沪科版数学 知识点汇总 第3章 一次方程与方程组（知识点汇总·沪科7上）

第3章 一次方程与方程组
一元一次方程
一、基本概念
（一）方程的变形法则
法则1：方程两边都 或 同一个数或同一个 ，方程的解不变。
例如：在方程7-3x=4左右两边都减去7，得到新方程：-3x=4-7。
在方程6x=-2x-6左右两边都加上2x，得到新方程：8x=-6。
移项：将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移动到另一边，这样的变形叫做移项，注意移项要变号。
例如：(1)将方程x－5＝7移项得：x＝7+5即x＝12
(2)将方程4x＝3x－4移项得：4x－3x＝－4即x＝－4
法则2：方程两边都除以或 同一个 的数，方程的解不变。
例如： (1)将方程－5x＝2两边都除以-5得：x= —false
(2)将方程x＝两边都乘以false得：x=false
这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。
注意：
（1）如遇未知数的系数为整数，“系数化为1”时，就要除以这个整数；如遇到未知数的系数为分数，“系数化为1”时，就要乘以这个分数的倒数。
（2）不论上一乘以或除以数时，都要注意结果的符号。
方程的解的概念：能够使方程左右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。
求方程的解的过程，叫做解方程。
（二）一元一次方程的概念及其解法
1．定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是 ，未知数的次数是 ，这样的方程叫做一元一次方程。
例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。
而这些方程5x2－3x+1＝0、2x+y＝l－3y、＝5就不是一元一次方程。
2．一元一次方程的一般式为：ax+b=0（其中a、b为常数，且a≠0）
一元一次方程的一般式为：ax=b（其中a、b为常数，且a≠0）
3．解一元一次方程的一般步骤
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。
注意：（1）方程中有多重括号时，一般应按先去小括号，再去中括号，最后去大括号的方法去括号，每去一层括号合并同类项一次，以简便运算。
（2）“去分母”指去掉方程两边各项系数的分母；去分母时，要求各分母的最小公倍数，去掉分母后，注意添括号。去分母时，不要忘记不等式两边的每一项都乘以最小公倍数（即公分母）
（三）一元一次方程的应用
1．纯数学上的应用：（1）一元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。
2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。
3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。
二元一次方程组
一、基本概念
（一）二元一次方程组的有关概念
1．二元一次方程的定义：都含有 个未知数，并且 的次数都是1，像这样的整式方程，叫做二元一次方程。
一般形式为：ax+by=c（a、b、c为常数，且a、b均不为0）
结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的理解；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
例如：方程7y-3x=4、-3a+3=4-7b、2m+3n=0、1-s+t=2s等都是二元一次方程。
而6x2=-2y-6、4x+8y=-6z、false=n等都不是二元一次方程。
2．二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如：false、false、false、false等都是二元一次方程组。
而false、false、false等都不是二元一次方程组。
注意：只要两个方程一共含有两个未知数，也是二元一次方程组。如：false、false也是二元一次方程组。
3．二元一次方程和二元一次方程组的解
（1）二元一次方程的解：能够使二元一次方程的左右两边都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
（2）二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。（即是两个方程的公共解）
注意：写二元一次方程或二元一次方程组的解时要用“联立”符号“false”把方程中两个未知数的值连接起来写。
二元方程解的写法的标准形式是：false，（其中a、b为常数）
（二）二元一次方程组的解法
1．解二元一次方程组的基本思想：“消元”，化二元一次方程组为一元一次方程来解。
2．二元一次方程组的基本解法
（1）代入消元法（代入法）
定义：通过“代人”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解的这种解法叫做代人消元法，简称代入法。
步骤：①选取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程③。
②把③代人另一个方程，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人③，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。
（2）加减消元法（加减法）
定义：通过将两个方程相加(或相减)，消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解，这种解法叫加减消元法，简称加减法。
步骤：①把两个方程同一个未知数的系数乘以适当的倍数，使得这两个未知数的绝对值相同。
②把未知数的绝对值相同的两个方程相加或相减，得一元一次方程。
③解这个一元一次方程，得一个未知数的值。
④把这个未知数的值代人原方程组中系数叫简单的一个方程，求出另一个未知数值，从而得到方程组的解。
注意：正确选用两种基本解二元一次方程组
（1）若二元一次方程组中有一个未知数系数的绝对值为1，适宜用“代入法”。
（2）用加减法解二元一次方程组，两方程中若有一个未知数系数的绝对值相等，可直接加减消元；若同一未知数的系数绝对值不等，则应选一个或两个方程变形，使一个未知数的系数的绝对值相等，然后再直接用加减法求解；若方程组比较复杂，应先化简整理。
（三）二元一次方程组的应用
1．纯数学上的应用：（1）二元一次方程定义的应用；（2）方程解的概念的应用；（3）代数中的应用；（4）公式变形等。
2．实际生活上的应用：（1）调配问题；（2）行程问题；（3）工程问题；（4）利息问题；（5）面积问题等。
3．探索性应用：这类问题与上面的几类问题有联系，但也有区别，有时是一种没有结论的问题，需要你给出结论并解答。
注意事项：
(1)在实际问题中，常会遇到有多个未知量的问题，和一元一次方程一样，二元一次方程组也是反映现实世界数量之间相等关系的数学模型之一，要学会将实际问题转化为二元一次方程组，从而解决一些简单的实际问题。
(2)二元一次方程组的解法很多，但它的基本思想都是通过消元，转化为一元一次方程来解的，最常见的消元方法有代人法和加减法。一个方程组用什么方程来逐步消元，转化应根据它的特点灵活选定。
(3)通过列方程组来解某些实际问题，应注意检验和正确作答，检验不仅要检查求得的解是否适合方程组的每一个方程，更重要的是要考察所得的解答是否符合实际问题的要求。
本章要求
1．会对方程进行适当的变形解一元一次方程：解方程的基本思想就是转化，即对方程进行变形，变形时要注意两点，一时方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程的解可能不同；二是去分母时，不要漏乘没有分母的项，一元一次方程是学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式及函数问题的基本内容。
2．正确理解方程解的定义，并能应用等式性质巧解考题：方程的解应理解为，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使问题得到了转化。
3．理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:(1)a≠0时，方程有唯一解false；
(2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b≠0时，方程无解。
4．正确列一元一次方程解应用题：列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系，可采用图示、列表等方法，根据近几年的考试题目分析，要多关注社会热点，密切联系实际，多收集和处理信息，解应用题时还要注意检查结果是否符合实际意义。
5.几种常见的问题：和差倍分问题、等机变形问题、劳力调配问题、比例分配问题、数字问题、工程问题。
6．二元一次方程（组）及解的应用：注意:方程（组）的解适合于方程，任何一个二元一次方程都有无数个解，有时考查其整数解的情况，还经常应用方程组的概念巧求代数式的值。
7．解二元一次方程组：解方程组的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加减消元，转化思想和整体思想也是本章考查重点。
会用代入消元法解含有未知数系数为1的二元一次方程组。会运用代入法解未知数系数都不是1的二元一次方程组。会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解。学会使用方程变形，再用加减消元法解二元一次方程组。灵活运用代入消元法、加减消元法解题。
8．二元一次方程组的应用：列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，题目内容往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。