沪科版数学 知识点汇总 第21章 二次函数与反比例函数（知识点汇总·沪科9上）

第21章 二次函数与反比例函数
二次函数
1.定义：一般地，如果false是常数，false，那么false叫做false的二次函数.
2.二次函数false的性质
（1）抛物线false的顶点是坐标原点，对称轴是false轴.
（2）函数false的图像与false的符号关系.
①当false时false抛物线开口向上false顶点为其最低点；
②当false时false抛物线开口向下false顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是false轴的抛物线的解析式形式为falsefalse.
3.二次函数 false的图像是对称轴平行于（包括重合）false轴的抛物线.
4.二次函数false用配方法可化成：
false的形式，其中false.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①false；②false；③false；④false；⑤false.
6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①false的符号决定抛物线的开口方向：当false时，开口向上；当false时，开口向下；
false越大，抛物线的开口越小；false越小，抛物线的开口越大。
②平行于false轴（或重合）的直线记作false.特别地，false轴记作直线false.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数false相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.
8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
（1）公式法：false，
∴顶点是false，对称轴是直线false.
（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为false的形式，得到顶点为(false,false)，对称轴是直线false.
（3）抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.
9.抛物线false中，false的作用
（1）false决定开口方向及开口大小，这与false中的false完全一样.
（2）false和false共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线false的对称轴是直线
false，故：①false时，对称轴为false轴；②false（即false、false同号）时，对称轴在false轴左侧；③false（即false、false异号）时，对称轴在false轴右侧，“左同右异”.
（3）false的大小决定抛物线false与false轴交点的位置.
当false时，false，∴抛物线false与false轴有且只有一个交点（0，false）：
①false，抛物线经过原点; ②false,与false轴交于正半轴；③false,与false轴交于负半轴.
10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
false
当false时
开口向上
当false时
开口向下
false（false轴）
（0,0）
false
false（false轴）
(0, false)
false
false
(false,0)
false
false
(false,false)
false
false
(false)
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：false.已知图像上三点或三对false、false的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：false.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：已知图像与false轴的交点坐标false、false，通常选用交点式：false.
12.直线与抛物线的交点
（1）false轴与抛物线false得交点为(0, false).
（2）与false轴平行的直线false与抛物线false有且只有一个交点(false,false).
（3）抛物线与false轴的交点
二次函数false的图像与false轴的两个交点的横坐标false、false，是对应一元二次方程false的两个实数根.抛物线与false轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点falsefalsefalse抛物线与false轴相交；
②有一个交点（顶点在false轴上）falsefalsefalse抛物线与false轴相切；
③没有交点falsefalsefalse抛物线与false轴相离.
（4）平行于false轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为false，则横坐标是false的两个实数根.
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（5）一次函数false的图像false与二次函数false的图像false的交点，由方程组 false的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时falsefalse与false有两个交点; ②方程组只有一组解时falsefalse与false只有一个交点；③方程组无解时falsefalse与false没有交点.
（6）抛物线与false轴两交点之间的距离：若抛物线false与false轴两交点为false，由于false、false是方程false的两个根，故
falsefalse
反比例函数
一、反比例函数
（1）函数false（false为常数，false）叫做反比例函数，其中false叫做比例系数，false是自变量，false是函数，自变量false的取值范围是不等于0的一切实数．
【注意】
1、定义的几点注意事项：①自变量false的取值范围是：false；②false；③函数值false．
2、两种主要的解析式变形：false（false是常数，false）；false（false是常数，false）
（2）“反比例函数”与“成反比例”之间的区别在于，前者是一种函数关系，而后者是一种比例关系，不一定是反比例函数，如说s与t2成反比例，可设为s= (k≠0的常数)，但这显然不是反比例函数。
二、反比例函数y= 的性质
反比例函数的 性质主要研究它的图象的位置和函数值的增减情况，具体如下：
false的符号
图象
象限
性质
false

一、三象限
在每一个象限内，false随false的增大而减小
false

二、四象限
在每一个象限内，false随false的增大而增大
【注意】叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”
三、反比例函数解析式的求法
反比例函数的解析式false中，只有一个系数false，确定了false的值，也就确定了反比例函数的解析式．因此，只需给出一组false、false的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．
四、反比例函数false的几何意义
1、过反比例函数false，图象上一点，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点组成一个矩形，矩形的面积false.
做一个坐标轴的垂线，连接垂足、原点所围成三角形的面积为false
2、如图，四条双曲线false、false、false、false对应的函数解析式分别为：false、false、false、false，那么false、false、false、false的大小顺序为false
3、不同的两个反比例函数的图象不想交．在false中，false越大，图象离开原点越远．
4、利用false的几何意义进行面积转化
如图，直线false与反比例函数false（false）交于false、false两点，与false、false轴的交点分别为false、false，那么false，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低。
如图，过点false、false作false轴的垂线，垂足分别为false、false，则根据false的几何意义可得，false，而false，所以false，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。
5、false的几何意义与双曲线的对称性
如图一，直线false与反比例函数false（false）交于false、false两点，与false、false轴的交点分别为false、false，那么false，此两种方法是绝大部分学生选用的方法。常规方法，费时、费力、而且还易计算出错。
如图二，我们知道反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，那么延长false交双曲线于点false，连接false、则false，false，因此可以将false的面积转化为梯形的面积

6、false、false两点为反比例函数图象上两点，分别过点false，点false作false轴的垂线，垂足分别为false、false，则false．
7、如图，矩形false，交反比例函数图象于false，false两点，则false
8、如图，直线与反比例函数图象交于false，false两点，分别过点false、false向false轴，false轴作垂线，垂足分别为false，false，连接false，则①false，且②false
9、如图，反比例函数解析式为false（false），false，false……均为等腰直角三角形，则false，false,false,false……false
五、反比例函数的应用
注意联系实际问题和用解决方程应用题的思路。
1、利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型，然后根据函数的性质求解．
2、应用反比例函数的知识解决实际问题的一般步骤：
(1)审题：弄清问题中的常量与变量，探究出问题中的等量关系；
(2)求反比例函数的关系式：设出问题中的两个变量，求出反比例函数关系式；
(3)求出问题答案．