(共61张PPT)
第3章 圆
周
运
动
必备知识·自主学习
一、线速度
【情境思考】
地球围绕太阳旋转可认为是匀速圆周运动，在运动一周的过程中，速度是否发生变化？为什么？
提示：发生变化。因为速度是矢量，其方向时刻在变化。
1.匀速圆周运动：在任意相等时间内通过的_____都相等的圆周运动。
2.线速度：
(1)定义：做匀速圆周运动的物体通过的_____与所用_____的_____。
(2)大小：v=
，国际单位为____。
(3)方向：在圆周上某点的线速度方向沿圆周上该点的_____方向，与半径方向
_____。
弧长
弧长
时间
比值
m/s
切线
垂直
(4)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
(5)匀速圆周运动线速度的特点：
①线速度的大小_________；
②线速度的方向时刻与半径垂直，时刻变化。
处处相等
二、角速度
【情境思考】
将自行车倒过来放置，匀速转动脚踏板，自行车上A、B两点，B、C两点在相同的时间内转过的角度一样吗？
提示：A、B两点在相同时间内转过的角度相同；B、C两点在相同的时间内转过的角度不同。
1.定义：做匀速圆周运动的物体，连接物体和圆心的半径转过角度_____和所
用时间Δt的_____。
2.公式：ω=
，国际单位是_________，符号______。
3.物理意义：质点绕圆心转动快慢的物理量。
4.匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
Δθ
比值
弧度每秒
rad/s
三、周期、频率和转速
1.定义及单位：
周期
周期性运动每重复_____所需要的时间，用符号T表示，国际单
位是s
频率
在一段时间内，运动重复的_____与这段时间之比，f=
，单
位Hz
转速
物体一段时间内转过的_____与这段时间之比，常用符号n表
示，单位r/min或r/s
一次
次数
圈数
2.匀速圆周运动中各物理量之间满足的关系：
(1)线速度和角速度关系：v=____。
(2)线速度和周期的关系：v=
。
(3)角速度和周期的关系：ω=
。
(4)考虑到转速，则有ω=2πn，v=______。
rω
2πnr
【易错辨析】
(1)匀速圆周运动是线速度不变的运动。
(
)
(2)匀速圆周运动是角速度不变的运动。
(
)
(3)线速度是位移与发生这段位移所用时间的比值。
(
)
(4)由v=rω可知，线速度v与r成正比。
(
)
(5)由ω=
可知，角速度ω与T成反比。
(
)
×
√
×
×
√
关键能力·合作学习
知识点一 圆周运动各物理量之间的关系
【问题探究】 如图所示，翘翘板的支点位于板的中点，A、B两小孩距离支点一远一近，则在翘动的某一时刻，A、B两小孩重心的线速度大小是否相等？线速度大小和角速度之间满足什么关系？
提示：线速度大小不相等。线速度为其角速度与半径的乘积。
【典例示范】【典例】甲、乙两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在相同时间内，甲、乙通过的路程之比是3∶2，运动方向改变的角度之比是4∶3，则关于甲、乙两快艇的说法中正确的是
( )
A.线速度的大小之比为2∶3
B.角速度大小之比为3∶4
C.圆周运动的半径之比为2∶1
D.周期之比为3∶4
【解题探究】
(1)如何确定半径扫过的角度？
提示：根据速度方向改变的角度等于半径扫过的角度
(2)线速度、角速度和半径之间满足什么规律？
提示：v=rω
【解析】选D。根据v=
可知，线速度大小之比等于两快艇在相同时间内通过
的路程之比，为3∶2，故A错误；运动方向改变量为其对应的圆心角，根据
ω=
可知，角速度之比等于相同时间内转过的角度之比，为4∶3，故B错
误；根据T=
可知，周期之比等于角速度的反比，为3∶4，故D正确；根据
v=rω可得r=
，则
故C错误。
【素养训练】1.下列关于甲、乙两个做匀速圆周运动的物体的有关说法，正确的是
( )
A.甲、乙两物体线速度相等，角速度一定也相等
B.甲、乙两物体角速度相等，线速度一定也相等
C.甲、乙两物体周期相等，角速度一定也相等
D.甲、乙两物体周期相等，线速度一定也相等
【解析】选C。线速度相等，根据v=rω知，角速度不一定相等，还与半径有关，故A错误；角速度相等，根据v=rω知，线速度不一定相等，还与半径有关，故B错误；若周期相等，根据T=
，知角速度相等，故C正确；周期相等，根据v=
，知线速度大小不一定相等，还与半径有关，故D错误。
2.甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是
( )
A.它们的半径之比为2∶9
B.它们的半径之比为1∶2
C.它们的周期之比为2∶3
D.它们的周期之比为3∶1
【解析】选A。根据v=rω得，半径r=
，因为角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，则半径之比为2∶9，故A正确，B错误；根据T=
知，角速度之比为3∶1，则周期之比为1∶3，故C、D错误。
【加固训练】
1.汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30
cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120
km/h”上，由此可估算出该车的车轮的转速为
( )
A.1
000
r/s
B.1
000
r/min
C.1
500
r/s
D.2
000
r/s
【解析】选B。由v=rω ω=2πn得n=
r/s≈17.7
r/s≈1
000
r/min，故选B。
2.(多选)假设“神舟号”飞船实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速度为v，半径为r。则计算其运行周期可用
( )
【解析】选A、C。根据题意可知，“神舟号”飞船做匀速圆周运动运行n圈的时间为t2-t1，根据周期的定义得：T=
，故A正确，B错误；根据周期与线速度的关系可得：T=
，故C正确，D错误。
知识点二 传动装置
1.同轴转动：
2.齿轮传动：
3.皮带传动：
【问题探究】
“旋转木马”是小朋友非常喜欢的娱乐项目，两位小朋友随着旋转木马一起绕轴转动，其中甲在外侧，乙在内侧，甲小朋友认为自己转一圈比乙转一圈走过的路程长，所以比乙转得快，乙小朋友认为自己转一圈时，甲也转一圈，所以自己与甲转得一样快，那么这两位小朋友谁转得更快一些呢？
提示：两位小朋友说的都有道理。甲、乙两人属于同轴转动，角速度相等，半径大的线速度大，所以甲的线速度大，甲和乙的角速度一样大。
【典例示范】
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
右边两轮是连在一起同轴转动
B、C具有相同的角速度
②
皮带不打滑
A、B具有相同的线速度
【解析】因为两轮由不打滑的皮带相连，所以相等时间内A、B两点转过的弧长相等，即vA=vB。由v=rω知
。又B和C是同轴转动，相等时间内转过的角度相等ωB=ωC，由v=rω知
，所以vA∶vB∶vC=1∶1∶3，ωA∶ωB∶ωC=1∶2∶2。
答案：1∶1∶3 1∶2∶2
【规律方法】
求解传动问题的方法
(1)绕同轴转动的点具有共同的角速度、转速、周期，各点线速度v=rω，即v∝r。
(2)皮带传动，边缘各点具有大小相等的线速度，而角速度ω=
，即ω∝
。
(3)齿轮传动与皮带传动具有共同的特点。
【素养训练】1.如图所示，在开关门过程中，门上A、B两点的角速度ω和线速度v的大小关系是
( )
A.ωA=ωB，vA>vB
B.ωA=ωB，vAC.ωA<ωB，vA=vB
D.ωA>ωB，vA=vB
【解析】选A。A、B两点都绕门轴做匀速圆周运动，A转动的半径大于B转动的半径。两点同轴转动，角速度相同。根据v=rω，角速度相同，A的半径大，则A的线速度大。故A正确，B、C、D错误。
2.如图所示是一个玩具陀螺。a、b和c是陀螺上的三个点。当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是
( )
A.a、b
和
c
三点的线速度大小相等
B.a、b
和
c
三点的角速度相等
C.a、b
的角速度比
c
的大
D.c
的线速度比
a、b
的大
【解析】选B。a、b、c三点共轴，角速度相同，由于三点半径不等，a、b两点半径比c点大，所以a、b两点的线速度比c点大，故A、C、D错误，B正确。
【加固训练】
机动车检测站进行车辆尾气检测原理如下：车的主动轮压在两个相同粗细的有固定转动轴的滚动圆筒上，可在原地沿前进方向加速，然后把检测传感器放入尾气出口，操作员把车加速到一定程度，持续一定时间，在与传感器相连的电脑上显示出一系列相关参数。现有如下检测过程简图：车轴A的半径为ra，车轮B的半径为rb，滚动圆筒C的半径为rc，车轮与滚动圆筒间不打滑，当车轮以恒定转速n(每秒钟n转)运行时，下列说法正确的是
( )
A.C的边缘线速度为2πnrc
B.A、B的角速度大小相等，均为2πn，且A、B沿顺时针方向转动，C沿逆时针
方向转动
C.A、B、C的角速度大小相等，均为2πn，且均沿顺时针方向转动
D.B、C的角速度之比为
【解析】选B。由v=2πnR可知，B的线速度为vb=2πnrb，B、C线速度相同，即C
的线速度为vc=vb=2πnrb，A错误；B、C线速度大小相等，B、C角速度比为半径
的反比，D错误；A、B为主动轮，且同轴，角速度大小相等，C为从动轮，A、B
顺时针转动，C逆时针转动，B正确，C错误。
【拓展例题】考查内容：
生活中圆周运动各物理量的关系
【典例】如图所示，某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如表所示，后轮的直径为d=666
mm
。当人骑该车，使脚踏板以恒定的角速度转动时，自行车行进的最大速度和最小速度之比为_______；?
当人骑该车行进的速度为v=4
m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的最小角速度是________rad/s。?
名称
链轮
飞轮
齿数N/个
48
38
28
12
15
18
21
24
28
【解析】脚踏板以恒定的角速度转动时，当链轮的齿数最多，飞轮的齿数最少，自行车的行进速度最大；当链轮的齿数最少，飞轮的齿数最多，自行车的行驶速度最小。链轮和飞轮的轮半径与齿数成正比，因为是依靠同一个链条传动，所以链轮与飞轮的轮缘线速度是一样的，所以ω链r链=ω飞r飞，即ω链N链=ω飞N飞。当N链=48，N飞=12时，自行车速度最大，此时ω飞大=4ω链，当N链=28，N飞=28时，自行车速度最小，此时ω飞小=ω链，而自行车的速度v=
ω飞，所以自行车的最大速度和最小速度之比为4∶1。当自行车行驶速度一定时，即后轮的角速度一定，飞轮的角速度一定，根据ω链N链=ω飞N飞，脚踏板和链轮有相同的
角速度，要使脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小，则N链最多，N飞最少，即
N链=48，N飞=12，ω飞=ω后=
，所以ω脚=ω链=
=3.0
rad/s
答案：4∶1 3.0
3.1
匀速圆周运动快慢的描述
圆周的描述
角速度
周期
频率
线速度
三种传动
同轴传动
皮带传动
齿轮传动
【生活情境】
当前由于人们对于健康的需求，更加注重于健身，由此诞生了很多骑行爱好者，在大街上随处可见骑行爱好者所组成的“车队”，为了避免在晚上骑行由于黑暗造成的不便，人们往往会在自行车车轮安装一小型发电机，小发电机的上端有一个摩擦小轮。在行驶过程中，当需要供电时，摩擦小轮压紧车轮，如图所示，此时摩擦小轮在自行车车轮摩擦力作用下转动，发电机发电(已知此时摩擦小轮与自行车车轮之间不打滑，发电机提供的电压与发电机的转速成正比)。
情境·模型·素养
问题：
(1)摩擦小轮的转速和车轮转速之间大小关系如何？并说明原因。
(2)大齿轮转速和车轮转速之间大小关系如何？并说明原因。
【解析】(1)摩擦小轮转速大于车轮转速。因为摩擦小轮和车轮“齿轮”连接，具有共同线速度，车轮半径大于摩擦小轮半径，根据v=rω可得，车轮角速度小于摩擦小轮角速度，即车轮转速低于摩擦小轮转速。
(2)大齿轮转速小于车轮转速。因为大齿轮和小齿轮链条连接(皮带传动)，具有共同线速度，大齿轮半径大于小齿轮半径，大齿轮角速度小于小齿轮角速度，小齿轮和车轮同轴转动，具有共同的角速度，所以大齿轮的角速度小于车轮的角速度，即大齿轮转速低于车轮转速。
答案：见解析
【生产情境】 (教材二次开发·物理聊吧)
在一些机器内部，有很多相互啮合的大小齿轮，如图所示。当机器转动时，大小齿轮开始正常工作。
探究：
(1)有人说它们的速度大小实际上是一样的，对此，你怎么看？
(2)有人说小齿轮比大齿轮转得快，这是为什么？
【解析】(1)相互啮合的大小齿轮它们的外边缘的线速度大小相同，所以有人说它们的速度大小实际上是一样的，有一定道理。
(2)由v=ωr知，大小齿轮的角速度不同，所以有人说小齿轮比大齿轮转得快，其实是小齿轮的角速度大，即在相同的时间内小齿轮转动的圈数多。
答案：见解析
课堂检测·素养达标
1如图所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°的一点，则下列说法正确的是
( )
A.a、b两点的运动周期都相同
B.它们的角速度是不同的
C.a、b两点的线速度大小相同
D.a、b两点线速度大小之比为2∶
【解析】选A、D。地球绕自转轴转动时，地球上各点的周期及角速度都是相同
的。地球表面物体做圆周运动的平面是物体所在纬度线平面，其圆心分布在整
条自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同的，b点半径rb=
，
由v=ωr，可得va∶vb=2∶
。故A、D正确，B、C错误。
2.(多选)如图所示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n1，转动过程中皮带不打滑。则下列说法正确的是
( )
A.从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动
C.从动轮的转速为
n1
D.从动轮的转速为
n1
【解析】选B、C。皮带连接两轮，主动轮做顺时针转动沿着交叉的皮带带动从
动轮，可知从动轮是逆时针转动，则A错误，B正确。两轮转速之比满足
=
(线速度相等)，则n2=
n1，选项C正确，D错误。
【加固训练】
如图所示为一种“滚轮—平盘无级变速器”的示意图，它由固定在主动轴上的平盘和可随从动轴转动的圆柱形滚轮组成。由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动，如果认为滚轮不会打滑，那么主动轴的转速n1、从动轴的转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是
( )
A.n2=n1
B.n1=n2
C.n2=n1
D.n2=n1
【解析】选A。由滚轮不会打滑可知，主动轴上的平盘与可随从动轴转动的圆柱形滚轮在接触点处的线速度相同，即v1=v2，由此可得x·2πn1=r·2πn2，所以n2=n1
。故A正确，B、C、D错误。
3.A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们
( )
A.线速度大小之比为4∶3
B.角速度大小之比为3∶4
C.圆周运动的半径之比为2∶1
D.周期之比为3∶2
【解析】选A。线速度v=
，A、B通过的路程之比为4∶3，时间相等，则线速度之比为4∶3，故A正确；角速度ω=
，运动方向改变的角度等于圆周运动转过的角度，A、B转过的角度之比为3∶2，时间相等，则角速度大小之比为3∶2，故B错误；根据v=r·ω得，圆周运动的半径r=
，线速度之比为4∶3，角速度之比为3∶2，则圆周运动的半径之比为8∶9，故C错误；根据T=
，角速度之比为3∶2，可得周期之比为2∶3，故D错误。
4.做匀速圆周运动的物体，10
s内沿半径为20
m的圆周运动100
m，试求物体做匀速圆周运动时。
(1)线速度的大小。
(2)角速度的大小。
(3)周期的大小。
【解析】(1)依据线速度的定义式v=
可得v=
m/s=10
m/s。
(2)依据v=ωr可得ω=
rad/s=0.5
rad/s。
(3)T=
s=4π
s。
答案：(1)10
m/s (2)0.5
rad/s (3)4π
s(共69张PPT)
第2节 科学探究：向心力
第1课时 向心力与向心加速度
必备知识·自主学习
一、向心力
【情境思考】
用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，在这个过程中，小球受力情况如何？若绳上的力突然消失，会出现什么现象？
提示：小球受到重力、支持力和绳子的拉力作用。若绳上的力突然消失，小球将沿切线飞出。
1.定义：做匀速圆周运动的物体受到了指向_____的合力，这个力叫作向心
力。
2.方向：始终指向_____，总是与速度方向_____，时刻变化。
3.大小：F=__
或F=_____。
4.作用效果：只改变_________，不改变_________，因此不做功。
圆心
圆心
垂直
m
mrω2
速度方向
速度大小
二、向心加速度
【情境思考】如图所示，随水平转台一起匀速转动的人或物体，受到的合外力方向向哪？其加速度方向向哪？加速度引起了速度哪些方面的变化？
提示：合外力方向指向转盘中心，加速度方向也指向中心。加速度时刻在改变速度的方向。
1.向心加速度：做圆周运动的物体，指向_____的加速度。
2.方向：总指向_____，时刻与速度方向_____，方向时刻_____。
3.大小：a=
=rω2。
4.意义：描述_________________的物理量。向心加速度_____，表示速度方向
改变得越快。
圆心
圆心
垂直
改变
速度方向改变快慢
越大
【易错辨析】
(1)做匀速圆周运动的物体所需要的向心力是恒力。
(
)
(2)向心力和重力、弹力、摩擦力一样，是性质力。
(
)
(3)向心力是效果力，做匀速圆周运动的向心力是合力。
(
)
(4)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。
(
)
(5)由于匀速圆周运动的速度大小不变，故向心加速度不变。
(
)
×
×
√
√
×
关键能力·合作学习
知识点一 向心力
1.性质：
向心力是效果力，不是具体某个性质的力，在受力分析时，不能多出一个向心力。
2.向心力的来源：
(1)来源分类：向心力可以是物体实际受到的某个力、某几个力的合力或某个力的分力。
(2)实例分析：
来源
实例
分析
某个力提供
绕地球做匀速圆周运动的月球
地球对月球的引力提供向心力
来源
实例
分析
某几个力的合力提供
随转盘一起做匀速圆周运动的物体
重力、弹力、摩擦力的合力提供向心力
某个力的分力提供
在水平面内做匀速圆周运动的小球
轻绳在水平方向的分力提供向心力
【问题探究】假设你坐在一辆车上，周围没有其他乘客，你也不靠在车厢上，如图所示。当车子转弯时，你的向心力是从哪里来的？
提示：来自人与车子之间的静摩擦力。
【典例示范】【典例】
如图所示，甲、乙两运动员在水平面上训练滑冰，恰巧同时到达虚线PQ，然后
分别沿半径r1和r2(r2>r1)的跑道匀速运动半个圆周后到达终点。设甲、乙质量
相等，他们做圆周运动时的向心力大小相等。则关于他们在圆周运动过程中的
受力情况和运动趋势，下列说法正确的是
( )
A.两人处于平衡状态
B.两人分别受到重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用
C.两人受到的静摩擦力方向沿半径指向各自圆心
D.两人相对地面的运动趋势与其运动方向相反
【解题探究】
(1)圆周运动是变速运动还是匀速运动？
提示：圆周运动是曲线运动，曲线运动都是变速运动。
(2)向心力是物体实际受到的力吗？
提示：向心力是效果力，不一定是物体实际受到的力。
(3)向心力由谁提供？
提示：向心力指向圆心，本题中指向圆心的力是静摩擦力，静摩擦力方向与相对运动趋势方向相反。
【解析】选C。两人做匀速圆周运动，合力指向圆心，不为零，故不处于平衡状态，A错误；对任一人受力分析，重力与支持力二力平衡，合力等于摩擦力，充当向心力，向心力是效果力，不能与性质力同时分析，B错误；摩擦力充当向心力，运动员受到的摩擦力方向指向圆心，C正确；运动员受到的摩擦力方向与其运动趋势方向相反，故是背离圆心，而运动员做圆周运动，运动方向沿切线方向，所以二者是垂直关系，D错误。
【规律方法】
确定圆周运动向心力来源的方法
(1)向心力为效果力，可以是一个力的分力，也可以是几个力的合力来提供。
(2)分析物体的受力情况。
(3)若为匀速圆周运动，则合外力一定指向圆心，若为非匀速圆周运动，则合外力沿半径方向的分力来提供向心力。
【素养训练】1.在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心。能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是
( )
【解析】选C。雪橇做匀速圆周运动，合力指向圆心，提供向心力；滑动摩擦力的方向和相对运动方向相反，故向后；拉力与摩擦力的合力指向圆心，故拉力指向雪橇的右前方。故C正确，A、B、D错误。
2.(多选)如图所示，物块m随转筒一起以角速度ω做匀速圆周运动，以下描述正确的是
( )
A.物块受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
B.物块所受的向心力由筒壁的支持力提供
C.若角速度ω增大而且物块仍然随转筒一起做匀
速圆周运动，物块所受摩擦力增大
D.若角速度ω增大而且物块仍然随转筒一起做
匀速圆周运动，物块所受摩擦力不变
【解析】选B、D。因为物块始终随转筒做匀速圆周运动，所以物块受重力、摩擦力、筒壁的支持力，故A错误，B正确，如图所示。
在竖直方向等效于处于静止状态，受力平衡，即f=G，始终不变，故D正确，C错误。
【加固训练】
如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
【解析】选B。老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。向心力是根据力的作用效果命名的，不是物体实际受到的力，在分析物体的受力时，不能将其作为物体受到的力。选项B正确。
知识点二 认识向心加速度
1.向心加速度：
(1)向心加速度的大小：
(2)变速圆周运动的向心加速度
匀速圆周运动中，向心加速度就是物体的合加速度，做变速圆周运动的物体，合加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量，指向圆心的即为向心加速度，沿切线方向的即为切线加速度，切向加速度用来改变速度的大小。
2.向心力与向心加速度的关系：
向心力与向心加速度满足牛顿第二定律，即
F=ma=m
=mrω2=m
=mωv。
【问题探究】 如图所示为A、B两质点做匀速圆周运动过程中，其向心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分支。向心加速度的大小到底是随着半径的增大而增大，还是随半径的增大而减小？
提示：线速度一定的情况下，向心加速度与半径成反比，角速度一定的情况下，向心加速度与半径成正比。
【典例示范】
(1)求他到达C点时的加速度。
(2)在C点时，轨道给他多大的支持力？
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
半径为2.0
m
圆周运动的轨道半径
②
在C点与水平光滑轨道相接
圆心在C点的正上方
③
滑到C点时的速度大小为10
m/s
圆周运动在C点时的线速度
【解析】(1)运动员到达C点时做圆周运动，加速度大小a=
=
m/s2=50
m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上。
(2)C点时，分析运动员的受力情况，竖直向上的支持力，竖直向下的重力，合力向上，提供向心力，即
FN-mg=ma得FN=mg+ma=50×(10+50)
N=3
000
N
答案：(1)50
m/s2，竖直向上 (2)3
000
N
【规律方法】
圆周运动动力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象：找到是哪个物体做圆周运动。
(2)确定轨道平面：找到所做圆周运动的轨道平面，并找到圆心和半径。
(3)进行受力分析：对物体所处的某个状态进行受力分析。
(4)判断向心力：根据受力判断哪些力来提供向心力。
(5)列方程求解：根据向心力公式列方程。
【素养训练】
1.(2020·全国Ⅰ卷)如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为
10
m，该同学和秋千踏板的总质量约为50
kg。绳的质量忽略不计。当该同
学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8
m/s，此时每根绳子平均承受的
拉力约为
( )
A.200
N B.400
N
C.600
N D.800
N
【解析】选B。该同学荡到秋千支架的正下方时，设每根绳子平均承受的拉力
为F，根据牛顿第二定律有：2F-mg=m
，解得F=
=405
N，故选项B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自己为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动，若男运动员的转速为30
r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.7
m/s。g取10
m/s2。求：
(1)女运动员触地冰鞋做圆周运动的半径及做圆周运动的向心加速度。
(2)若男运动员手臂与竖直夹角为60°，女运动员质量为50
kg，则男运动员手臂拉力是多大？
【解析】(1)女运动员做圆周运动的角速度即男运动员转动的角速度。
则ω=2πn=2π×
rad/s=π
rad/s
由v=ωr得：r=1.5
m
由a=ω2r得：a=14.8
m/s2
(2)根据向心力公式得：Fcos30°=mrω2
解得：F=854
N
答案：(1)1.5
m 14.8
m/s2 (2)854
N
【加固训练】
如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳中张力为零)。已知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，当绳中张力达到8kmg时，绳子将被拉断。则：
(1)转盘的角速度为ω
1=
时，绳中的张力T1。
(2)当转盘的角速度为ω
2=
时，绳中的张力T2。
(3)要将绳拉断，转盘的最小转速ω
min。
【解析】(1)设角速度为ω
0时绳刚好被拉直且绳中张力为零，则由题意有：kmg=m
r
解得：ω
0=
当转盘的角速度为ω
1=
时，因为ω
1<ω
0，物块所受静摩擦力足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心力，绳子张力为零，即：T1=0
(2)当转盘的角速度为ω
2=
时，因为ω
2>ω
0，物块所受最大静摩擦力不
足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心力，则绳子有张力。
则有：kmg+T2=m
r
解得：T2=
kmg
(3)要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最大值，则有：
kmg+8kmg=m
r
解得：ωmin=3
答案：(1)0
(2)
kmg
(3)3
【拓展例题】考查内容：圆周运动的临界问题
【典例】如图所示，在光滑水平面上有一光滑小孔O；一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m=1
kg的小球A，另一端连接质量为M=4
kg的物体B。(g取10
m/s2)。求：
(1)当小球A沿半径R=0.1
m的圆周做匀速圆周运动，其角速度为ω=10
rad/s，物体B对地面的压力为多大？
(2)当A球的角速度为多大时，B物体处于将要离开而尚未离开地面的临界状态？
【解析】(1)设轻绳上拉力为T，根据向心力公式有：
T=mω2R=10
N
对B根据平衡状态有：Mg=T+FN
解得：FN=30
N
由牛顿第三定律：FN′=FN=30
N
故物体B对地面的压力为30
N。
(2)B物体处于将要离开而尚未离开地面的临界状态时地面给它的支持力为零，所以有：T′=Mg
对A根据向心力公式有：T′=mω′2R
解得：ω′=20
rad/s
当A球的角速度为20
rad/s时，B物体处于将要离开而尚未离开地面的临界状态。
答案：(1)30
N (2)20
rad/s
3.2
向心力与向心加速度
定义
：做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的力。
方向：始终沿着半径指向圆心
表达式：
一般曲线运动
合外力
切向：改变大小
法向：改变方向
向心力
3.2
向心力与向心加速度
向心加速度
物理意义
描述线速度方向改变的快慢
方向特点
1.指向圆心。2.时刻改变
大小表达式
图像
Q:ω为定值
P:v为定值
【生活情境】
某游乐场中有一种叫“空中飞椅”的游乐设施，其基本装置是将绳子上端固定在转盘上，绳子下端连接座椅，人坐在飞椅上随转盘旋转而在空中飞旋，如图甲所示。若将人与座椅看成质点，则可简化为如图乙所示的物理模型。假设绳长为L，人与座椅的总质量为m
，转盘静止时人与转轴之间的距离为d。转盘慢慢加速运动，经过一段时间后转速保持稳定，此时人与转轴之间的距离变为D且保持不变。
情境·模型·素养
探究：
(1)转盘转动到稳定状态时，人的向心加速度为多大？
(2)若转盘稳定转动后，一位游客随身携带的手机突然滑下来。手机将做什么运动？
【解析】
(1)转盘转动到稳定状态时，如图所示。假设人距离转盘的竖直高度为h，
则h=
由几何三角形和矢量三角形相似可得：
所以a=
(2)手机将沿着圆周运动的切线飞出做平抛运动。
答案：见解析。
【生产情境】太空探索是当前各大国都在花重金打造的项目，但在星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，从而导致宇航员身体不适，为缓解这种不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示。当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以感受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。
探究：
(1)为达到上述目的，如果使转动角速度小一些，对旋转舱的半径有什么要求？
(2)旋转舱大小设计与宇航员的质量有无关系？为什么？
【解析】(1)宇航员在舱内受到的支持力与他站在地球表面时受到的支持力大小相等，mg=mrω2，即g=rω2，可见ω越小，r就应越大；
(2)从(1)结果可知宇航员随舱旋转角速度大小与宇航员质量无关。根据g=rω2可知，舱体大小与旋转角速度有关，与宇航员质量无关。
答案：(1)旋转舱的半径应增大。
(2)见解析。
课堂检测·素养达标
1.如图所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动。关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法中正确的是
( )
A.仅受重力和台面的支持力
B.受重力、台面的支持力、静摩擦力和向心力
C.受重力、台面的支持力、沿切线与速度方向相反的静摩擦力
D.受重力、台面的支持力、指向圆心的静摩擦力
【解析】选D。
硬币做匀速圆周运动，合力指向圆心，对硬币受力分析，受重力、支持力和静摩擦力，如图重力和支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指向圆心。故D正确，A、B、C错误。
【加固训练】
如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是
( )
【解析】选C。橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速率不断增加，故合力与速度的夹角小于90°，选项C正确。
2.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么
( )
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D.加速度大小不变，方向时刻指向圆心
【解析】选D。木块做匀速圆周运动，速度方向时刻在变化，速度在改变，加速度一定不为零。木块做匀速圆周运动，加速度方向始终指向圆心，大小不变，方向时刻改变，故D正确，A、B、C错误。
【总结提升】判断向心加速度的方法
(1)向心加速度的方向一定指向圆周运动的轨道平面的圆心。
(2)若为匀速圆周运动，则合加速度完全提供向心加速度，只改变速度方向，不改变速度的大小。
(3)若为非匀速圆周运动，则合加速度在径向的分加速度提供向心加速度，切向加速度改变速度的大小。
3.如图所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有
( )
A.线速度vAB.运动周期TA>TB
C.它们受到的摩擦力fA=fB
D.筒壁对它们的弹力NA【解析】选C。A、B共轴转动，角速度相等，由v=rω知，A转动的半径较大，则A的线速度较大，故A错误。根据T=
知，角速度相等，则A、B的周期相等，故B错误。A、B做圆周运动靠弹力提供向心力，由N=mrω2知，A的半径大，则NA>NB，竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，重力相等，则摩擦力相等，即fA=fB，故C正确，D错误。
4.一根长为L=1.0
m的细绳系一质量为M=0.5
kg的小球，在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示。小球转动的角速度为ω=2π
rad/s。试求：
(1)小球的向心加速度。
(2)小球的线速度。
(3)绳中的拉力。
【解析】(1)已知小球做匀速圆周运动的半径与角速度，
则向心加速度为：a=ω2L=(2π)2×1.0
m/s2=4π2
m/s2。
(2)小球的线速度v=ωL=2π×1.0
m/s=2π
m/s。
(3)小球做匀速圆周运动时，受到重力、支持力和绳子的拉力，绳子的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：F=Ma
解得：F=2π2
N
答案：(1)4π2
m/s2 (2)2π
m/s (3)2π2
N
【加固训练】
如图所示，在水平转动的圆盘上，两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动，旋转的角速度为ω，已知A、B木块所在的两点到圆盘中心O的距离为rA和rB，则两木块的向心力之比为
( )
A.rA∶rB B.
C.
D.
【解析】选A。木块A、B在绕O点旋转的过程中，是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力，因两木块旋转的角速度ω等大，质量一样，由向心力公式F=mrω2
得FA=mrAω2
①
FB=mrBω2
②
由①②两式得FA∶FB=rA∶rB，故答案应选A。(共57张PPT)
第2课时 探究影响向心力大小的因素
必备知识·自主学习
【实验目的】
(1)探究向心力与质量、轨道半径、角速度间的关系。
(2)学会用___________探究物理规律。
(3)领会从定性到定量的认识方法。
【实验器材】
向心力演示仪、_______________、天平等。
思考：向心力的影响因素与物体的质量m、轨道半径r和角速度ω都有关系，
那怎么研究它们之间的定量关系？
提示：实验应采用控制变量的思想研究问题。
控制变量法
质量不等的小球
【实验原理与设计】
1.实验的基本思想——
控制变量法。
(1)变量的控制要求。
在物理实验中，要注意控制实验过程中的不同变量。
(2)设计思路。
①若要讨论向心力与质量的关系，应控制_____、_______不变。
②若要讨论向心力与半径的关系，应控制_____、_______不变。
③若要讨论向心力与角速度的关系，应控制_____、_____不变。
半径
角速度
质量
角速度
质量
半径
(3)实验思想的拓展。
这种控制一些物理量不变，先分别研究待测量与其中一个物理量的关系，再综合解决问题的控制变量法，被广泛应用于科学研究中。
2.实验原理：
(1)保持小球轨道半径r、角速度ω不变。
通过填放不同小球的方式改变小球的质量m，得到相应的向心力F，则可得F与m的关系。
(2)保持小球质量m、角速度ω不变。
通过改变小球运行轨迹半径r，得到相应的向心力F，则可得F与r的关系。
(3)保持小球质量m、轨道半径r不变。
通过改变不同传动轮的方式改变小球的角速度，得到相应的向心力F，则可得F与ω的关系
3.实验设计——四个物理量的测量方法
(1)质量的测量：用_____直接测量。
(2)向心力的测量：由塔轮中心标尺露出的等分格的格数读出。
(3)轨道半径的测量：刻度尺测量小球所放位置到转轴的距离。
(4)角速度的测量：通过转速确定角速度。
天平
实验过程·探究学习
实验步骤
1.测量质量：分别用天平测量各小球的质量，并做标记。
2.调节两轮角速度：用皮带连接两半径相同的塔轮，以确保运动过程中角速度不变。
3.释放小球：将两质量不相等的小球分别放于长槽和短槽上，调整小球的位置，使两球的转动半径相同。
4.收集数据：转动手柄，观测向心力的大小和质量的关系。
5.改变转动半径：换成两质量相同的小球，分别放于长槽和短槽上，增大长槽上小球的转动半径。转动手柄，观察向心力的大小和半径的关系。
6.改变小球的角速度：将质量相同的两小球分别置于长槽和短槽上，确保两小球转动半径相同，改变皮带连接的两个塔轮，根据两个塔轮半径关系求解小球做圆周运动的角速度关系。
【思考·讨论】
(1)本实验中怎样保证小球做匀速圆周运动？
提示：摇动手柄时应力求缓慢加速，注意观察其中一个测力计的格数，达到预定格数时，即保持手柄均匀转动，以此确保小球做匀速圆周运动。
(2)使用向心力演示仪时应注意哪些安全问题？
提示：①实验之前，将横臂紧固螺钉旋紧，以防小球和其他部件飞出而造成事故。
②实验中快速转动手柄时，注意扶住实验装置，以免其倾覆。
数据收集与分析
1.列F、m数据收集表：
把不同质量的小球放在长槽和短槽内，确保小球的转动半径和角速度相同，把小球的向心力和质量填在表中。
实验序号
1
2
3
4
5
质量
向心力
2.作F-m图像的方法：
以F为纵坐标、m为横坐标，根据数据作F-m图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与m的关系。
3.列F、r数据收集表格：
把相同质量的小球分别放长槽和短槽内，在相同角速度下，将不同转动半径下的向心力填在表中。
实验序号
1
2
3
4
5
半径
向心力
4.作F-r图像的方法：
以F为纵坐标、r为横坐标，根据数据作F-r图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与r的关系。
5.列F、ω数据收集表格：
把相同质量的小球分别放长槽和短槽内，使两小球的转动半径相等，将不同角速度下的向心力填在表中。
实验序号
1
2
3
4
5
角速度ω
角速度的平方ω2
向心力
6.作F-ω2图像的方法：
以F为纵坐标、ω2为横坐标，根据数据作F-ω2图像，用曲线拟合测量点，找出规律，分析F与ω2的关系
7.实验结论：
(1)在转动半径和角速度相同时，向心力与质量成正比。
(2)在质量和角速度相同时，向心力与转动半径成正比。
(3)在转动半径和质量相同时，向心力与角速度的平方成正比。
【思考·讨论】(1)本实验中为什么探究向心力与物体的质量m、半径r和角速度ω的关系，而不是探究向心力与物体的质量m、半径r和线速度v的关系？
提示：角速度相对于线速度测量更方便。
(2)为什么研究向心力F与角速度ω关系时，画的不是F-ω图像，而是F-ω2的图像？
提示：F-ω图像不是线性关系，而F-ω2的图像却转化为线性关系，更直观地反映出在其他物理量不变的情况下，F与ω2成正比。
误差分析
1.测量、操作带来的偶然误差：
①质量测量误差。
②半径读数误差。
③向心力读数误差。
2.仪器本身带来的系统误差：
①天平调零误差。
②向心力演示仪的手柄转动误差(不能保证匀速转动)。
【思考·讨论】
根据误差分析，请从实验仪器的角度提出减小误差的方法。
提示：换用DIS向心力实验器来操作，直接用力传感器测量向心力的大小，用光电门测量挡光时间，进而直接求出角速度的大小，借助DIS数据采集器以及计算机等工具直接分析F与m、r和ω的定量关系。
【生活情境】
类型一 教材原型实验
【典例1】如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关
系的实验装置图，转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速
转动，皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别
以不同的角速度做匀速圆周运动，小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对
小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套
筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球
所受向心力的比值。那么：
实验研析·创新学习
(1)现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速
度的关系，下列说法中正确的是_______。?
A.在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验
B.在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验
C.在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验
D.在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验
(2)在该实验中应用了_____________(选填“理想实验法”“控制变量法”或
“等效替代法”)来探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关
系。?
(3)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为_______。?
【解析】(1)选A。根据F=mrω2，知要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变，所以A正确，B、C、D错误。
(2)由前面分析可以知道该实验采用的是控制变量法。
(3)线速度相等，则角速度与半径成反比，故可以知道左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为1∶2。
答案：(1)A (2)控制变量法 (3)1∶2
类型二 创新型实验
【典例2】某兴趣小组用如图甲所示的装置与传感器结合，探究向心力大小的影响因素。实验时用手拨动旋臂使其做圆周运动，力传感器和光电门固定在实验器上，测量角速度和向心力。
(1)电脑通过光电门测量挡光杆通过光电门的时间，并由挡光杆的宽度d、挡光杆通过光电门的时间Δt、挡光杆做圆周运动的半径r，自动计算出砝码做圆周运动的角速度，则其计算角速度的表达式为__________。?
(2)图乙中取①②两条曲线为相同半径、不同质量下向心力与角速度的关系图线，由图可知：曲线①对应的砝码质量_______(选填“大于”或“小于”)曲线②对应的砝码质量。?
【解析】(1)挡光杆转动的线速度v=
由ω=
计算得出ω=
。
(2)题图中抛物线说明：向心力F和ω2成正比；若保持角速度和半径都不变，则质点做圆周运动的向心加速度不变，由牛顿第二定律F=ma可以知道，质量大的物体需要的向心力大，所以曲线①对应的砝码质量小于曲线②对应的砝码质量。
答案：(1)ω=
(2)小于
【创新评价】
创新角度
创新方案
向心力的测量方法创新
利用力传感器直接测量
角速度的测量方法创新
利用光学传感器测量砝码线速度，根据角速度与线速度关系直接得出
数据处理方法创新
将坐标纸作图，改进为通过数据采集器输入计算机，显示屏直接显示
【创新探究】
(1)本例的实验原理与教材实验的原理是否相同？若是，它们分别怎样测量角速度？
提示：相同。教材中通过皮带传动线速度相等，得到角速度与半径的关系。本实验中通过光电门所记录的时间Δt以及挡光杆的宽度d，挡光杆做圆周运动的半径r，通过电脑自动计算出砝码做圆周运动的角速度。
(2)本实验与教材实验相比，本实验的优点是什么？
提示：不需要人工计算，节省时间，效率比较高；所有数据都可以电脑拟合，提高了实验的精确度。
课堂检测·素养达标
1.如图所示，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①放在A盘的边缘，钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1。a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮。a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②所需向心力之比为
( )
A.2∶1 B.4∶1 C.1∶4 D.8∶1
【解析】选D。皮带传动，边缘上的点线速度大小相同，所以va=vb，a、b轮的
半径比为1∶2，根据v=rω可知，
，共轴的点角速度相同，两个钢球
的角速度与两个共轴的轮子的角速度相同，则
，根据a=rω2
可得
，两钢球质量相等，由F=ma可知，两钢球所需向心力之比为
8∶1，则A、B、C错误，D正确。
2.如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP=2mQ，当整个装置以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时
( )
A.两球所需向心力大小相等
B.P球所需向心力大于Q球所需向心力
C.两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用
D.当ω增大时，Q球将沿杆向外运动
【解析】选A。两球均受到重力、支持力和轻绳的拉力作用，向心力是三个力的合力；两球的重力均与支持力平衡，由绳的拉力提供向心力，则P球所需向心力等于Q球所需向心力，所以A选项是正确的，B、C错误；根据向心力大小相等得到，
因为角速度相同，此方程与角速度无关，所以当ω增大时，两球半径不变，P球不会向杆外运动，Q球也不会沿杆向外运动，故D错误。
【加固训练】
向心力演示器如图所示。转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽
5随之匀速转动，槽内的小球就做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由
横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆使弹簧
测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可
以显示出两个球所受向心力的大小。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，
可改变两个塔轮的转速比，以验证物体做圆周运动的向心力大小跟物体的质
量、物体转动的角速度和物体转动半径的关系。已知塔轮2和塔轮3的最上层
半径相等，塔轮2第二层和塔轮3第二层半径之比为2∶1，塔轮2第三层和塔轮3第三层半径之比为3∶1。小球A质量为m，小球B质量为m，小球C质量为2m，与A球和B球半径相等。小球在长旋臂4上滑槽P、Q处时，它们距转轴中心的半径之比为1∶2。小球在长旋臂4上滑槽P处和小球在短旋臂5上滑槽M处时，它们距各自转轴中心的半径之比为1∶1。采用“控制变量法”，来验证向心力大小与各因素的关系。完成下列各小题。
(1)当P处放A球，Q处不放球，M处放B球，将皮带套在两个塔轮的中间层，要验证小球所需要的向心力和_______(选填“角速度”或“线速度”)的关系。转速稳定时，若左侧标尺显示一个格，则右侧标尺应显示_______个格。?
(2)若要验证向心力与半径的关系，当P处不放球，Q处放A球，M处放B球，则皮带应套在两个塔轮的_______(选填“中间”“最上”或“最下”)层。?
(3)若要验证向心力与线速度大小的关系，当P处放A球，Q处不放球，M处放B球，则皮带应套在两个塔轮的_______(选填“中间”或“最上”)
层。?
【解析】(1)当P处放A球，Q处不放球，M处放B球时，半径相同，质量相同，此
时验证的是向心力和角速度之间的关系；
将皮带套在两个塔轮的中间层时，
，而v2=v3，所以
；因为此时
F∝ω2，故
，所以右侧标尺应显示4个格。
(2)若要验证向心力与半径的关系，当P处不放球，Q处放A球，M处放B球时，应
使两塔轮角速度相同，则皮带应套在两个塔轮的最上层。
(3)若要验证向心力与线速度大小的关系，当P处放A球，Q处不放球，M处放B球
时，则皮带应套在两个塔轮的中间层。
答案：(1)角速度 4 (2)最上 (3)中间
3.用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。两个变速塔轮通过皮带连接，转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动，槽内的钢球就做匀速圆周运动。横臂的挡板对钢球的压力提供向心力，钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降，从而露出标尺，标尺上的红白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。
(1)在该实验中应用了_______(选填“演绎法”“控制变量法”或“等效替代法”)来探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。?
(2)如图是探究过程中某次实验时装置的状态，若皮带连接的两轮半径之比R1∶R2=3∶1，则这两轮边缘的线速度大小之比为v1∶v2=_______，两塔轮的角速度之比为ω1∶ω2=_______，标尺1和标尺2显示的向心力之比应为F1∶F2=__________(已知两钢球质量相等，运动半径相等)。?
【解析】(1)根据F=mrω2，知要研究小球所需向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变。由前面分析可知该实验采用的是控制变量法。
(2)和皮带接触的各点线速度大小相等，故有：v1∶v2=1∶1
根据v=ωr可知角速度与半径成反比，故有：
根据F=mω2r可知：F1∶F2=1∶9
答案：(1)控制变量法 (2)1∶1 1∶3 1∶9
4.如图所示为研学小组的同学们用圆锥摆验证向心力表达式的实验情景。将一轻细线上端固定在铁架台上，下端悬挂一个质量为m的小球，将画有几个同心圆周的白纸置于悬点下方的水平平台上，调节细线的长度使小球自然下垂静止时恰好位于圆心处。用手带动小球运动使它在放手后恰能在纸面上方沿某个画好的圆周做匀速圆周运动。调节平台的高度，使纸面贴近小球但不接触。
(1)若忽略小球运动中受到的阻力，在具体的计算中可将小球视为质点，重力加速度为g。
①从受力情况看，小球做匀速圆周运动所需向心力是_______(选填选项前的字母)。?
A.小球所受细线的拉力
B.小球所受的重力
C.小球所受拉力和重力的合力
②在某次实验中，小球沿半径为r的圆做匀速圆周运动，用秒表记录了小球运动n圈的总时间t，则小球做此圆周运动的向心力大小Fn=_______(用m、n、t、r及相关的常量表示)。用刻度尺测得细线上端悬挂点到画有圆周纸面的竖直高度为h，那么对小球进行受力分析可知，小球做此圆周运动所受的合力大小F=_______(用m、h、r及相关的常量表示)。?
③保持n的取值不变，改变h和r进行多次实验，可获取不同时间t。研学小组的同学们想用图像来处理多组实验数据，进而验证小球在做匀速圆周运动过程中，小球所受的合力F与所需向心力Fn大小相等。为了直观，应合理选择坐标轴的相关变量，使待验证关系是线性关系。为此不同的组员尝试选择了不同变量并预测猜想了如图所示的图像，若小球所受的合力F与所需向心力Fn大小相等，则这些图像中合理的是_______(选填选项的字母)。?
(2)考虑到实验的环境、测量条件等实际因素，对于这个实验的操作，下列说法中正确的是_______(选填选项前的字母)。?
A.相同体积的小球，选择密度大一些的球可以减小空气阻力对实验的影响
B.相同质量的小球，选择体积小一些的球有利于确定其圆周运动的半径
C.测量多个周期的总时间再求周期的平均值，有利于减小周期测量的偶然误差
D.在这个实验中必须测量出小球的质量
【解析】(1)①选C。小球在运动过程中受到重力和细线的拉力，重力和细线的
拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，故C正确，A、B错误。
②小球做圆周运动的周期为T=
，根据向心力公式可知：
Fn=
令细线和竖直方向的夹角为θ，根据三角形定则可知，
小球的合力大小为：F=mgtanθ=mg
，
③选B。因为小球所受的合力F与所需向心力Fn大小相等，则有：
m
r=mg
，则有：t2=
h，所以t2和h成正比，故B正确，A、C、D错
误。
(2)选A、B、C。根据实验的原理可知，为减小小球受到的空气阻力，方便确定小球做圆周运动的半径，从而减小实验误差，实验中应该选择质量大，体积小的小球做实验，故A、B正确；测量周期时，应测出多次圆周运动的总时间，在测量周期，这样可以减小实验的测量误差，故C正确；实验过程中只要保证质量不变，验证向心力的表达式与周期、半径等的关系即可，不需要测量出小球的质量，故D错误。
答案：(1)①C ②m
r mg
③B (2)A、B、C
5.如图甲所示的实验装置可以用来探究圆周运动的向心力。不可伸长的细线一端系一金属小球，另一端系在力传感器上，小球在竖直平面内往复摆动，光电门放置在小球经过的最低点位置。已知小球的质量为m，细线的长度为L，重力加速度为g。
(1)用游标卡尺测得小球直径如图乙所示，则小球直径d=_______cm。?
(2)当小球运动到最低点时，恰好通过光电门，与光电门相连的数字毫秒计显示的挡光时间为Δt，则小球经过最低点时的速度大小v=_______。(用题中所给字母表示)?
(3)若小球经过最低点时，力传感器的示数为F，则当F=_______(用m、L、d、Δt、g表示)时，就表明圆周运动的向心力公式成立。?
【解析】(1)游标卡尺的读数为：
24
mm+0.1×5
mm=24.5
mm=2.45
cm。
(2)小球通过最低点的速度为：v=
。
(3)若小球经过最低点时，力传感器的示数为F，
则有：F-mg=
解得：F=mg+
。
答案：(1)2.45 (2)
(3)mg+(共77张PPT)
第3节 离
心
现
象
必备知识·自主学习
一、向心力的来源
【情境思考】
汽车在水平面内能顺利转弯，哪个力提供了它做圆周运动的向心力？
提示：静摩擦力提供了圆周运动的向心力。
1.汽车在水平的路面上转弯过程中，所需要的向心力由_________提供。
2.汽车、火车在外围高、内围低的路面转弯过程中，向心力几乎完全由_____
和_______的合力提供。
3.汽车在凸形桥的顶端和凹形桥的底端时，向心力由_____和_______的合力提
供。
静摩擦力
重力
支持力
重力
支持力
二、设计规定速度
【情境思考】
电影《战狼2》中的坦克漂移动作让国人大开眼界。如图所示，在坦克漂移水平转弯的过程中，如何控制速度是安全的？
提示：由静摩擦力来提供向心力f=m
可以看出，静摩擦力f取最大值时，速度达到临界值v0，即v0=
。只要速度v≤v0，坦克便可安全漂移。
1.火车转弯：若火车转弯时，火车轮缘不受轨道压力，则mgtanα=______，
故v0=
，其中R为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，
v0为弯道规定的速度。
2.汽车过凸(凹)形桥：
(1)汽车在最高点满足关系：_____=m
，即FN=_____
。
(2)汽车在最低点满足关系：_____=m
，即__________。
m
mg-FN
mg-m
FN-mg
FN=m
+mg
3.离心运动：
(1)离心运动的原因：合力_________________________________，而不是物体
又受到了“离心力”。
突然消失或不足以提供所需的向心力
(2)合力与向心力的关系对圆周运动的影响。
若F合=mω2r，物体做匀速圆周运动。
若F合若F合=0，物体沿切线方向飞出。
若F合>mω2r，物体做近心运动。
【易错辨析】
(1)汽车、火车转弯时所需要的向心力都是由重力提供的。(
)
(2)汽车在凸形桥上行驶时，速度较小时，对桥面的压力大于重力，速度较大
时，对桥面的压力小于重力。
(
)
(3)汽车过凹形桥时，对桥面的压力一定大于重力。
(
)
(4)当向心力突然消失时，物体将沿切线方向远离圆心。
(
)
(5)做离心运动的物体一定不受外力作用。
(
)
×
×
√
√
×
关键能力·合作学习
知识点一 车辆转弯时向心力的分析
(1)汽车在水平路面上转弯时做圆周运动，由静摩擦力提供向心力，根据
μmg=m
可得转弯过程中的速度不能超过
。
(2)火车转弯过程中，轨道外侧高于内侧，由重力和支持力的合力提供向心力，
即mgtanα=m
，火车重心高度不变，轨道所在平面是水平面，为避免转弯过
程中，车辆对轨道造成挤压从而损坏铁轨，因此对车辆速度有规定，即
v0=
(r为弯道半径，α为轨道所在平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规
定速度)。
①当v=v0时，转弯时所需向心力等于支持力和重力的合力，这时内、外轨均无侧压力，这就是设计的限速状态。
②当v>v0时，转弯时所需向心力大于支持力和重力的合力，这时外轨对车轮有侧压力，以弥补向心力不足的部分。
③当v【问题探究】 在道路转弯处，我们经常会见到如图所示的图标。“30”代表什么含义？它由哪些因素影响？(假设此路段为水平路段)
提示：“30”代表车辆经过此转弯路段时，速度不得超过30千米每小时。若此路段为水平路段，“30”将由路面与车辆间的动摩擦因数μ和半径r决定。
【典例示范】
【典例】
在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨，当火车以规定的行驶速度拐弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的行驶速度大小为v，重力加速度为g，轨道所在平面与水平面的夹角为α，以下说法中正确的是
( )
A.该弯道的半径R=
B.当火车质量改变时，规定的行驶速度也相应改变
C.当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
D.火车在转弯过程是火车受到的重力、轨道的支持力的合力提供转弯的向心力
【解题探究】
(1)火车转弯过程中，当对轨道无挤压时所需要的向心力由哪些力提供？
提示：重力和支持力的合力。
(2)当火车的实际速度不为v时，会对哪个轨道产生挤压？
提示：当实际速度小于v时，会对内轨造成挤压，当实际速度大于v时，会对外轨造成挤压。
【解析】选D。火车转弯时，内、外轨道均不受侧向压力，重力与轨道支持力的合力提供向心力，故D正确；根据mgtanα=m
，得R=
，故A错误；根据mgtanα=m
解得v=
，由此可知，规定速度与火车质量无关，故B错误；当火车实际速率v′小于v时，即mgtanα>m
，此时内轨将受到侧向压力，故C错误。
【规律方法】
解决车辆转弯问题的方法
(1)找到车辆转弯所在的圆周运动的轨道平面。
(2)对物体进行受力分析。
(3)车辆转弯一般为匀速圆周运动，合外力指向圆心。
【素养训练】1.(母题追问)在【典例】中，如果铁路弯道是水平的，如图所示。
(1)火车转弯时哪个力来提供向心力？
(2)这样设计的危害是什么？
【解析】(1)对火车进行受力分析，如图所示。向心力由外侧轨道对车轮轮缘的挤压力提供。
(2)危害：由FN=m
可得，当火车质量大，速度也大时，车轮轮缘对外侧轨压力大，对轨道容易造成损坏。
答案：见解析
2.场地自行车的赛道由两段直道和两段半圆形弯道组成，如图所示。已知弯道与水平面的夹角为37°，某次比赛中运动员所处位置的运动半径为30
m，运动员质量为60
kg，如果向心力仅由重力和弯道支持力的合力提供，重力加速度g取10
m/s2(sin37°=0.6，cos37°=0.8)，求：
(1)运动员所受的向心力的大小。
(2)运动员速度的大小。
【解析】(1)运动员受力如图，
运动员所需向心力大小F=mgtanθ=450
N
(2)根据牛顿第二定律F=m
可得运动员速度的大小v=15
m/s。
答案：(1)450
N (2)15
m/s
知识点二 竖直面内的圆周运动
1.车辆过凹凸桥模型：
2.竖直面内的细绳模型：
如图所示，细绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，则mg=
，则v=
。在最高点时：
(1)v=
时，拉力或压力为零。
(2)v>
时，物体受向下的拉力或压力。
(3)v<
时，物体不能达到最高点。
即绳类的临界速度为v临=
。
3.竖直面内的轻杆模型：
如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：
(1)v=0时，小球受向上的支持力N=mg。
(2)0时，小球受向上的支持力0(3)v=
时，小球除重力之外不受其他力。
(4)v>
时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大。
即杆类的临界速度为v临=0。
【问题探究】 杂技演员表演“水流星”的节目可看作竖直面内的圆周运动，
如图所示。
(1)盛水的杯子经过最高点杯口向下时水也不洒出来，杯子经过最高点的速度
必须要满足什么条件？
(2)请分析是什么“力”使水不下落？
提示：(1)速度不小于
。
(2)水的重力和杯底给水的弹力提供向心力，使水不洒出来。
【典例示范】
【审题关键】
序号
解题依据
信息提取
①
质量m=2
t
研究对象的重力
②
半径R=90
m
圆周运动的半径
③
凸形桥面
竖直面内的圆周运动
【解析】(1)轿车通过凸形桥面最高点时，受力分析如图所示：
合力F=mg-FN，由向心力公式得
mg-FN=m
，故桥面的支持力大小FN=mg-m
=(2
000×10-2
000×
)
N≈1.78×104
N。
根据牛顿第三定律，轿车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78×104
N。
(2)对桥面的压力等于轿车重力的一半时，向心力F′=mg-F′N=0.5mg，而
F′=
，所以此时轿车的速度大小v′=
m/s≈21.2
m/s。
答案：(1)1.78×104
N (2)21.2
m/s
【规律方法】汽车过拱桥模型的解题方法
(1)分清拱桥类型：凸形桥还是凹形桥。
(2)进行受力分析：在最高或最低点受力分析，最高点处于失重状态，最低点处于超重状态。
(3)列方程求解：根据向心力公式列方程。
【素养训练】
1.(母题追问)在【典例】中，若将凸形桥改成平面桥，如图所示。
(1)此时平面桥受到的压力为多大？
(2)请根据与【典例】中的计算结果的对比，说明凸形桥的好处。
【解析】(1)对轿车进行受力分析，如图所示。
由竖直方向受力平衡可得：N-G=0
即：对桥的压力等于车重
由牛顿第三定律可得：对桥的压力N′=2×104
N
(2)与【典例】中的数据对比可以看出，不论轿车速度多大，平面桥受到的压
力始终与重力相等；而对于凸形桥，相等质量的轿车在最高点的速度越大，对
凸形桥的压力越小，也不容易坍塌。当然，通过凸形桥的速度不能超过其临界
速度v=
，否则会发生平抛运动。
答案：(1)2×104
N (2)见解析
2.如图所示，过山车的轨道可视为竖直平面内半径为R的圆轨道。质量为m的游客随过山车一起运动，当游客以速度v经过圆轨道的最高点时
( )
A.处于超重状态
B.向心加速度方向竖直向下
C.速度v的大小一定为
D.座位对游客的作用力为m
【解析】选B。当过山车过最高点时，由mg+FN=m
=ma可得，最高点的加速度竖直向下，故A错误，B正确；此时速度的大小v≥
，故C错误；游客受到座位的作用力FN=m
-mg，故D错误。
【加固训练】
长L=0.5
m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m=2
kg。现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图所示。在A通过最高点时，求下列两种情况下对杆的作用力(g取10
m/s2)：
(1)A的速率为1
m/s。
(2)A的速率为4
m/s。
【解析】设杆转到最高点，轻杆对零件的作用力恰好为零时，零件的速度为v0，由mg=
得v0=
=
m/s。
(1)当v1=1
m/smg-F1=m
解得轻杆对零件的支持力F1=16
N
再由牛顿第三定律得，零件A对轻杆的压力F1′=F1=16
N。
(2)当v2=4
m/s>v0时，轻杆对零件A有向下的拉力，
同理有mg+F2=m
解得轻杆对零件的拉力F2=44
N
由牛顿第三定律，所以零件A对轻杆的拉力F2′=F2=44
N。
答案：(1)16
N，方向向下 (2)44
N，方向向上
知识点三 离心现象
1.离心运动的实质：离心运动的本质是物体惯性的表现，做圆周运动的物体总有沿着圆周切线飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到指向圆心的力。
2.离心运动的条件：做圆周运动的物体，提供向心力的外力突然消失或者外力不能提供足够大的向心力。
3.离心运动的受力特点：
如图所示：
(1)若F合=mrω2或F合=
，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需
要”。
(2)若F合>mrω2或F合>
，物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，
也就是“提供”大于“需要”。
(3)若F合，则外力不足以将物体拉回到原轨道上，物体做离
心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。
(4)若F合=0，则物体沿切线方向做直线运动。
【问题探究】 如图所示，链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出。链球飞出是因为受到了离心力吗？
提示：不是。是因为向心力不足或消失。
【典例示范】【典例】如图所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况是
( )
A.两物体均沿切线方向滑动
B.两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C.两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D.物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
【解析】选D。A、B受力情况如图所示。
A、B两物体刚好还未发生滑动时，物体A需要的向心力
FA=fmax+T=mrAω2，物体B需要的向心力
FB=fmax-T=mrBω2，
因此FA>FB，烧断细线后，细线上拉力T消失，
对A有fmax对B有fmax>mrBω2，物体B随圆盘一起转动。
故D正确，A、B、C错误。
【误区警示】分析离心运动的三个误区
(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
(3)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
【素养训练】
1.(2020·浙江7月选考)如图所示，底部均有4个轮子的行李箱a竖立、b平卧放置在公交车上，箱子四周有一定空间。当公交车( )
A.缓慢起动时，两只行李箱一定相对车子向后运动
B.急刹车时，行李箱a一定相对车子向前运动
C.缓慢转弯时，两只行李箱一定相对车子向外侧运动
D.急转弯时，行李箱b一定相对车子向内侧运动
【解析】选B。缓慢起动时，两只箱子都应该处于受力平衡状态，箱子的运动
状态不会改变，即两只行李箱会与车子保持相对静止，选项A错误；急刹车
时，箱子由于惯性保持原有运动状态，因此行李箱a会相对车子向前运动，选
项B正确；根据F向=m
可知，缓慢转弯时，所需要的向心力会很小，因此静摩
擦力足够提供两只行李箱转弯的向心力，所以两只行李箱会与车子保持相对静
止，选项C错误；根据F向=m
可知，急转弯时，行李箱b需要的向心力较大，
如果行李箱b所受最大静摩擦力不足以提供向心力，则会发生离心运动，即可
能会相对车子向外侧运动，选项D错误。
2.如图所示，某游乐场里的赛车场地为圆形，半径为100
m，一赛车与车手的
总质量为100
kg，轮胎与地面间的最大静摩擦力为600
N。(g取10
m/s2)
(1)若赛车的速度达到72
km/h，这辆车在运动过程中会不会发生侧滑？
(2)若将场地建成外高内低的圆形，且倾角为30°，赛车的速度为多大时，车
手感觉不到自己有相对车的侧向的运动趋势？
【解析】(1)赛车在场地上做圆周运动的向心力由静摩擦力提供。赛车做圆周运动所需的向心力为F=m
=400
N<600
N，所以赛车在运动过程中不会发生侧滑。
(2)由题意得车手不受座椅侧向的摩擦力，车手只受支持力和重力，由牛顿第二定律知mgtanθ=m
，解得v′=
≈24
m/s。
答案：(1)不会发生侧滑 (2)24
m/s
【加固训练】
物体m用细绳通过光滑的水平板上的小孔与装有细沙的漏斗M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，如果缓慢减小M的质量，则物体的轨道半径r、角速度ω变化情况是
( )
A.r不变，ω变小
B.r增大，ω减小
C.r减小，ω增大
D.r减小，ω不变
【解析】选B。细绳拉力提供物体m做圆周运动需要的向心力，当缓慢减小M的质量时，对m的拉力减小，拉力不足以提供向心力，物体m做离心运动，运动半径r增大，由牛顿第二定律得Mg=T=mω2r，因为细绳拉力T减小，半径r增大，因此ω减小，选项B正确。
【拓展例题】考查内容：离心运动的应用
【典例】如图装置叫作离心节速器，它的工作原理和下述力学模型类似：在一根竖直硬质细杆的顶端O用铰链连接两根轻杆，轻杆的下端分别固定两个金属小球。当发动机带动竖直硬质细杆转动时，两个金属球可在水平面上做匀速圆周运动，如图所示。设与金属球连接的两轻杆的长度均为l，两金属球的质量均为m，各杆的质量均可忽略不计。当发动机加速运转时，轻杆与竖直杆的夹角从30°增加到60°，忽略各处的摩擦和阻力。求：
(1)当轻杆与竖直杆的夹角为30°时金属球做圆周运动的线速度的大小v1。
(2)轻杆与竖直杆的夹角从30°增加到60°的过程中机器对两小球所做的总功。
【解析】(1)由mgtanθ=m
，r=lsinθ
得v1=
(2)设小球在偏角为60°时做匀速圆周运动的速度大小为v2，夹角从30°增加到
60°的过程中金属球上升的高度为h，则mgtan60°=
，上升的距离
h=l(cos30°-cos60°)
根据动能定理得W-2mgh=2(
)
由以上方程解得W=
答案：(1)
(2)
3.3离心现象
结构特点：外轨高，内轨低
向心力来源：支持力与重力的合力
临界速度：
凸形桥：向心力向下
重力大于支持力，失重。
凹形桥：向心力向上
支持力大于重力，超重
重力提供向心力：
火车
过桥
失重
【生活情境】
在医院里使用离心机将用过的体温计中的水银柱甩回玻璃泡里，将体温计放入离心机，将体温计的温度刻度一端靠近离心机的转轴，用离心机把体温计的水银柱甩回下面玻璃泡内。
探究：
(1)请结合所学知识分析这样做的原因。
(2)请分析利用离心机的好处。
情境·模型·素养
【解析】(1)转速慢时，缩口的阻力F足以提供所需的向心力，缩口上方的水银柱做圆周运动，如图所示。
转速快时，阻力F不足以提供所需的向心力，水银柱做离心运动而进入玻璃泡内。
(2)利用离心机代替人工甩动将水银柱甩回玻璃泡内，不但可以减少人力物力，还可以降低由于体温计被打破而带来的水银污染。对于医院人口数量流动特别大的场所，可以大大提高工作效率。
答案：见解析
【生产情境】飞机起飞时，飞行员处于超重状态，即飞行员对座位的压力大于他所受的重力，这种现象叫过荷，这时会造成飞行员大脑贫血，四肢沉重，过荷过大时，飞行员还会暂时失明，甚至晕厥，飞行员可以通过加强训练来提高自己的抗荷能力。如图所示是离心实验器的原理图，可以用离心实验器来研究过荷对人体的影响，测试人的抗荷能力。离心实验器转动时，被测试者做匀速圆周运动，若被测试者所受重力为G，现观察到图中的直线AB(即垂直于座位的直线)与水平杆成30°角。求：
探究：
(1)被测试者做匀速圆周运动时所需向心力多大？
(2)被测试者对座位的压力多大？
【解析】被测试者做匀速圆周运动所需的向心力由他受的重力和座位对他的支持力的合力提供，对其受力分析如图所示。
(1)做匀速圆周运动需要的向心力为：
F向=Gcot30°=
G
(2)座位对他的支持力为：F=
=2G，由牛顿第三定律可知他对座位的压力大小也为2G。
答案：(1)
G (2)2G
课堂检测·素养达标
1.如图所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是
( )
A.F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B.F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C.F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D.F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
【解析】选A。F突然消失时，小球将沿该时刻线速度方向，即沿轨迹Pa做离心运动，选项A正确；F突然变小时，小球将会沿轨迹Pb做离心运动，选项B、D均错误；F突然变大时，小球将沿轨迹Pc做近心运动，选项C错误。
2.如图所示，长L的轻质细杆，一端固定有一个质量为m的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是
( )
A.小球通过最高点时，对杆的作用力一定等于零
B.小球通过最高点时，对杆的作用只能有压力
C.小球通过最低点时，对杆的作用可能有压力或拉力
D.小球通过最低点时，对杆的作用只能有拉力
【解析】选D。在最高点，若小球的速度v=
，小球靠重力提供向心力，杆的作用力为零，若小球的速度v>
，则杆表现为拉力，若小球的速度v<
，杆表现为支持力，故A、B错误。在最低点，因为合力的方向向上，小球受重力和杆的作用力，可知杆只能表现为拉力，故D正确，C错误。
【总结提升】解决竖直面内的轻杆模型的方法
由于杆或管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直面内做圆周运动的条件是在最高点时的速度大于或等于零，小球的最高点受力情况判断有两种方法：
(1)临界法。求出临界速度v0=
，当v>v0时，小球受到杆向下的拉力，当v(2)假设法。假设小球受到向下的拉力作用，根据牛顿运动定律，若求出拉力为正，则假设正确，若拉力为负，说明小球受到向上的支持力的作用。
【加固训练】
如图所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物块与球壳之间的摩擦因数为μ，则物块在最低点时，下列说法正确的是
( )
A.受到的向心力为mg+m
B.受到的摩擦力为μm
C.受到的摩擦力为μmg
D.受到的向心力为m
【解析】选D。物块在最低点受到的向心力为m
，故A错，D正确；物块受到的摩擦力为：μN=μ(mg+m
)，故B、C均错。
3.汽车匀速率地行驶在如图所示凹凸路面上，则在A、B、C、D四点中，最易爆胎和最易腾空而起的点是
( )
A.D与C
B.C与B
C.B与A
D.A与D
【解析】选A。如图所示，
在坡顶mg-FN=m
，解得：FN=mg-m
，FN，FN=mg+m
，FN>mg，r越小，FN越大。而D点半径比B点小，则D点最容易爆胎，故A正确，B、C、D错误。
4.如图所示，长度为L=1.0
m的绳，系一小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为m=5
kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为v=20
m/s，g取10
m/s2，试求：
(1)小球在最低点所受绳的拉力大小。
(2)若小球恰好能过最高点，求小球经过最高点时速度大小。
【解析】(1)根据题意，小球在最低点时，根据牛顿第二定律得：
F-mg=
可得：F=2
050
N
(2)小球恰好能过最高点时，绳子的拉力为零，由重力提供向心力，有：
mg=m
得：v0=
m/s
答案：(1)2
050
N (2)
m/s(共24张PPT)
阶段提升课
第三章
知识体系·思维导图
考点整合·素养提升
核心素养——物理观念
考 点 圆周运动的临界状态
角度 圆周运动的临界状态(难度☆☆☆)
1.临界状态：当物体从某种特性变化为另一种特性时发生质的飞跃的转折状态，通常叫作临界态，出现临界态时，既可以理解为“恰好出现”，也可理解为“恰好不出现”。
2.常见的临界态种类：
(1)轻绳类：轻绳拴小球在竖直面内做圆周运动，过最高点时临界速度为v=
，此时轻绳拉力为0。
(2)轻杆类：小球过最高点的临界条件v=0。
(3)汽车过拱形桥，如图所示，当压力为零时，即mg-m
=0，v=
是汽车正常过拱形桥的临界速度，v<
是汽车安全过拱形桥的条件。
(4)摩擦力提供向心力：物体随水平转盘一起转动，汽车在水平路面上转弯(如图所示)，当静摩擦力达到最大时，物体的速度也达到最大，由Fm=m
得vm=
，这就是物体以半径r做圆周运动的临界速度。
【名师支招】
【素养评价】
1.如图所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力与滑动摩擦力相同，现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为
( )
【解析】选D。对物块受力分析知Ff=mg，FN=mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为
，D选项正确。
2.如图所示，用细绳一端系着质量为M=0.6
kg
的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3
kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2
m。若A与转盘间的动摩擦因数为0.3，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。(g取10
m/s2)
【解析】当A欲向外运动时转盘角速度最大
mg+f=M
R
f=μMg
ω1=2
rad/s
当A欲向里运动时转盘角速度最小
mg-f=M
R
ω2=
rad/s
所以角速度的取值范围为
rad/s≤ω≤2
rad/s
答案：
rad/s≤ω≤2
rad/s
【加固训练】
如图所示，AB为半径为R的金属导轨(导轨厚度不计)，a、b为分别沿导轨上、下两表面做圆周运动的小球(可看作质点)，要使小球不脱离导轨，则a、b在导轨最高点的速度va、vb应满足什么条件？
【解析】对a球在最高点，由牛顿第二定律得：
mag-FNa=ma
①
要使a球不脱离轨道，则FNa>0②
由①②得：va<
对b球在最高点，由牛顿第二定律得：
mbg+FNb=mb
③
要使b球不脱离轨道，则FNb>0④
由③④得：vb>
答案：va<
vb>
【核心素养——科学思维】
考 点 圆周运动的综合应用
角度1 圆周运动与平抛运动的综合应用(难度☆☆☆☆)
1.解决平抛运动的两个突破口：
(1)把平抛运动的时间作为突破口。
平抛运动规律中，各物理量均与时间有关系，只要求出时间，其他量都可轻松求解。
(2)把平抛运动的偏转角作为突破口。
tanθ=
(推导：tanθ=
)
tanα=
，所以有tanθ=2tan
α。从以上各式可以看出偏转角和其他各物理量都有关联，通过偏转角可以确定其他的物理量。
2.分析圆周运动问题的基本方法：
(1)分析物体的运动情况，明确圆周运动的轨道平面、圆心和半径是解题的先
决条件。在分析具体问题时，首先要明确其圆周轨道在怎样的一个平面内，确
定圆心在何处，半径是多大，这样才能掌握做圆周运动物体的运动情况。
(2)分析物体的受力情况，弄清向心力的来源是解题的关键，跟运用牛顿第二
定律解直线运动问题一样，解圆周运动问题，也要先选择研究对象，然后进行
受力分析，画出受力示意图，这是解题不可缺少的步骤。
(3)由牛顿第二定律F=ma列方程求解相应问题，其中F是指指向圆心方向的合外
力(向心力)，a是指向心加速度，即
或ω2r或用周期T来表示的形式。
角度2 圆周运动与动能定理的综合应用(难度☆☆☆☆)
应用动能定理解题的一般步骤：
(1)确定研究对象，明确它的运动过程(做圆周运动)。
(2)分析物体在运动过程中的受力情况，明确各个力是否做功，是正功还是负功，并求出合力所做的功。
(3)明确起始(初)状态和终了(末)状态的动能(可分段、亦可对整个运动过程)。
(4)根据动能定理列方程：W=ΔEk=Ek2-Ek1。
【素养评价】
1.如图所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好离开转台开始做平抛运动。先测得转台半径R=0.5
m，离水平地面的高度H=0.8
m，物块平抛落地过程水平位移的大小x=0.4
m，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10
m/s2。则
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0。
(2)物块与转台间的动摩擦因数μ。
【解析】(1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H=
gt2
水平方向上有x=v0t
联立解得v0=x
，代入数据得v0=1
m/s。
(2)物块恰不离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有
fm=m
fm=μFN=μmg
联立解得μ=
，代入数据得μ=0.2。
答案：(1)1
m/s (2)0.2
2.如图所示，半径为R的光滑半圆形轨道BC与光滑水平面AB相连接，直径BC竖直，某质量为m的物块(可视为质点)以一定的初速度从A点经B点滑至C点，在C点对轨道恰好无压力，物块从C点飞出后落在水平面AB上。求(重力加速度为g)：
(1)物块进入圆轨道B点时对轨道的压力大小。
(2)物块从C点飞出后，落地点距B点的距离。
【解析】(1)物块在C点对轨道恰好无压力，
由牛顿第二定律得：mg=m
解得：vC=
由B到C的过程由动能定理得：-mg·2R=
在B点由牛顿第二定律得：N-mg=m
联立解得：N=6mg
由牛顿第三定律知物块进入圆轨道B点时对轨道的压力大小为6mg。
(2)物块从C点飞出做平抛运动，则竖直方向上有：2R=
gt2
水平方向上有：x=vCt
解得：x=2R。
答案：(1)6mg (2)2R
【加固训练】
质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是
( )
A.
mgR B.
mgR
C.
mgR
D.mgR
【解析】选C。小球在最低点，进行受力分析与运动分析，则有：F-mg=m
而最高点时，由于恰好能通过，所以：mg=m
选取小球从最低点到最高点作为过程，由动能定理可得：
-mg·2R-W克=
m
-
m
由以上三式可得：W克=
mgR。故C正确，A、B、D错误。
