沪科版数学 知识点汇总 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明（知识点汇总·沪科8上）

第13章　三角形中的边角关系、命题与证明
一、三角形
（一）、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
（二）、三角形中三边的关系
1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：
（1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；
（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.
4、作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；
②当已知两边时，可确定第三边的范围；
③证明线段不等关系。
（三）、三角形中三角的关系
1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：
（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；
（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。
注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。
（四）、三角形的三条重要线段
1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
2、三角形的角平分线：
（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。
3、三角形的中线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。
4、三角形的高线：
（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。
（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。
区　　别
相　　同
中　　线
平分对边
三条中线交于三角形内部
（1）都是线段
（2）都从顶点画出
（3）所在直线相交于一点
角平分线
平分内角
三条角平分线交于三角表内部
高　　线
垂直于对边（或其延长线）
锐角三角形：三条高线都在三角形内部
直角三角形：其中两条恰好是直角边
钝角三角形：其中两条在三角表外部
（五）、三角形的稳定性：
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。四边形具有不稳定性。
二、定义、命题及证明
1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.
2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
要点诠释：
（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.
（4）经过证明的真命题称为定理.
3.证明:在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.
要点诠释：
（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．
（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.?
（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．