沪科版数学 知识点汇总 第23章 解直角三角形（知识点汇总·沪科9上）

一、锐角三角函数的定义
如图所示，在中，、、分别为、、的对边．
（1）正弦：中，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作，
即．
（2）余弦：中，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作，
即．
（3）正切：中，锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作，
即．
二、特殊角的三角函数值
三角函数











三、三角函数之间的关系
1、由三角函数的定义和勾股定理，可以得出同角三角函数的关系：
（1）；（2）
互余角三角函数关系：
(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值：；
(2)任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值：；
四、解直角三角形的概念
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形
五、直角三角形的边和角的关系
如图，在中，若，则
三边之间的关系： (勾股定理)
锐角之间的关系：
边角之间的关系：，，
六、解直角三角形的类型及解法
1、已知两边
（1）已知两直角边(如和)，求出，由，得．
（2）已知斜边和一直角边(如斜边，直角边)，由求出，则， ．
2、已知一边一角
（1）已知斜边和一锐角(如斜边，锐角)，求出，，．
（2）已知一直角边和一锐角(如和锐角)，求出，，．
七、直角三角形中其他重要概念
1、仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．
2、坡角与坡度：坡面的垂直高度和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则．坡度越大，坡面就越陡．
3、方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．
八、解非直角三角形问题：
在不含直角三角形的图形中，我们应通过适当的垂线构造直角三角形，从而转化为解直角三角形问题．主要的转化思想有：
1、构造直角三角形
当所给的三角形不是直角三角形时，一般都应转化为直角三角形．构造直角三角形应尽可能以不破坏已知为前提．
2、补形
3、转化
通过添加辅助线、平移等方式，把分散开来的元素集中在一个直角三角形中，再通过解直角三角形来解决．
4、构造几何图形
1、一些特殊角是三角函数值的补充：
三角函数











【注意】由于一些题目会用到15°，所以这里将15°的三角函数值补充一下，作为学生的了解．
2、正切值为和的两个角的和为．
3、一些特殊角的三角函数值的推导：
求和的值．
【答案】在中，,,延长至点,使 ，连接.
设，, ,，由勾股定理可得，且
,,
由勾股定理可得
，;
， ．
1、应用三角函数定义时，要保证直角三角形这个前提．
2、在求解直角三角形的有关问题时，要画出图形，以利于分析解决问题．
3、选择关系式时，要尽量利用原始数据，以防止“累积误差”．
4、遇到不是直角三角形的图形时，要添加适当的辅助线，将其转化为直角三角形求解．