vsin37°=90
m/s。
(3)根据运动的分解可得：h=s·sin37°=360
m。
答案：(1)600
m (2)90
m/s (3)360
m
2.1
运动的合成与分解
运动的合成与分解
分解：已知合运动求分运动
合成：已知分运动求合运动
步骤
1.确定物体的合运动
2.画出矢量图形
3.运用数学公式求几何关系
关系：平行四边形法则
【生活情境】
跑步受到越来越多的年轻人的青睐，如图甲所示，一个晨跑锻炼者沿河边小路跑步时做曲线运动，如图乙所示，先后经过A、B、C、D四点。
情境·模型·素养
探究：晨跑锻炼者先后经过A、B、C、D四点时的速度分别是vA、vB、vC、vD，加速度为aA、aB、aC、aD，试在图中标出各点的速度方向、加速度的大致方向。
【解析】速度方向、加速度的大致方向如图所示：
答案：见解析
【生产情境】
“歼-20A”型战斗机列装空军作战部队，意味着中国是继美国之后世界上第二个走完第五代战斗机论证评价、设计、研发、原型机测试、定型生产、最终服役全部阶段的国家。
探究：
(1)如果“歼-20A”在某次飞行过程中沿曲线MN加速向上爬升，请问在飞行过
程中其所受合力与速度方向具有怎样的关系？
(2)在图中最能表示“歼-20A”在P点的速度方向与其受到合力方向的分别是？
【解析】(1)由于“歼-20A”沿曲线加速爬升，所以其所受合力方向与速度方向的夹角为锐角。
(2)由于速度方向与轨迹切线方向一致，所以在P点的速度方向沿该点运动轨迹的切线方向是③；由于“歼-20A”所受合力方向与速度方向的夹角为锐角，所以它所受合力应该为②。
答案：见解析
课堂检测·素养达标
1.(多选)下列关于曲线运动的说法，正确的是
( )
A.速率不变的曲线运动是没有加速度的
B.曲线运动速度大小不一定变化
C.曲线运动的加速度一定是变化的
D.曲线运动速度方向一定变化
【解析】选B、D。做曲线运动的物体，速度方向一直在变，所以有加速度，故A错误；曲线运动的速度方向一直在变，但速度大小不一定变化，故B正确；曲线运动加速度不一定是变化的，比如匀变速曲线运动，加速度不变，故C错误；曲线运动的速度方向始终沿切线方向，一直变化，故D正确。
2.子谦同学在探究物体做曲线运动的条件时，将一条形磁铁放在桌面的A位置，让小钢珠在水平桌面上以初速度v0运动，得到小钢珠的运动轨迹。图中a、b、c、d哪一条为其运动轨迹
( )
A.a
B.b
C.c
D.d
【解析】选C。磁铁对小钢珠有吸引力，当磁铁放在位置A时，小钢珠运动过程中会受到磁铁的吸引，小钢珠逐渐接近磁铁，所以其运动轨迹是c，故C项正确。
【加固训练】
某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让人站在一个旋转较快的大平台边缘，向大平台圆心处的球筐内投篮球。如果人相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中平台内箭头指向表示投篮方向)
( )
【解析】选B。要使篮球投入球筐，必须使篮球的合速度方向指向球筐，根据平行四边形定则可知只有B选项符合要求。
3.如图所示为教室里可以沿水平方向滑动的黑板，一位老师用粉笔在其中某块可移动的黑板上画直线，若粉笔相对于黑板从静止开始向下匀加速直线滑动，同时黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则粉笔在黑板上所画出的轨迹，可能为下列图中的
( )
【解析】选B。黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则相对而言，粉笔以某一速度水平向右匀速运动，同时从静止开始匀加速向下滑动，根据做曲线运动的物体所受合外力一定指向曲线凹侧，则粉笔在水平方向始终匀速，在竖直方向向下加速，由运动的合成与分解，结合矢量合成法则，故B正确，A、C、D错误。故选B。
4.(2020·烟台高一检测)如图所示，起重机将重物吊运到高处的过程中经过A、B两点，重物的质量m=500
kg，A、B间的水平距离d=10
m。重物自A点起，沿水平方向做vx=1.0
m/s的匀速运动，同时沿竖直方向做初速度为零、加速度a=0.2
m/s2
的匀加速运动，忽略吊绳的质量及空气阻力，取重力加速度g=10
m/s2，求：
(1)重物由A运动到B的时间；
(2)重物经过B点时速度的大小；
(3)由A到B的位移大小。
【解析】(1)重物在水平方向做匀速运动，
从A到B的时间t=
=10
s。
(2)重物在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，所以过B点时的竖直分速度
vy=at=2
m/s
过B点时的合速度
v=
m/s。
(3)重物的水平位移x=d=10
m
竖直位移y=
at2=10
m
A到B的位移xAB=
=10
m。
答案：(1)10
s (2)
m/s (3)10
m(共45张PPT)
第2课时 小船渡河和关联速度问题
关键能力·合作学习
知识点一 小船渡河模型
1.模型特点：两个分运动和合运动都是匀速直线运动，其中一个分运动的速度大小、方向都不变，另一个分运动的速度大小不变，研究其速度方向不
同时对合运动的影响。这样的运动系统可看作小船渡河模型。
2.模型分析。
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)。
(3)两个极值。
a.过河时间最短：v1⊥v2，tmin=
(d为河宽)。
b.过河位移最小：v⊥v2(前提v1>v2)，如图甲所示，此时xmin=d(d为河宽)，船
头指向上游与河岸夹角为α，cosα=
；v1⊥v(前提v1河最小位移为xmin=
=
d(d为河宽)。
【问题探究】
在渡河小游戏中，一条匀速前进的小船要过河，怎样使小船渡河时间最短？
提示：船头垂直于河岸渡河时间最短。
【典例示范】
【典例】小船在200
m宽的河中行驶，水流速度为
3
m/s，船在静水中的航速是5
m/s，则：
(1)当小船的船头始终正对河岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin37°=0.6)
【解题探究】
(1)船头正对河岸时v船⊥v水，由_______________求解。
(2)航线垂直河岸时v合⊥v水，由_______________求解。
平行四边形定则
平行四边形定则
【解析】(1)因为小船垂直于河岸行驶，且在这一方向上，小船做匀速运动，
故渡河时间t=
=
s=40
s，
小船沿水流方向的位移
x=v水t=3×40
m=120
m，
即小船经过40
s在正对岸的下游120
m处靠岸。
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合速度v合应垂直于河岸，如图所示
则v合=
=4
m/s
经历时间t′=
s=50
s，
又cosθ=
=0.6，
即船的航向与上游河岸所成角度为53°
答案：(1)40
s 正对岸下游120
m
(2)船的航向与上游河岸成53°夹角 50
s
【规律方法】
小船渡河问题解题技巧
(1)船头的指向是小船在静水中行驶的速度方向。
(2)要使小船到达河的正对岸，小船的合速度方向应与河岸垂直。
【素养训练】
1.如图所示，小船过河时，船头偏向上游与水流方向成α角，船相对于静水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸。现水流速度稍有减小，为保持航线不变，且准时到达对岸，下列措施中可行的是
( )
A.增大α角，增大v
B.减小α角，减小v
C.减小α角，保持v不变
D.增大α角，保持v不变
【解析】选B。由题意可知，船相对水的速度为v，其航线恰好垂直于河岸，当水流速度稍有减小，为保持航线不变，且准时到达对岸，则如图所示，可知减小α角，减小v，故选项B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，有一只小船正在过河，河宽d=300
m，小船在静水中的速度
v1=3
m/s，水的流速v2=1
m/s。小船以下列条件过河时，求过河的时间。
(1)以最短的时间过河。
(2)以最短的位移过河。
【解析】(1)当小船的船头方向垂直于河岸时，即船在静水中的速度v1的方向垂直于河岸时，过河时间最短，则最短时间tmin=
=
s=100
s。
(2)因为v1=3
m/s>v2=1
m/s，所以当小船的合速度方向垂直于河岸时，过河位移最短，此时合速度方向如图所示，
则过河时间t=
≈106.1
s。
答案：(1)100
s (2)106.1
s
【加固训练】
(多选)一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知：船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d。则下列判断正确的是
( )
A.船渡河时间为
B.船渡河时间为
C.船渡河过程被冲到下游的距离为
D.船渡河过程被冲到下游的距离为
v2
【解析】选A、C。船渡河时间与分运动的时间相等，船头垂直河岸方向行驶，故t=
，A正确、B错误；船渡河过程被冲到下游的距离为s2=v2t=
，C正确、D错误。
知识点二 关联速度问题
1.常见问题：物体斜拉绳或绳斜拉物体，如图甲、乙所示。
2.规律：由于绳不可伸长，绳两端所连物体的速度沿着绳方向的分速度大小相等。
3.速度的分解方法：图甲中小车向右运动拉绳的结果，一方面是滑轮右侧绳变长，另一方面是使绳绕滑轮转动，由此可确定车的速度分解为沿绳和垂直绳的两个分速度，甲、乙两图的速度分解如图丙、丁所示。
4.进行速度分解：
(1)要分清合速度与分速度：合速度就是物体的实际运动的速度。
(2)分析物体的实际运动是由哪两个分运动合成的，找出相应的分速度。
(3)解决问题的关键：不可伸长的绳和杆，虽各点速度不同，但沿绳或杆轴线上的速度大小是相同的。
【问题探究】
如图所示，在运动过程中，杆两端点的速度通常也不一样，如何解决杆两端点的速度问题？
提示：如图所示，分解两端点的速度，其中沿杆方向的分速度大小相等。
【典例示范】
【典例】如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船的水平速度vx为
( )
A.小船做变速运动，vx=
B.小船做变速运动，vx=v0cosα
C.小船做匀速直线运动，vx=
D.小船做匀速直线运动，vx=v0cosα
【解题探究】
(1)小船的运动为_____的运动，即为合运动。
(2)将小船的速度分解为沿___方向和_____绳方向。
实际
垂直
绳
【解析】选A。小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效
果，对其进行分解，如图所示：
一是使绳子OP段缩短；二是使OP段绳与水平方向的夹角增大，所以小船的速度
vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1。由运动的分解可求得
vx=
，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变速运动，
且vx=
。则A正确，B、C、D错误。
【规律方法】绳物模型绳端速度分解方法
(1)分解实际速度(合运动的速度)，实际速度一般分解为一个沿绳的方向，一个垂直于绳的方向。
(2)若被拉紧的绳子的两端有两个物体做不同的运动时，绳子的哪一端有绕轴的转动，则将该端物体的运动看成合运动。
【素养训练】1.(多选)如图所示，做匀速直线运动的小车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和小车速度的大小分别为vB、vA，则
( )
A.vA>vB
B.vAC.绳的拉力等于B的重力
D.绳的拉力大于B的重力
【解析】选A、D。假设绳子与水平方向的夹角为θ，则vB=vAcosθ，vA>vB，所以A选项正确，B选项错误；小车A匀速，夹角θ变小，vB变大；由于B加速上升，所以B处于超重状态，绳的拉力大于B的重力，所以D选项正确，C选项错误。
2.如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳子带动小车m沿斜面升高。求当滑轮右侧的绳子与竖直方向成θ角且重物下滑的速度为v时，小车的速度为多大？
【解析】重物M的速度v的方向是合运动的速度方向，合速度产生两个效果：一是使绳子的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳子系着重物的一端沿绳子拉力的方向以速率v
′运动，如图所示，由图可知v
′=vcosθ。
答案：vcosθ
【加固训练】
如图所示，用一小车通过轻绳提升一货物，某一时刻，两段绳恰好垂直，且拴在小车一端的绳与水平方向的夹角为θ，此时小车的速度为v0，则此时货物的速度为
( )
A.
B.v0sinθ C.v0cosθ D.v0
【解析】选D。如图所示，车的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度，根据平行四边形定则，有v0cosθ=v绳，而货物的速度等于沿绳子方向和垂直于绳子方向速度的合速度。则有v货cos
α=v绳。由于两绳子相互垂直，所以α=θ，则由以上两式可得，货物的速度就等于小车的速度。故选D。
【拓展例题】考查内容：运动分解的实际应用
【典例】如图，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为α时，船的速度为
( )
A.vsinα B.
C.vcosα D.
【解析】选C。把人的速度v沿着绳子方向和垂直于绳子方向分解，如图所示。
其中v1=vcosα，所以船的速度等于vcosα。因此C选项正确。
【生活情境】
在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d。若战士想在最短时间内将人送上岸，则：
探究：摩托艇登陆的地点离O点的距离和所行驶的位移分别是多少？
情境·模型·素养
【解析】根据题意画出示意图，如图所示：
图中B为摩托艇登陆地点。要在最短时间内将人送上岸，v2应垂直河岸，由几何关系有：
OB=OAtanθ=dtanθ
而tanθ=
故OB=
AB=
答案：d
课堂检测·素养达标
1.小船在静水中的速度是v，今小船要渡过一河流，渡河时小船朝对岸垂直划行，若航行至河中心时，河水流速增大，则渡河时间将
( )
A.增大
B.减小
C.不变
D.不能确定
【解析】选C。由于船头垂直于河岸划行，要计算过河时间，可以利用t=
，x船=x河宽，所以过河时间与水流速度的大小无关，则C正确，A、B、D正确。
2.如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是
( )
A.绳的拉力大于A的重力
B.绳的拉力等于A的重力
C.绳的拉力小于A的重力
D.拉力先大于重力，后变为小于重力
【解析】选A。由车的速度分解图(如图)
知：vA=v1=v车cosθ，当车匀速运动时，θ变小，v1变大，故A物体加速上升，拉力大于重力。则A正确，B、C、D错误。
【加固训练】
如图所示，一辆行驶的汽车用绳子将一重物A提起，若要使重物A匀速上升，则在此过程中，汽车的运动情况是
( )
A.加速运动 B.减速运动
C.匀速运动
D.不能确定
【解析】选B。汽车参与两个分运动，沿绳子拉伸方向和垂直绳子方向(绕滑轮转动)的两个分运动，将汽车合速度分解，如图所示：
设v1与水平方向夹角为α，那么重物上升速度等于汽车沿绳子拉伸方向的分速度为：vA=v1=vcosα
汽车的速度：v=
，汽车向右运动的过程中与水平方向之间的夹角一直减小，则cosα增大，汽车的速度减小，所以汽车向右做减速运动，故B正确，A、C、D错误。故选B。
3.小船横渡一条两岸平行的河流，船相对于静水的速度大小不变，船身方向垂直于河岸，水流方向与河岸平行，已知小船的运动轨迹如图所示，则
( )
A.距离河岸越远，水流速度越小
B.沿图中轨迹渡河时间最短
C.沿图中轨迹渡河时间最长
D.沿图中轨迹渡河路程最短
【解析】选B。从轨迹曲线的弯曲形状上可以知道，小船先具有向下游的加速度，后具有向上游的加速度，故水流是先加速后减速，即越接近河岸水流速度越小，故A错误；由于船身方向垂直于河岸，无论水流速度是否变化，这种渡河方式耗时最短，故B正确，C错误；最短路程过河船头指向斜上方，而不是船头指向对岸，因此途中轨迹不是最短路程，故D错。所以选B。
4.(2020·菏泽高一检测)某直升机在航行时，它的航线方向要严格地从东到西，如果直升机的速度是160
km/h，风从南面吹来，风的速度为80
km/h。
(1)求直升机飞行的方向；
(2)如果所测地区长达80
km，求直升机飞过该地区所需的时间。
【解析】(1)根据平行四边形定则可确定直升机的航向，如图所示，
有sinθ=
，则θ=30°，即直升机飞行的方向是西偏南30°。
(2)直升机的合速度
v=v2cos30°=80
km/h
所需时间t=
=1
h。
答案：(1)西偏南30° (2)1
h(共57张PPT)
第2节 平
抛
运
动
必备知识·自主学习
一、什么是平抛运动
【情境思考】
水平打出的羽毛球是否做平抛运动？(忽略空气阻力)
提示：可以认为羽毛球做平抛运动。
1.概念：物体以一定的初速度沿_________(选填“水平方向”或“竖直方向”)
抛出，只在_____(填物体所受的某种力)作用下所做的运动，叫作平抛运动。
2.运动轨迹：平抛运动的轨迹是一条_______。
水平方向
重力
抛物线
二、平抛运动的规律
【情境思考】
物体做平抛运动时合速度方向与分速度方向遵循什么规律？
提示：合速度方向与分速度方向遵循平行四边形定则。
1.平抛运动的特点：
(1)水平方向：不受力，做_____________。
(2)竖直方向：只受重力，做_____________。
2.平抛运动的速度：
(1)水平方向：_____，即沿水平方向的_____________。
(2)竖直方向：_____，即沿竖直方向的_____________。
3.平抛运动的位移：
(1)水平方向：_____。
(2)竖直方向：________。
匀速直线运动
自由落体运动
vx=v0
匀速直线运动
vy=gt
自由落体运动
x=v0t
y=
gt2
【易错辨析】(1)水平抛出的物体所做的运动就是平抛运动。
(
)
(2)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快。
(
)
(3)做平抛运动的物体下落时，速度与水平方向的夹角θ越来越大。
(
)
(4)平抛运动合位移的方向与合速度的方向一致。
(
)
(5)平抛运动在竖直方向上做的是自由落体运动。
(
)
×
×
√
×
√
关键能力·合作学习
知识点一 平抛运动的特点
1.物体做平抛运动的条件：物体的初速度v0方向水平且不等于零，只受重力作用，两个条件缺一不可。
2.平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
3.平抛运动的三个特点：
(1)理想化特点：物理上提出的平抛运动是一种理想化的模型，即把物体看成质点，抛出后只考虑重力作用，忽略空气阻力。
(2)匀变速特点：平抛运动的加速度恒定，始终等于重力加速度，且重力与速度不共线。
(3)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv=gΔt，方向竖直向下，如图所示。
4.平抛运动的轨迹：由x=v0t，y=
gt2得y=
，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线。
【问题探究】 体育运动中投掷链球、铅球、铁饼、标枪等(如图所示)，都可以看成是平抛运动吗？
提示：链球、铅球、铁饼、标枪等，它们的初速度不一定沿水平方向，所以它们不一定做平抛运动。
【典例示范】
【典例】关于平抛运动，下列说法正确的是
( )
A.平抛运动是非匀变速运动
B.平抛运动是匀速运动
C.平抛运动是匀变速曲线运动
D.做平抛运动的物体落地时的速度方向一定是竖直向下的
【解题探究】
(1)做平抛运动的物体只受重力作用，产生_____的加速度。
(2)做平抛运动的物体初速度与合外力_______，为曲线运动。
【解析】选C。平抛运动是初速度水平且只受重力的运动，加速度恒为g，是匀
变速曲线运动，故A错误，C正确；平抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖
直分运动是自由落体运动，合运动是曲线运动，速度时刻改变，故B错误；平
抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是自由落体运动，合速度方
向不可能竖直向下，故D错误。
恒定
不共线
【规律方法】平抛运动的性质
(1)加速度不变的运动为匀变速运动，匀变速运动包括匀变速直线运动和匀变速曲线运动。
(2)平抛运动在任何时间内的速度变化方向都是竖直向下的。
【素养训练】1.关于平抛运动，下列说法正确的是
( )
A.因为平抛运动的轨迹是曲线，所以不可能是匀变速运动
B.平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D.平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
【解析】选D。做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv=gΔt是相同的，故B错误；平抛运动可分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，C错误。
2.某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该
弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面
的
( )
A.时刻相同，地点相同
B.时刻相同，地点不同
C.时刻不同，地点相同
D.时刻不同，地点不同
【解析】选B。弹射管在竖直方向做自由落体运动，所以弹出小球在竖直方向
运动的时间相等，因此两球应同时落地；由于两小球先后弹出，且弹出小球的
初速度相同，所以小球在水平方向运动的时间不等，因小球在水平方向做匀速
运动，所以水平位移不相等，因此落点不相同，则B正确，A、C、D错误。
【加固训练】
1.下列哪个运动是平抛运动
( )
A.随电梯一起运动的物体的运动
B.水平抛向空中的细绳的运动
C.水平抛向空中的纸片的运动
D.水平抛向空中的铅球的运动
【解析】选D。做平抛运动的物体要同时满足两个条件：(1)初速度水平；(2)
只受重力作用。显然选项A不满足，选项B、C中物体所受空气阻力不能忽略，
只有选项D中物体所受空气阻力可忽略，可看作平抛运动。
2.如图所示，在光滑的水平面上有一小球A以初速度v0运动，同时刻在它的正上
方有一小球B也以初速度v0水平抛出，并落于C点，则
( )
A.小球A先到达C点
B.小球B先到达C点
C.小球A、B同时到达C点
D.条件不足，无法确定哪个小球先到达C点
【解析】选C。B球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，可知相同时间
内水平位移和A球的水平位移相等，可知两球同时到达C点。故C正确，A、B、D
错误。
知识点二 平抛运动的规律
1.平抛运动的规律：
2.平抛运动的时间和水平射程：
(1)飞行时间：由于平抛运动在竖直方向的分运
动为自由落体运动，有h=
gt2，故t=
，即
平抛物体在空中的飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关。
(2)水平射程：由于平抛运动在水平方向的分运动为匀速直线运动，故平抛物体的水平射程即落地点与抛出点间的水平距离x=v0t=v0
，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关。
3.平抛运动的两个重要推论：
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示。
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tanθ=2tanα。
【问题探究】
由静止释放后的小球将从桌子的边缘沿水平方向飞出，开始做平抛运动。
(1)做平抛运动的小球的受力有什么特点？
提示：水平方向不受力；竖直方向只受重力。
(2)为了研究方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
提示：可以转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
【典例示范】
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
在距地面500
m的高处
可根据高度求时间
②
以80
m/s的水平速度飞行
水平方向匀速，可由x=v0t求位移
【解析】如题图所示，在地面上的观察者看来，从飞机上落下的物资在离开飞机前具有与飞机相同的水平速度。由于不计空气阻力，物资在离开水平飞行的飞机后做平抛运动。
由H=
gt2得物资在空中飞行的时间
t=
s=10
s
设投出物资处距目标的水平距离为x，
由于物资在水平方向做匀速运动，
则x=v0t=80×10
m=800
m
即飞行员应在距目标的水平距离为800
m远的地方投出救援物资。
答案：800
m
【规律方法】
平抛运动中时间的求解方法
(1)位移法：利用水平位移或竖直位移求解时间，由平抛运动的时间等于各分运动的时间，根据水平方向x=v0t，得t
，或根据竖直方向h=
gt2，得t=
。
(2)速度法：利用速度求解时间，先求出竖直分速度，由于竖直方向为自由落体运动，则有vy=gt，故t=
。
(3)推论法：利用匀变速直线运动的推论Δh=gT2求解时间。
【素养训练】
1.(多选)(2020·江苏高考)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则
( )
A.A和B的位移大小相等
B.A的运动时间是B的2倍
C.A的初速度是B的
D.A的末速度比B的大
【解析】选A、D。位移为初位置到末位置的有向线段，由题图可得sA=
，sB=
，A和B的位移大小相等，A正确；平抛运动
的时间由高度决定，即tA=
，tB=
，则A的运动时间
是B的
倍，B错误；平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则vxA=
vxB=
则A的初速度是B的
，C错误；小球A、B在竖直方向上的速度分
别为vyA=
，vyB=
，所以可得vA=
，vB=
=
，即vA>vB，
D正确。
2.从某一高度平抛一物体，抛出2
s后落地，落地时速度方向与水平方向成45°角(g取10
m/s2)，求：
(1)抛出时的速度。
(2)落地时的速度(结果保留3位有效数字)。
(3)抛出点距地面的高度。
(4)水平位移。
【解析】(1)物体落地时竖直分速度为：
vy=gt=10×2
m/s=20
m/s
根据tan45°=
得：v0=vy=20
m/s。
(2)落地时的速度为：
v=
m/s≈28.3
m/s。
(3)抛出点距地面的高度为：
h=
gt2=
×10×22
m=20
m。
(4)水平方向位移为：
x=v0t=20×2
m=40
m
答案：(1)20
m/s (2)28.3
m/s (3)20
m (4)40
m
【加固训练】
1.(多选)刀削面是西北人喜欢的面食之一，因其风味独特，驰名中外。刀削面全凭刀削，因此得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片，面片便飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.8
m，最近的水平距离为0.5
m，锅的半径为0.5
m。要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的哪些(g取10
m/s2)
( )
A.1.5
m/s B.2.5
m/s C.3.5
m/s D.4.5
m/s
【解析】选A、B、C。由h=
gt2得t=0.4
s
v1=
=1.25
m/s，v2=
=3.75
m/s
所以1.25
m/sm/s。故选A、B、C。
2.传送带以v=6
m/s的速度顺时针转动，一小物块轻轻放在传送带左端B点，然后在传送带的带动下，从传送带右端的C点水平抛出，最后落到地面上的D点，已知传送带长度
L=18
m，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.3(g取10
m/s2)。
(1)求物块在传送带上运动的时间。
(2)若物块在D点的速度方向与地面夹角为α=53°，求C点到地面的高度和C、D两点间的水平距离。
【解析】(1)设物块在传送带上的加速度为a，经过t1时间与传送带速度相同，因为a=μg=3
m/s2
由运动学公式v=at1得：t1=2
s
设物块在t1时间内的位移为x，由x=
得：x=6
m
因为xs
则物块在传送带上运动的时间为t=t1+t2=4
s
(2)因为tan
α=
，所以vDy=8
m/s
由
=2gh得：h=3.2
m
设平抛的时间为t3，由vDy=gt3得：t3=0.8
s
则平抛的水平位移：x′=vt3=4.8
m
答案：(1)4
s (2)3.2
m 4.8
m
【拓展例题】考查内容：类平抛运动的分析
【典例】质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，
若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)。今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，求：
(1)飞机受到的升力大小。
(2)上升至h高度时飞机的速度。
【解析】(1)飞机水平方向速度不变，则有l=v0t
竖直方向上飞机加速度恒定，则有h=
at2
联立得a=
，根据牛顿第二定律
F-mg=ma，得飞机受到的升力F=mg+ma=mg(1+
)
(2)由题意将此运动分解为水平方向速度为v0的匀速直线运动，l=v0t；竖直方向为初速度为0，加速度a=
的匀加速直线运动。
上升到h高度其竖直速度vy=
所以上升至h高度时其速度
如图所示，tanθ=
方向与v0成θ角，θ=arctan
。
答案：(1)mg(1+
) (2)
，方向与v0成θ角，θ=arctan
2.2
平抛运动
抛体运动
速度
位移
规律
应用
斜面结合
【体育情境】
体育竞赛中有一项运动为掷镖，如图所示，墙壁上落有两支飞镖，它们是从
同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成θ1=53°角，飞镖B与竖直墙壁成
θ2=37°角，两者相距为d。假设飞镖的运动为平抛运动。(sin37°=0.6，
cos37°=0.8)
探究：(1)飞镖在空中运动的时间决定于什么？
(2)射出点离墙壁的水平距离是多少？
情境·模型·素养
【解析】(1)由h=
gt2知t=
则运动时间决定于飞镖在空中下落的高度。
(2)设水平距离为s，飞镖的初速度为v0，竖直分速度为vy，
则vy=
=gt，v0=
，
联立解得t2=
，
下落高度h=
gt2=
，
则hA=
s，hB=
s，
根据hB-hA=d，解得s=
答案：(1)见解析 (2)
【生产情境】
中国空军歼-20战斗机已经进入作战部队服役，并已经开展相关训练。
探究：沿水平方向飞行的歼-20战斗机空投的炸弹，在离开战斗机后开始做平抛运动，要想准确击中地面的目标，应在距离目标多大的水平距离时开始投弹？请自行设定需要的物理量。
【解析】假设战斗机距地面的高度为h，战斗机飞行的速度为v，当地的重力加速度为g
由平抛运动规律可知：x=vt
h=
gt2
则要想击中目标，战斗机投弹时两者的水平距离：
x=v
答案：见解析
课堂检测·素养达标
1.(多选)匀速直线运动的火车上有一个苹果自由落下，关于苹果的运动下列说
法正确的是
( )
A.在火车上看苹果做自由落体运动
B.在火车上看苹果在下落的同时向车后运动
C.在地面上看苹果做自由落体运动
D.在地面上看苹果做平抛运动
【解析】选A、D。以火车为参考系，苹果的水平方向速度为零，苹果做自由落
体运动，故A正确，B错误。以地面为参考系，在水平方向上苹果与火车有相同
的速度，所以苹果水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，合运
动为平抛运动，故C错误，D正确。
2.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地。若不计空气阻力，则
( )
A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
【解析】选D。垒球做平抛运动，落地时瞬时速度的大小与初速度有关，也与高度有关，所以A错误；垒球落地时瞬时速度的方向与击球点离地面的高度和球的初速度都有关，所以B错误；垒球在空中运动的水平位移与击球点离地面的高度和球的初速度都有关，所以C错误；垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定，所以D正确。
3.“套圈圈”是许多人都喜爱的一种游戏。如图所示，小孩和大人直立站在界外同一位置，在同一竖直线上不同高度先后水平抛出小圆环，并恰好套中前方同一物体。假设小圆环的运动可视为平抛运动，则
( )
A.小孩抛出的圆环速度大小较小
B.两人抛出的圆环速度大小相等
C.小孩抛出的圆环运动时间较短
D.大人抛出的圆环运动时间较短
【解析】选C。做平抛运动的物体飞行时间由高度决定，由h=
gt2得，t=
，知小孩抛出的圆环运动时间较短，故C项正确、D项错误；由x=v0t知，水平位移相等，则大人抛出圆环的速度较小，故A、B项错误。
4.某同学将球从A点水平抛出击中地面上的目标B。已知A点的高度H=1.25
m，A点与目标B的水平距离d=5
m，重力加速度g取10
m/s2。求：
(1)球在空中运动时间t为多少。
(2)球水平抛出时速度大小v0为多少。
(3)球在击中目标B时速度是否竖直向下？简述理由。
【解析】(1)球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，
由H=
gt2得
t=
s=0.5
s
(2)球水平方向做匀速直线运动，
由公式x=d=v0t
得v0=
m/s=10
m/s
(3)不是，因为球在水平方向有速度，根据速度的合成知在击中目标B时速度不是竖直向下。
答案：(1)0.5
s (2)10
m/s
(3)不是，因为球在水平方向有速度，根据速度的合成知在击中目标B时速度不是竖直向下(共44张PPT)
第3节 科学探究：平抛运动的特点
实验必备·自主学习
一、实验目的
(1)描绘平抛运动的轨迹并分析其特点。
(2)根据平抛运动的轨迹求平抛初速度。
二、实验器材
斜槽、_____、木板、_______、坐标纸、图钉、_______、铅笔(或卡孔)等。
小球
铅垂线
刻度尺
三、实验原理与设计
1.实验原理：
(1)利用追踪法逐点描出小球运动的轨迹。
(2)建立坐标系，如果轨迹上各点的y坐标与x坐标间的关系具有y=ax2的形式，
则轨迹是一条_______。
(3)测出轨迹上某点的坐标x、y，根据x=v0t，y=
gt2得初速度__________。
抛物线
2.实验设计——轨迹的画法。
(1)追踪描点法。
(2)频闪照相法。
实验过程·探究学习
【实验步骤】
(1)固定斜槽：用图钉把坐标纸固定在竖直木板上，在木板的左上角固定斜槽，并使其末端保持水平。如图所示：
(2)固定木板：用悬挂在槽口的铅垂线把木板调整到竖直方向，并使木板平面与小球下落的竖直面平行且靠近，固定好木板。
(3)画竖直线：把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，再利用铅垂线在纸上画出通过O点的竖直线。
(4)释放小球：将小球从斜槽上合适的位置由静止释放，使小球运动轨迹大致经过坐标纸的右下角。
(5)描点：把笔尖放在小球可能经过的位置，如果小球运动中碰到笔尖，用铅笔在坐标纸该位置画上一点。用同样的方法从同一位置释放小球，在小球运动路线上描下若干点。
【思考·讨论】
在做“平抛运动的特点”实验中，小球能不能乱扔？
提示：不能，不能随意扔小球并注意小球落地过程，避免小球伤人或损坏实验室物品。
【数据收集与分析】
1.判断平抛运动的轨迹是不是抛物线:
(1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则当以抛出点为坐标原点建立直角坐标系后，轨迹上各点的坐标满足y=ax2的关系，且同一轨迹上a是一个特定的值。
(2)验证方法:
方法一：代入法。
用刻度尺测量几个点的x、y坐标，分别代入y=ax2中求出常数a，看计算得到的a值在误差范围内是否为一常数。
方法二：图像法。
建立y
-x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应y值的x2
值，在y
-x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜
率即为a值。
2.计算平抛运动的初速度:
(1)平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速
度v0。因x=v0t，y=
gt2，故v0=x
。
(2)平抛轨迹残缺(即无抛出点)
如图所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离相等，
由平抛运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh=hBC-
hAB=gt2
所以t=
，
所以初速度v0=
。
【实验结论】
(1)平抛运动的轨迹是抛物线。
(2)求出实验中小球做平抛运动的初速度。
【思考·讨论】
竖直方向上测量并计算yEF-yDE、yDE-yCD、yCD-yBC、yBC-yAB，在误差允许的范围内，它们有怎样的特点？由此，你能得出小球在竖直方向的运动性质吗？
提示：它们都相等，说明小球在竖直方向上做匀加速直线运动。
【注意事项
】
1.斜槽安装：实验中必须调整使斜槽末端的切线水平，将小球放在末端水平部分，若能使小球静止，斜槽末端的切线就水平了。
2.木板固定：木板必须处于竖直平面内，要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直。
3.小球释放：
(1)小球必须每次从斜槽上同一位置滚下。
(2)小球开始滚下的高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜。
4.坐标原点：坐标原点不是槽口的端点，而是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
5.初速度的计算：在轨迹上选取离坐标原点O较远的一些点来进行计算。
【思考·讨论】
在做“平抛运动的特点”实验中，除了本实验的方法外，还可以用什么方法得到平抛运动的轨迹？
提示：频闪照相法、水流法等。
【实验拓展】
1.喷水法:
如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开
口的细管，其中一根弯成水平，加上一个很细的喷嘴。
水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛
运动的轨迹。将它描在背后的纸上，进行分析处理。
2.频闪照相法:
用数码照相机可记录下平抛运动的轨迹，如图所示。
由于相邻两幅照片间的时间间隔是相等的，只要测量相邻两照片上小球的水平位移，就很容易判断平抛运动水平方向上的运动特点。
实验研析·创新学习
类型一 教材原型实验
角度1
实验原理和实验操作
【典例1】在做“研究平抛运动”的实验时，可以通过描点法画出小球的平抛运动轨迹，并求出平抛运动的初速度。实验装置如图甲所示。
(1)实验时将固定有斜槽的木板放在实验桌上，实验前要检查木板是否水平，请简述你的检查方法：_______________________。?
(2)关于这个实验，以下说法正确的是
( )
A.小球释放的初始位置越高越好
B.每次小球要从同一高度由静止释放
C.实验前要用重垂线检查坐标纸上的竖直线是否竖直
D.小球要靠近但不接触木板
【解题探究】
(1)斜槽末端水平的目的是什么？
提示：让小球抛出时有水平初速度。
(2)每次小球要从同一高度由静止释放的目的是什么？
提示：让小球抛出时有相同的水平初速度。
【解析】(1)小球放在斜槽的末端任一位置都静止，说明末端切线水平，即木板水平。
(2)下落高度越大，初速度越大，一是位置不好用眼捕捉观察估测，二是坐标纸上描出的轨迹图线太靠上边，坐标纸利用不合理，A错误；每次从同一高度由静止释放小球，保证小球每次具有相同的水平速度，B正确；右侧木板要竖直且让球靠近但不接触木板，以减少碰撞和摩擦，C、D正确。
答案：(1)将小球放在斜槽的末端任一位置(或木板上)，看小球能否静止(或用水平仪检查木板是否水平) (2)B、C、D
角度2
实验数据处理
【典例2】在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L=1.25
cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图中a、b、c、d所示，则：
(1)小球做平抛运动的初速度的计算式是什么(用L、g表示)？其值是多少？
(2)a点是平抛小球抛出点的位置吗？如果不是，那么抛出点的位置怎样确定？
【解析】(1)平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，即初速度为0的匀加速直
线运动；水平分运动是匀速直线运动。由水平方向
知，相邻两点间
的时间间隔相等，设为T，竖直方向相邻两点间的位移之差相等，Δy=L。由
Δy=gT2得L=gT2，时间T内，水平位移为x=2L，
所以v0=
代入数据得v0=0.7
m/s。
(2)根据运动学规律，若a点是抛出点，则有yab∶ybc∶ycd=1∶3∶5，由于ab、
bc、cd间竖直位移之比不满足
1∶3∶5
的关系，所以a点不是抛出点。设小球
运动到b点时竖直方向上的分速度为vyb，
则有vyb=
=0.525
m/s，
小球从抛出点运动到b点所用时间为tb=
，
则抛出点到b点的水平位移为
xb=v0tb=
=0.037
5
m=3.75
cm，
抛出点到b点的竖直位移
yb=
≈0.014
1
m=1.41
cm。
答案：(1)v0=
0.7
m/s (2)见解析
【规律方法】
求平抛运动的初速度的方法
(1)轨迹完整时：
根据平抛运动在水平方向做匀速直线运动x=v0t，在竖直方向做自由落体运动h=
gt2，可求得v0=
(2)轨迹不完整时：
根据不完整的平抛运动的轨迹在水平方向做匀速直线运动x=v0T，在竖直方向做
匀加速直线运动Δh=gT2，可求得v0=x
。
类型二 创新型实验
【典例3】如图所示，用底部带孔的玻璃试管和弹簧可以组装一个简易“多功能实验器”，利用该实验器，一方面能测弹簧的劲度系数，另一方面可测量小球做平抛运动的初速度。
使用该装置测量小球的初速度时，需要多次将弹簧的右端压到_______(选填“同一”或“不同”)位置。然后分别测出小球几次飞出的_______和_______，再由公式_______求出初速度的平均值。?
【解析】小球做平抛运动时，水平方向上x=v0t，竖直方向上h=
gt2，所以v0=
=x
。
答案：同一 水平位移x
竖直高度h v0=x
【创新评价】
1.实验创新思路：用弹簧把小球从同一位置弹出代替小球从斜槽的同一高度静
止释放。
2.实验步骤：
(1)安装实验器材。
(2)把小球从弹簧的同一位置释放，记录落在复写纸上的位置。
(3)测量小球做平抛运动的水平位移x和竖直位移h，并计算v0=x
。
(4)计算平抛运动的初速度的平均值。
次数
1
2
3
4
平均值
x
h
v0
3.误差分析：
(1)小球做平抛运动的初位置确定不准确。
(2)小球在空气中受到空气阻力影响。
课堂检测·素养达标
1.(多选)在“研究平抛运动”的实验中，为了求小球的初速度，需直接测的数
据有
( )
A.小球开始滚下的高度
B.小球在空中飞行的时间
C.运动轨迹上某点P的水平坐标
D.运动轨迹上某点P的竖直坐标
【解析】选C、D。由平抛运动规律，竖直方向y=
gt2，水平方向x=v0t，因此
v0=
，可见只要测得轨迹上某点P的水平坐标x和竖直坐标y，就可求出初速
度v0，故C、D正确。
【加固训练】
(多选)下列哪些因素会使“研究平抛运动”实验的误差增大
( )
A.小球与斜槽之间有摩擦
B.安装斜槽时其末端不水平
C.建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点
D.根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较远
【解析】选B、C。只要小球从同一高度、无初速开始运动，在相同的情形下，即使球与槽之间存在摩擦力，由于每次摩擦力的影响相同，因此仍能保证球做平抛运动的初速度相同，对实验没有影响，故A错误；安装斜槽末端不水平，则初速度不水平，使得小球的运动不是平抛运动，使得实验的误差增大，故B正确；建立坐标系时，因为实际的坐标原点为小球在末端时球心在白纸上的投影，以斜槽末端端口位置为坐标原点，使得测量误差增大，故C正确；根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点O较远，可以减小偶然误差，故D错误。故选B、C。
2.如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5
cm，如果g取10
m/s2，那么：
(1)照相机的闪光频率是_______Hz。?
(2)小球运动中水平分速度的大小是_______m/s。?
(3)小球经过B点时的速度大小是_______m/s。?
【解析】(1)因为xAB=xBC，所以tAB=tBC。
在竖直方向上，由Δy=gT2得5×0.05
m-3×0.05
m=10T2，
解得T=0.1
s
故闪光频率为10
Hz。
(2)水平分速度v=
m/s=1.5
m/s。
(3)vBy=
m/s=2.0
m/s
又知vBx=1.5
m/s
所以vB=
m/s=2.5
m/s。
答案：(1)10 (2)1.5 (3)2.5
3.(1)研究平抛运动，下面哪些做法可以减小实验误差
( )
A.使用密度大、体积小的钢球
B.尽量减小钢球与斜槽间的摩擦
C.实验时，让小钢球每次都从同一高度由静止开始滚下
D.使斜槽末端切线保持水平
(2)某同学在做“研究平抛运动”的实验中，忘记记下小钢球做平抛运动的起点位置O，A为小钢球运动一段时间后的位置，根据如图所示，求出小钢球做平抛运动的初速度为_______m/s。?
【解析】(1)研究平抛运动时，钢球体积越小，所受空气阻力越小，使记录小钢球通过的位置越准确，A正确；小钢球每次从斜槽上的同一位置由静止开始滚下，可保证小钢球的初速度不变，与钢球和斜槽间的摩擦无关，B错误，C正确；实验时必须使斜槽末端的切线水平，以确保小钢球水平飞出做平抛运动，D正确。
(2)因为xAB=xBC=0.20
m，所以小钢球从A运动到B和从B运动到C的时间相同，
设此时间为t。
据yBC-yAB=gt2得
t=
=0.10
s
又因为xAB=v0t
所以v0=
m/s=2.0
m/s。
答案：(1)A、C、D (2)2.0
4.在研究“平抛运动”实验中，
(1)如图1所示是横挡条，卡住平抛小球，用铅笔标注小球最高点，确定平抛运动轨迹的方法，坐标原点应选小球在斜槽末端时的
_______。?
A.球心 B.球的上端 C.球的下端
(2)如图2所示此装置拍摄小球做平抛运动的频闪照片，由照片可以判断实验操作错误的是_______。?
A.释放小球时初速度不为零
B.释放小球的初始位置不同
C.斜槽末端切线不水平
(3)如图3所示是利用稳定的细水柱显示平抛运动轨迹的装置，其中正确的是_______。?
【解析】(1)题干中指出用铅笔标注小球的最高点作为小球轨迹的记录点。所以坐标原点也应选为球的最高点即球的上端。故选B。
(2)由题图可知，小球做斜抛运动。所以斜槽末端没有水平放置，故选C。
(3)竖直管内与大气相通，为外界大气压强，竖直管在水面下保证竖直管上出口处的压强为大气压强，因而另一出水管的上端口处压强与竖直管上出水口处的压强有恒定的压强差，保证另一出水管出水压强恒定，从而水速也恒定，如果竖直管上出口在水面上，则水面上为恒定大气压，因而随水面下降，出水管上口压强降低，出水速度减小，故选B。
答案：(1)B (2)C (3)B(共51张PPT)
第4节 生活中的抛体运动
必备知识·自主学习
一、抛体运动
【情境思考】
(1)抛出的标枪在最高点的速度为零吗？
(2)标枪在竖直方向上的运动情况是怎样的？
提示：(1)最高点速度不为零，但竖直速度为零。
(2)在竖直方向的运动为上抛运动。
1.抛体运动的概念：以一定的初速度将物体抛出，物体仅在_____作用下所做
的运动。
2.抛体运动的分类：根据物体抛出的初速度的方向，抛体运动可分为_______
___、竖直上抛运动、竖直下抛运动、_________。
重力
平抛运
动
斜抛运动
3.运动的分解：
(1)水平方向以初速度v0x做_________运动，v0x=_______。
(2)竖直方向以初速度v0y做_________运动，
v0y=_______。
匀速直线
v0cosθ
竖直上抛
v0sinθ
二、射程与射高
提示：初速度越大，射程和射高都越大；
水流的初速度大小不变时，竖直向上射水时射高最大；方向与水平方向夹角为45°时，射程最大。
【情境思考】
1.定义：
(1)射高：在斜抛运动中，物体能到达的_________。
(2)射程：物体从抛出点到落地点的_________。
2.射高和射程与初速度和抛射角的关系：
(1)射高和射程与初速度的关系：抛射角一定，初速度增大时，射程和射高都
_____。
(2)射高和射程与抛射角的关系。
初速度大小一定，当抛射角为45°时，射程_____，当抛射角为_____时，射高最
大。
最大高度
水平距离
增大
最大
90°
【易错辨析】
(1)做斜抛运动的物体水平分速度不变。
(
)
(2)做斜抛运动的物体加速度不变。
(
)
(3)做斜抛运动的物体在相同的高度处有相同的速度。
(
)
(4)做斜抛运动的物体经过最高点时，瞬时速度为零。
(
)
(5)平抛运动是匀变速曲线运动，而斜抛运动是非匀变速曲线运动。(
)
√
√
×
×
×
关键能力·合作学习
知识点一 抛体运动的特点
1.受力特点：斜抛运动是忽略了空气阻力的理想化运动，因此物体仅受重力，其加速度为重力加速度g。
2.运动特点：物体具有与水平方向存在夹角的初速度，仅受重力，因此斜抛运动是匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线。
3.速度变化特点：由于斜抛运动的加速度为定值，因此，在相等的时间内速度的变化大小相等，方向均竖直向下，故相等的时间内速度的变化相同，即Δv=gΔt。
4.对称性特点：
(1)速度对称：相对于轨道最高点两侧对称的两点速度大小相等或水平方向速度相等，竖直方向速度等大反向。(如图所示)
(2)时间对称：相对于轨道最高点两侧对称的曲线上升时
间等于下降时间，这是由竖直上抛运动的对称性决定的。
(3)轨迹对称：其运动轨迹关于过最高点的竖直线对称。
【问题探究】
如图所示，烟花可以增添欢乐气氛，当然烟花也蕴含着许多物理知识。假设在高空中有四个小球，在同一位置同时以速率v竖直向上、竖直向下、水平向左、水平向右被抛出，不考虑空气的阻力，经过3
s后四个小球在空中的位置构成的图形可能什么形状？
提示：四个小球所在位置为顶点所构成的图形应该是正方形。
【典例示范】
【典例】关于斜上抛物体的运动，下列说法正确的是
( )
A.可以分解为沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动
B.可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直下抛运动
C.是加速度a=g的匀变速曲线运动
D.到达最高点时，速度为零
【解析】选C。研究斜上抛运动可利用分解法，分解方法是将斜抛运动看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动；斜上抛物体仅在重力作用下运动，加速度大小与方向都恒定，所以是匀变速运动；又由于抛出的初速度v0斜向上，与重力不在同一条直线上，因此为匀变速曲线运动；在最高点物体虽然在竖直方向的速度为0，但仍有水平方向的速度。则C正确，A、B、D错误。
【素养训练】
1.(多选)将同一物体分别以不同的初速度、不同的仰角做斜上抛运动，忽略空气阻力，若初速度的竖直分量相同，则下列哪个量相同
( )
A.落地时间
B.水平射程
C.自抛出至落地的速度变化量
D.最大高度
【解析】选A、C、D。落地时间和最大高度取决于竖直方向的分运动，水平射程与水平分速度、运动时间有关，水平分速度不一定相同，故选项A、D正确，选项B错误；由Δv=gt知，选项C正确。
2.做斜上抛运动的物体的运动可以分解为水平和竖直方向的两个分运动，若以向上为正方向，则描述竖直方向上物体运动的速度—时间图像为
( )
【解析】选C。在竖直方向上物体以某一初速度先减速上升再加速下降，而加速度恒为重力加速度，物体做匀变速直线运动，若以向上为正方向，其速度—时间图像应为题图C，则C正确，A、B、D错误。
【加固训练】
1.运动会上，铅球从运动员手中被斜向上推出后在空中飞行的过程中，若不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.铅球的加速度的大小和方向均不变
B.铅球的加速度的大小不变，方向改变
C.铅球的运动是匀变速直线运动
D.铅球的运动是非匀变速曲线运动
【解析】选A。铅球只受重力，根据牛顿第二定律，加速度为重力加速度，保持不变，即铅球的加速度的大小和方向均不变，故A正确，B错误；铅球的运动加速度恒定，但加速度与速度方向不共线，故其做匀变速曲线运动，故C、D错误；故选A。
2.斜上抛运动可分解为
( )
A.水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动
B.水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动
C.水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的自由落体运动
D.沿初速度方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动
【解析】选B。若将斜上抛运动按水平方向和竖直方向正交分解，两分运动分别为匀速直线运动和竖直上抛运动，故A、C错误，B正确；若沿初速度方向分解出一匀速直线运动，则另一分运动为竖直方向的自由落体运动，故D错误。
知识点二 抛体运动的规律及应用
1.斜抛运动的规律：
(1)速度规律。
水平速度：vx=v0cosθ。
竖直速度：vy=v0sinθ-gt。
t时刻的速度大小为v=
。
(2)位移规律。
水平位移：x=vxt=v0tcosθ。
竖直位移：y=v0tsinθ-
gt2。
t时间内的位移大小为s=
，与水平方向成α角，且tanα=
。
2.射高和射程：
(1)斜抛运动的飞行时间：t=
。
(2)射高：h=
。
(3)射程：s=v0cosθ·t=
，
对于给定的v0，当θ=45°时，射程达到最大值，smax=
。
【问题探究】
在某次跳投表演中，篮球以与水平面成45°的倾角落入篮筐，设投球点和篮筐正好在同一水平面上，如图所示。已知投球点到篮筐距离为10
m，不考虑空气阻力，则篮球投出后的最高点相对篮筐的竖直高度为多少？
提示：篮球抛出后做斜上抛运动，根据对称性可知，出手时的速度方向与水平
方向成45°角，设初速度为v0，则水平方向x=v0cos45°t；竖直方向设能到达
的最大高度为h，则h=
，解得h=
=2.5
m。
【典例示范】
【典例】一座炮台置于距地面60
m高的山崖边，以与水平面成45°角的方向发射一枚炮弹，炮弹离开炮口时的速度为120
m/s。(忽略空气阻力，g取10
m/s2)求：
(1)炮弹所达到的最大高度。
(2)炮弹落到地面时所经历的时间和落地速度的大小。
(3)炮弹的水平射程。
【解析】(1)炮弹的运动轨迹如图所示。
炮弹发射的竖直分速度v0y=v0sin45°=60
m/s，
上升的距离h′=
=360
m，
所以炮弹所能达到的最大高度
h=H+h′=60
m+360
m=420
m。
(2)炮弹在空中运动的总时间从全过程分析较为简单，根据位移公式，
有-H=v0sin45°·t-
gt2，解得t=17.65
s
炮弹落地时在竖直方向的分速度为vy=
故炮弹落地时的速度为
(3)炮弹的水平射程x=v0cos45°·t=1
498
m。
答案：(1)420
m (2)17.65
s 124.9
m/s (3)1
498
m
【规律方法】斜上抛运动问题的分析技巧
(1)斜上抛运动问题可用运动的合成与分解进行分析，即水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。
(2)运动时间及射高由竖直分速度决定，射程由水平分速度和抛射角决定。
(3)由抛出点到最高点的过程可逆向看作平抛运动来分析。
【素养训练】
1.如图所示，美洲狮是一种凶猛的食肉猛兽，也是嗜杀成性的“杂食家”，在
跳跃方面有着惊人的“天赋”，它“厉害的一跃”水平距离可达44英尺，高达
11英尺(1英尺约0.3米)。设美洲狮做“厉害的一跃”离开地面时的速度方向与
水平面的夹角为α，若不计空气阻力，美洲狮可看作质点，则tanα等于
( )
【解析】选C。从起点A到最高点B可看作平抛运动的逆过程，如图所示，
平抛运动位移方向与水平方向夹角的正切值为tanβ=
tanα，即tanα=2tanβ=2×
，故C正确，A、B、D错误。
2.篮筐附近的俯视图如图所示，篮筐离地的高度为3.05
m。某一运动员举起双
手(离地高2
m)在罚球线旁开始投篮，篮球恰好沿着篮筐的外沿进入，且篮球
运动的最高点就是刚要进入的一点。如果把篮球看成质点，球出手的速度是
10
m/s，试问：运动员应以多大的角度投篮，才能达到此要求？(忽略空气阻
力，g取10
m/s2)
【解析】从正向看，球的运动是斜上抛运动，运用逆向思维，把球的运动看成反方向的平抛运动，画出人投篮的正面图如图所示，由图可得
x=vxt，y=3.05
m-2
m=
gt2
设球离手时的速度为v0，又因为球在最高点的速度为vx=v0cosθ
联立以上关系式可得
cosθ=
代入数据解得θ≈30°。
答案：与水平面成30°角
【加固训练】
以与水平方向成θ角的初速度v0从水平地面上抛出一个小球，不计空气阻力和浮力。若v0一定，则当θ为多大时，射高最大，且求最大的射高；当θ为多大时，射程最大，且求最大的射程。
【解析】如图所示，将v0沿水平方向和竖直方向分解，
得v1=v0sinθ，
①
v2=v0cosθ。
②
小球在竖直方向上以初速度v1做竖直上抛运动，
从抛出点到最高点，有02-
=2(-g)h。
③
从抛出点到落地点，有v1t-
gt2=0
④
由①、③式得h=
⑤
由⑤式可知，当θ=90°时，射高最大，最大的射高Hm=
。
小球在水平方向上以速度v2做匀速运动，有
x=v2t
⑥
由①④式得
t=
(t=0舍去)
⑦
由②⑥⑦式得x=
⑧
由⑧式可知，当θ=45°时，射程最大，最大的射程为xm=
。
答案：见解析
【拓展例题】考查内容：斜抛运动在生活中的应用
【典例】如图所示，打高尔夫球的人在发球处(该处比球洞所在处低4
m)击球，该球初速度为35
m/s，方向与水平方向成37°角。问：把球打向球洞处时，球在水平方向上前进多远？(忽略空气阻力，g取10
m/s2)
【解析】该球初速度的水平分量和竖直分量分别为v0x=v0cos37°=35×
0.8
m/s=28
m/s
v0y=v0sin37°=35×0.6
m/s=21
m/s
在竖直方向上，y=v0yt-
gt2
代入已知量，整理可得5t2-21t+4=0，解得t=0.2
s或4
s，其中t=0.2
s是对应
图中B点的解，表示该球自由飞行至B点所需时间。因此本题中，应选解t=
4
s。在此飞行时间内，该球的水平初速度不变，可得水平位移为x=v0xt=28
×4
m=112
m。
答案：112
m
【体育情境】
飞盘运动由于本身的新奇，没有场地限制等特点，深受大家的喜爱。某一玩家从1.25
m的高处，将飞盘投出。
探究：(1)若飞盘到达不了指定地点，将如何调整？
(2)飞盘在空中飞行的时间至少是多少？
情境·模型·素养
【解析】(1)高度一定，由h=
gt2知，时间也是一定的。水平方向匀速运动
s=vt，要增大位移，需提高水平速度v。
(2)若没有空气阻力，则飞盘做平抛运动时，在空中飞行的时间最短，由h=
gt2得t=
=0.5
s。在实际飞行过程中，由于飞盘运动过程中要受空气阻
力，则运动时间大于0.5
s。
答案：见解析
【生产情境】
如图所示，电脑控制果蔬自动喷灌技术被列为全国节水灌溉示范项目，在获得经济效益的同时也获得了社会效益。从该技术水管中射出的水流轨迹呈现一道道美丽的弧线，如果水喷出管口的速度是20
m/s，管口与水平方向的夹角为45°，空气阻力不计。(g取10
m/s2)
探究：(1)能否求出水的射程和射高，
若能求根据什么规律求？
(2)计算水的射程和射高。
【解析】(1)可以求出，根据水平方向是匀速运动，竖直方向是匀减速运动
的规律来求。
(2)水的竖直分速度vy=v0sin
45°=10
m/s，
上升的最大高度h=
m=10
m。
水在空中的飞行时间为t=
水的水平分速度vx=v0cos45°=10
m/s。
水平射程s=vxt=10
×2
m=40
m。
答案：(1)见解析 (2)40
m 10
m
课堂检测·素养达标
1.如图是斜向上抛出的物体的运动轨迹，C点是轨迹最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列叙述中正确的是(不计空气阻力)
( )
A.物体在C点的速度为零
B.物体在A点的速度与在B点的速度相同
C.物体在A点、B点的水平分速度等于物体在C点的速度
D.物体在A、B两点的竖直分速度相同
【解析】选C。斜上抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是竖直上抛运动，故A错，C对，物体在A、B两点的竖直分速度方向不同，故B、D错。
2.关于斜上抛运动与平抛运动的比较，正确的是
( )
A.都是匀变速曲线运动
B.平抛是匀变速曲线运动，而斜上抛是非匀变速曲线运动
C.都是加速度逐渐增大的曲线运动
D.平抛运动是速率一直增大的曲线运动，而斜上抛运动是速率一直减小的曲线运动
【解析】选A。平抛运动与斜上抛运动的物体都是以一定的初速度被抛出，且抛出后只受重力作用，合外力为G=mg，根据牛顿第二定律可以知道平抛运动和斜上抛运动的加速度都是恒定不变的，大小为g，方向竖直向下，都是匀变速运动；平抛运动和斜上抛运动初速度的方向与加速度的方向不在同一条直线上，所以它们都是匀变速曲线运动，B、C错误，A正确。平抛运动的速率一直在增大，斜上抛运动的速率先减小后增大，D错误。
【加固训练】
在同一位置以相同的速度大小把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方
向抛出。不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小
( )
A.水平抛出的最大 B.斜向上抛出的最大
C.斜向下抛出的最大
D.一样大
【解析】选D。三个小球下落的高度是相同的，根据动能定理可知：mgh=
mv2
-
；由于初速度和竖直高度相等，所以落地时速度大小也相等，故D正
确；A、B、C错；故选D。
3.由消防水龙带的喷嘴喷出的水的流量是0.28
m3/min，水离开喷口时的速度大
小为16
m/s，方向与水平面夹角为60°，在最高处正好到达着火位置。忽
略空气阻力，则空中水柱的高度和水量分别是(重力加速度g取10
m/s2)
( )
A.28.8
m 1.12×10-2
m3
B.28.8
m 0.672
m3
C.38.4
m 1.29×10-2
m3
D.38.4
m 0.776
m3
【解析】选A。由题意可知，水离开喷口做斜上抛运动，根据斜上抛运动规律
可得v竖直=vsin60°，
=2gh，v竖直=gt，联立可得h=
=28.8
m，t=
=2.4
s，所以空中水柱的水量V=Qt=
m3=1.12×10-2
m3，选项A正
确，B、C、D错误。
4.世界上最窄的海峡是苏格兰的塞尔海峡，它位于欧洲大陆与塞尔岛之间。这个海峡只有约6
m宽，假设有一位运动员，他要以相对于水平面为37°的角度进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海峡的最小初速度是多少？(忽略空气阻力，sin
37°=0.6，cos
37°=0.8，g取10
m/s2)
【解题指南】解答本题应注意以下两点：
(1)运动员越过这个海峡的最小初速度也就是水平方向的速度。
(2)运动时间由竖直分运动确定。
【解析】设该运动员的最小初速度为v0，其射程恰为6
m，则其水平分速度：v0x=v0cos
37°
射程：x=v0xt，竖直分速度：v0y=v0sin
37°
运动时间：t=
联立以上各式解得v0=
m/s
答案：
m/s(共35张PPT)
阶段提升课
第2章
知识体系·思维导图
考点整合·素养提升
【核心素养——物理观念】
考 点 运动的合成与分解(难度☆☆☆)
运动的合成与分解的思路和方法：
(1)先确定合运动，即物体的实际运动。
(2)然后分析这个合运动所产生的实际效果，从而确定两个分运动的方向。
(3)作出速度(或位移、加速度)分解的示意图，即根据平行四边形定则，作出合运动与分运动相关联的平行四边形。
(4)利用三角形、三角函数等数学知识求解。
【名师支招】
【素养评价】
(多选)某河宽为600
m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关
系图像如图所示。船在静水中的速度为4
m/s，要想使船渡河的时间最短，下
列说法正确的是
( )
A.船在航行过程中，船头应与河岸垂直
B.船在河水中航行的轨迹是一条直线
C.渡河的最短时间为240
s
D.船离开河岸400
m时的速度大小为2
m/s
【解析】选A、D。若船渡河的时间最短，船在航行过程中，必须保证船头始终
与河岸垂直，选项A正确；因水流的速度大小发生变化，根据运动的合成与分
解可知，船在河水中航行的轨迹是一条曲线，选项B错误；渡河的最短时间为
tmin=
=150
s，选项C错误；船离开河岸400
m时的水流速度大小与船
离开河岸200
m时的水流速度大小相等，即v水=
×200
m/s=2
m/s，则船离
开河岸400
m时的速度大小为v′=
m/s，选项D正确。
【加固训练】
1.某人骑自行车以4
m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报道当时是正
北风，风速也是4
m/s，
则骑车人感觉的风向和风速大小是
( )
A.西北风，风速4
m/s
B.西北风，风速4
m/s
C.东北风，风速4
m/s
D.东北风，风速4
m/s
【解析】选D。若无风，人向东骑车，则相当于人不动，刮正东风，而实际风
从正北方刮来，所以人感觉到的风应是这两个方向的合成。人向正东方行驶产
生的风向西，如图中v1，而实际的自然风从北向南刮，如图中的v2，人感觉到
的风速是v1与v2的合速度，即图中的v合，很显然v合=
m/s，方向是
东北风。
2.(多选)如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上沿跑道AB运动，拉弓放箭射向他左侧的固定目标。假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的箭速度为v2，跑道离固定目标的最近距离OA=d。若不计空气阻力的影响，要想命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则
( )
A.运动员放箭处离目标的距离为
B.运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到靶的最短时间为
D.箭射到靶的最短时间为
【解析】选B、C。当射出箭的方向与骑马方向垂直时，箭射到靶的时间最短，
最短时间t=
，此时马离A点的距离x=v1t=
d，所以运动员放箭处离目标的
距离s=
故B、C正确，A、D错误。故选B、C。
3.如图所示，某长江流域遇险，搜救人员驾驶快艇救人。假设江岸是平直的，江水流速为v1，快艇在静水中的航速为v2，搜救人员开快艇从沉船上接到伤员后想在最短时间内将人送上岸，已知沉船到岸边的最近处O的距离为d，则快艇登陆的地点离O点的距离为多少？
【解析】当船头垂直江岸航行时，渡江时间最短，所用时间t=
。由于合运
动和分运动具有等时性，因此被水冲下的分运动时间也为t，登陆地点离O的距
离为l=v1t=
答案：
【核心素养——科学思维】
考点1 平抛运动中的临界问题(难度☆☆☆)
类型及分析思路：平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。
求解这类题的关键是确定临界轨迹：
(1)当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线。
(2)当受竖直高度限制时，其临界轨迹为抛出点竖直高度端点的一条抛物线。
【名师支招】
【素养评价】
1.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和
L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右
侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3
h。不计空气的阻力，重
力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，
就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的取值范围是
( )
【解析】选D。设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖
直方向上有3h-h=
①
水平方向上有
=v1t1
②
由①②两式可得v1=
设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直
方向有3h=
③
在水平方向有
=v2t2
④
由③④两式可得v2=
则v的取值范围为v12.2019年9月28日，中国女排夺得世界杯冠军，为祖国赢得了荣誉。如图所示，排球场的长度为18
m，其网的高度为2
m，运动员站在离网3
m远的线上，正对网前竖直跳起把球垂直于网水平击出。设击球点的高度为2.5
m，问：球被水平击出时的速度v在什么范围内才能使球既不触网也不出界？(g取10
m/s2)
【解析】如图所示，
排球恰触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰出界时其轨迹为Ⅱ，
根据平抛物体的运动规律
x=v0t和y=
gt2可得，当排球恰触网时有
x1=3
m，x1=v1t1
①
h1=2.5
m-2
m=0.5
m，h1=
②
由①②可得v1≈9.5
m/s。
当排球恰出界时有：
x2=3
m+9
m=12
m，x2=v2t2
③
h2=2.5
m，h2=
④
由③④可得v2≈17
m/s。
所以球既不触网也不出界的水平击出速度范围是：
9.5
m/sm/s。
答案：9.5
m/sm/s
【加固训练】
如图所示为一网球场长度示意图，球网高为h=0.9
m，发球线离网的距离为x=6.4
m，某一运动员在一次击球时，击球点刚好在发球线上方H=1.25
m高处，设击球后瞬间球的速度大小为v0=32
m/s，方向水平且垂直于网，试通过计算说明网球能否过网？若过网，试求网球的直接落地点离对方发球线的距离L。(不计空气阻力，重力加速度g取10
m/s2)
【解析】解法一 网球恰好能过网时到达网所在处下降的高度：H-h=
gt2，
水平通过的位移：x=v0mint，
故所需的最小击球速度：
v0min=
而v0=32
m/s>v0min，故网球可过网。
网球从被击到落地历时为t=
=0.5
s，
水平方向上运动的距离s=v0t=16
m>2x=12.8
m
则网球落在对方发球线右侧，与发球线间的距离为
L=s-2x=3.2
m。
解法二 网球到达网所在处历时为t1=
=0.2
s，
下落高度h1=
=0.2
m，
因h1m，故网球可过网。
以下同解法一。
答案：见解析
考点2 与斜面结合的临界问题(难度☆☆☆☆)
与斜面结合的平抛运动问题的求解思路
(1)顺着斜面抛：如图所示，从倾角为θ的斜面上以初速v0平抛一物体，不计空气阻力，经时间t，物体落在斜面上时其水平位移和竖直位移分别为x、y。则：
tan
θ=
遇到斜面上的平抛运动问题，往往会与这一关系式有关，
所以，解题时要有意识地写出这一关系式。
(2)对着斜面抛：如图所示，以初速度v0水平抛出一物体，经过一定时间后物体垂直落在倾角为θ的斜面上。则：
tan
θ=
所以物体运动时间t=
【素养评价】
如图所示，一小球自平台上水平抛出，恰好落在台的一倾角为α=53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h=0.8
m，重力加速度g取10
m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，问：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多少？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H=20.8
m，则小球离开平台后经多长时间到达斜面底端？
【解析】(1)由题意可知：小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，如图所示。
vy=v0tan53°，
=2gh，代入数据，得vy=4
m/s，v0=3
m/s。
(2)由vy=gt1，得t1=0.4
s，
故x=v0t1=3×0.4
m=1.2
m。
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度
a=
=8
m/s2，
初速度v=
=5
m/s，
代入数据，整理得：4
+5t2-26=0，
解得t2=2
s或t2=-
s(不合题意舍去)。
所以t=t1+t2=2.4
s。
答案：(1)3
m/s (2)1.2
m (3)2.4
s
【加固训练】
1.如图所示，小球以初速度v0自倾角为θ的斜坡顶端被水平抛出。若不计空气阻力作用且斜坡足够长，重力加速度为g，试求：
(1)小球经过多长时间落到斜坡上？落点到斜坡顶端的距离是多大？
(2)小球被抛出多久距离斜坡最远？
【解析】(1)当小球落到斜坡上时，位移方向与水平方向的夹角等于斜坡倾
角，所以tan
θ=
故下落时间t=
落点到斜坡顶端的距离s=
(2)而当小球距离斜坡最远时，小球的速度与水平方向的夹角等于斜坡的倾角，如图所示。
设小球到达距离斜坡最远所需时间为t′，则：
tan
θ=
故t′=
答案：(1)
(2)
2.(多选)(2019·全国卷Ⅱ)如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离。某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v-t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻。则
( )
A.第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B.第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C.第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D.竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
【解析】选B、D。由v-t图像面积可知，第二次面积大于第一次面积，故第二
次竖直方向下落距离大于第一次下落距离，所以A错误；由于第二次竖直方向
下落距离大，位移方向相同，故第二次水平方向位移大，故B正确；由v-t图像
斜率知，第一次大、第二次小，斜率越大，加速度越大，或由
可知a1>
a2，故C错误；由图像斜率，速度为v1时，第一次图像斜率大，第二次图像
斜率小，故a1>a2，由G-fy=ma，可知，
故D正确。
3.如图所示，小球以15
m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一
段时间后，恰好垂直撞在斜面上。(不计空气阻力，g取10
m/s2，sin37°
=0.6，cos37°=0.8，tan37°=
)在这一过程中，求：
(1)小球在空中的飞行时间。
(2)抛出点距撞击点的竖直高度。
(3)小球撞到斜面时，小球在竖直方向上下落的距离
与在水平方向上通过的距离之比是多少。
【解析】(1)将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示。
由图可知θ=37°，φ=90°-37°=53°。
tanφ=
，
则t=
=2
s。
(2)h=
gt2=
×10×22
m=20
m。
(3)小球在水平方向上通过的距离x=v0t=30
m，所以h∶x=2∶3。
答案：(1)2
s (2)20
m (3)2∶3
