曲线运动
一、单项选择题
1．做曲线运动的物体，在其轨迹曲线上某一点的加速度方向( D )
A．为通过该点的曲线的切线方向
B．与物体在这一点时所受合力方向垂直
C．与物体在这一点的速度方向一致
D．与物体在这一点的速度方向的夹角一定不为零
解析：由牛顿第二定律可知，物体的加速度一定与其所受的合力同向，而物体做曲线运动时，它所受的合力与速度方向不在同一直线上，即成一定夹角，故正确选项为D.
2．关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是( D )
A．合运动速度一定不小于分运动速度
B．合运动加速度不可能与分运动加速度相同
C．合运动的速度与分运动的速度没有关系，但合运动与分运动的时间相等
D．合位移可能等于两分位移的代数和
解析：根据平行四边形定则，作出以两个互成角度的分速度为邻边的平行四边形，过两邻边夹角的对角线表示合速度，对角线的长度可能等于邻边长度，也可能小于邻边长度，也可能大于邻边长度，选项A错误；合运动的加速度可能大于、等于或小于分运动的加速度，选项B错误；合运动与分运动具有等效性、同体性、等时性等关系，选项C错误；如果两个分运动在同一直线上，且方向相同，其合位移就等于两分位移的代数和，选项D正确．
3．一只船以一定的速度垂直河岸向对岸行驶，当河水流速恒定时，下列所述船所通过的路程、渡河时间与水流速度的关系，正确的是( D )
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越长
C．水流速度越大，路程与时间都不变
D．水流速度越大，路程越长，时间不变
解析：从运动的独立性考虑．设河宽为d，船速为v1，水流速度为v2，渡河时间为t，船沿水流方向通过的路程为L，当船垂直河岸方向渡河时，这几个物理量的关系为t＝，L＝v2t，船实际通过的路程为s＝，故水流速度越大，船通过的路程越长，但时间不变．
4．某电视台举办了一期群众娱乐节目，其中有一个环节是让群众演员站在一个旋转较快的大平台边缘上，向大平台圆心处的球筐内投篮球．如果群众演员相对平台静止，则下面各俯视图中哪幅图中的篮球可能被投入球筐(图中平台内箭头指向表示投篮方向)
( B )
解析：要使篮球投入球筐，必须使篮球的合速度方向指向球筐，根据平行四边形定则可知只有B选项符合要求，故选B.
5．如图所示，在一张白纸上放置一把直尺，沿直尺的边缘放置一块直角三角板．将直角三角板沿刻度尺水平向右匀速运动，同时将一支铅笔从直角三角板直角边的最下端向上运动，而且向上的速度越来越大，则铅笔在纸上留下的轨迹可能是( C )
解析：铅笔在垂直于直尺方向向上加速运动，沿着直尺方向匀速运动，则铅笔的运动轨迹为曲线，向着加速度方向弯曲，选项C正确，其他选项均错误．
二、多项选择题
6．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升飞机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是
( BC )
A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与风力无关
D．运动员着地速度与风力无关
解析：根据运动的独立性原理，水平方向吹来的风不会影响竖直方向的运动，A错误，C正确；根据速度的合成，落地时速度v＝，风速越大，vx越大，则降落伞落地时速度越大，B正确，D错误．
7．一只船在静水中的速度大小是3
m/s，它要横渡一条30
m宽的河，水流速度大小为4
m/s，下列说法正确的是( AD )
A．这只船不可能以垂直于河岸的轨迹到达正对岸
B．这只船对地的速度一定是5
m/s
C．过河时间可能是6
s
D．过河时间可能是12
s
解析：
如图所示，要使船垂直渡河，必须使合速度垂直于河岸，即v船cos
α＝v水．但本题中由于v船＝3
m/sm/s，所以，不可能垂直渡河，A正确．v船的方向是任意的，与水流速度依据平行四边形定则合成，其合速度范围为：1
m/s≤v合≤7
m/s，只有船速垂直于河岸时，才有v合＝＝5
m/s，所以B错．由图可知，渡河时间：t＝，当α＝90°，即船速垂直于河岸时，过河时间最短，最短时间为：tmin＝＝
s＝10
s．所以C不可能，D可能．
8．如图所示，当吊车以速度v1沿水平直线匀速行驶，同时以速度v2收拢绳索提升物体时，下列表述正确的是( BD )
A．物体的实际运动速度为v1＋v2
B．物体的实际运动速度为
C．物体相对地面做曲线运动
D．绳索保持竖直状态
解析：该题考查了运动的合成与分解．物体的速度是由水平速度和竖直速度合成的，v＝，故相对于地面做匀速直线运动，所以A、C选项错，B选项正确；两个方向的运动互不影响，物体竖直方向始终做匀速直线运动，因此绳索保持竖直状态，所以D选项正确．
三、非选择题
9．如图所示，质量为m的物体在四个共点力的作用下做匀速直线运动，速度方向与力F1、F3的方向恰好在同一直线上，则：
(1)若只撤去F1，物体将做匀加速直线运动，加速度大小为，方向为F1的反方向．
(2)若只撤去F2，物体将做匀加速曲线运动，加速度大小为，方向为F2的反方向．
(3)若只撤去F3，物体将做匀减速直线运动，加速度大小为，方向为F3的反方向．
(4)若将四个力同时撤去，物体将做匀速直线运动，加速度大小为0.
解析：(1)若只撤去F1，物体所受的合外力大小为F1，方向与F1相反，与速度方向相同，所以物体做加速度大小的匀加速直线运动，加速度方向与F1相反．
(2)若只撤去F2，物体所受的合外力大小为F2，方向与F2相反，与速度方向不共线，且夹角为锐角，所以物体做加速度大小为的匀加速曲线运动，加速度方向与F2相反．
(3)若只撤去F3，物体所受的合外力大小为F3，方向与F3相反，与速度方向相反，所以物体做加速度大小为的匀减速直线运动，加速度方向与F3相反．
(4)若将四个力同时撤去，物体所受的合外力为零，所以物体做匀速直线运动，加速度为零．
10．直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5
m/s.若飞机停留在离地面100
m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资在竖直下落时又以1
m/s的速度匀速水平向北运动，求：
(1)物资在空中运动的时间；
(2)物资落地时速度的大小；
(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离．
答案：(1)20
s (2)
m/s (3)20
m
解析：
如图所示，物资的实际运动可以看做是竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀速直线运动两个分运动的合运动．
(1)分运动与合运动具有等时性，故物资实际运动的时间与竖直方向分运动的时间相等．
所以t＝＝
s＝20
s.
(2)物资落地时vy＝5
m/s，vx＝1
m/s，由平行四边形定则得v＝＝
m/s＝
m/s.
(3)物资水平方向的位移大小为
x＝vxt＝1×20
m＝20
m.
11．一辆汽车通过一根跨过定滑轮的轻绳子提升一个质量为m的重物，开始汽车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.汽车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图所示，试求：
(1)汽车向左运动的加速度的大小；
(2)重物m在t时刻速度的大小．
答案：(1) (2)
解析：(1)汽车在时间t内向左运动的位移x＝，
又由汽车匀加速运动得x＝at2，所以a＝＝.
(2)此时汽车的速度v汽＝at＝.
由运动的分解知识可知，汽车速度v汽沿绳的分速度与重物m的速度相等，即v物＝v汽cosθ，得v物＝.
12．小船在200
m宽的河中横渡，水流速度是2
m/s，小船在静水中的航速是4
m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？它将在何处到达对岸？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？耗时又是多少？
答案：(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50
s.
在正对岸下游100
m处靠岸
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200
m，耗时57.7
s
解析：(1)如图甲，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝s＝50
s.
沿河流方向的位移：l水＝v水t＝2×50
m＝100
m，即在正对岸下游100
m处靠岸．
(2)如图乙，航程最短为河宽d，即应使v合的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cos
α＝＝＝，解得α＝60°.
渡河时间：t′＝＝＝s≈57.7
s.
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7平抛运动
一、单项选择题
1.如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8
m，水平距离为8
m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10
m/s2)
( D )
A．0.5
m/s
B.2
m/s
C．10
m/s
D.20
m/s
解析：根据x＝v0t，y＝gt2，将已知数据代入可得v0＝20
m/s.
2．如图所示，以v0＝9.8
m/s的水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上．可知物体完成这段飞行所用的时间是( C )
A.
s
B.
s
C.
s
D．2
s
解析：根据题意，可知物体与斜面相撞时的速度vt跟竖直方向的夹角等于θ(θ＝30°)．根据平抛运动性质，将vt分解成水平分量和竖直分量：vt·sin
θ＝v0，vt·cos
θ＝gt
可知物体在空中飞行的时间
t＝＝
s．选项C正确．
3.如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O点对准前方的一块竖直放置的挡板，O与A在同一高度，小球的水平初速度分别是v1、v2、v3，不计空气阻力，打在挡板上的位置分别是B、C、D，且AB∶BC∶CD＝1∶3∶5，则v1、v2、v3之间的正确的关系是( C )
A．v1∶v2∶v3＝3∶2∶1
B．v1∶v2∶v3＝5∶3∶1
C．v1∶v2∶v3＝6∶3∶2
D．v1∶v2∶v3＝9∶4∶1
解析：由AB∶BC∶CD＝1∶3∶5知三小球竖直方向上的位移之比应是1∶4∶9，则小球从被抛出到落到B、C、D三点所用时间之比t1∶t2∶t3＝1∶2∶3，而三种情况下小球的水平位移相同，小球的初速度与其运动时间成反比，所以v1∶v2∶v3＝6∶3∶2，C项正确．
4.如图所示，相对的两个斜面，倾角分别为37°和53°，在顶点两个小球A、B以同样大小的初速度分别向左、右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两个小球运动时间之比为( D )
A．1∶1
B．4∶3
C．16∶9
D．9∶16
解析：结合平抛运动知识，A球满足tan
37°＝，B球满足tan
53°＝，那么t1∶t2＝tan
37°∶tan
53°＝9∶16.
二、多项选择题
5．有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( ACD )
A.
B.
C.
D.
解析：由l＝v0t得物体在空中飞行的时间为，故A正确；由h＝gt2得t＝，故B错误；由vy＝以及vy＝gt得t＝，故C正确；由于竖直方向为匀变速直线运动，故h＝t，所以t＝，D正确．
6．斜抛运动和平抛运动的共同特点是( AB )
A．加速度都是g
B．运动轨迹都是抛物线
C．运动时间都与抛出时的初速度大小有关
D．速度变化率都随时间变化
解析：斜抛运动和平抛运动都是仅受重力作用的抛体运动，因此其加速度或速度变化率都是相同的，都为重力加速度，因此选项A正确，选项D错误．它们的轨迹均为抛物线，选项B正确．斜抛运动的时间由竖直方向的分运动决定，平抛运动的时间仅与竖直方向上的位移有关，与初速度无关，故选项C错误．
7．如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A、B，分别落在地面上的M、N点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( CD )
A．B的加速度比A的大
B．B的飞行时间比A的长
C．B在最高点的速度比A在最高点的大
D．B在落地时的速度比A在落地时的大
解析：由题可知，A、B两小球均做斜抛运动，由运动的分解可知：水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，两球的加速度均为重力加速度，故A错；设上升的最大高度为h，在下落过程，由h＝gt2，可知下落时间t＝，根据运动的对称性可知，两球上升时间和下落时间相等，故两小球的运动时间相等，故B错；由x＝vxt，可知vxA＜vxB；由v＝2gh，可知落地时，竖直方向的速度vyA＝vyB，再由v＝，可知B在落地时的速度比A在落地时的大，所以正确选项为C、D.
8．如图(a)，在跳台滑雪比赛中，运动员在空中滑翔时身体的姿态会影响其下落的速度和滑翔的距离．某运动员先后两次从同一跳台起跳，每次都从离开跳台开始计时，用v表示他在竖直方向的速度，其v?t图像如图(b)所示，t1和t2是他落在倾斜雪道上的时刻．则( BD )
图(a)
图(b)
A．第二次滑翔过程中在竖直方向上的位移比第一次的小
B．第二次滑翔过程中在水平方向上的位移比第一次的大
C．第二次滑翔过程中在竖直方向上的平均加速度比第一次的大
D．竖直方向速度大小为v1时，第二次滑翔在竖直方向上所受阻力比第一次的大
解析：A错：v?t图像中图线与t轴包围的面积表示位移大小，第二次滑翔过程中所围面积大表示在竖直方向上位移大．B对：比较身体姿态对下落速率的影响，应控制两次水平速度相同，运动员在水平方向上的运动可看成匀速直线运动，由x＝vt知运动时间长的水平位移大．C错：从起跳到落到雪道上，第一次速度变化大，时间短，由a＝，可知第二次滑翔过程中在竖直方向上平均加速度小于第一次．D对：v?t图像的斜率表示加速度，速率为v1时，第二次加速度小，设阻力为f，由mg－f＝ma，可得第二次受到的阻力大．
三、非选择题
9.如图所示的是推行节水工程的转动喷水“龙头”，“龙头”距地面高为h，它沿水平方向把水喷出的距离为x，设“水龙头”的直径为d，则此喷水“龙头”的流量为多少？
答案：
解析：设水在空中飞行时间为t，则
h＝gt2①
x＝v0t②
①②联立得v0＝
Q＝v0S＝x·.
10．女排比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04
m高处，击球后排球以25.0
m/s的速度水平飞出，球的初速度方向与底线垂直，排球场的有关尺寸如图所示，试计算说明：
(1)此球能否过网？
(2)球是落在对方界内，还是界外？(不计空气阻力，g取10
m/s2)
答案：(1)能过网 (2)界外
解析：(1)当排球在竖直方向下落Δh＝(3.04－2.24)
m＝0.8
m时，所用时间为t1，满足Δh＝gt，x＝v0t1.解以上两式得x＝10
m＞9
m，故此球能过网．
(2)当排球落地时h＝gt，x′＝v0t2.
将h＝3.04
m代入得x′≈19.5
m＞18
m，故排球落在对方界外．
11．汽车以1.6
m/s的速度在水平地面上匀速行驶，汽车后壁货架上放有一小球(可视作质点)，架高1.8
m，由于前方事故，突然急刹车，汽车轮胎抱死，小球从架上落下．已知该汽车刹车后做加速度大小为4
m/s2
的匀减速直线运动，忽略小球与架子间的摩擦及空气阻力，g取10
m/s2.求小球在车厢底板上落点距车后壁的距离.
答案：0.64
m
解析：汽车刹车后，小球做平抛运动：
h＝gt2得t＝＝0.6
s
小球的水平位移为：s2＝vt＝0.96
m
汽车做匀减速直线运动，刹车时间为t′，
则：t′＝＝0.4
s<0.6
s
则汽车的实际位移为：s1＝＝0.32
m
故Δs＝s2－s1＝0.64
m.
12．如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB相互垂直且OA与竖直方向成α角，求两小球初速度之比v1∶v2.
答案：tan
α
解析：两质点抛出后都做平抛运动，设容器的半径为R，两质点运动的时间分别为tA、tB，对A球：Rsin
α＝v1tA，
Rcos
α＝gt
对B球：Rcos
α＝v2tB
Rsin
α＝gt
联立解得＝tan
α.
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6实验：研究平抛运动
一、单项选择题
1．在做“研究平抛运动”的实验中，下列说法中错误的是( B )
A．安装斜槽和木板时，一定要注意木板是否竖直
B．安装斜槽和木板时，只要注意小球不和木板发生摩擦即可
C．每次实验都要把小球从同一位置由静止释放
D．实验的目的是描出小球的运动轨迹，分析平抛运动的规律
解析：安装斜槽和木板时，木板要竖直，以保证描点准确，A正确，B错误；为保证小球每次做平抛运动的初速度相同，每次实验都要把小球从同一位置由静止释放，C正确；实验目的就是D项所述，故D正确．
2．如图所示，在粗糙水平桌面上用练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动．用刻度尺测出下列哪一组数据可以求出钢球离开水平桌面时的速度( B )
A．钢球在练习本上滚下的距离、钢球释放点离桌面的高度
B．水平桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
C．钢球释放点离桌面的高度、钢球在水平桌面上运动的距离
D．钢球释放点离桌面的高度、钢球落地点与桌边的水平距离
解析：钢球沿桌面飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律得y＝gt2，x＝v0t，联立解得v0＝x，故要求出钢球离开水平桌面时的速度，需测量水平桌面的高度y、钢球落地点与桌边的水平距离x，B项正确．
3.利用如图所示的装置研究平抛运动的特点，让小球多次沿同一轨迹运动，通过描点法画小球做平抛运动的轨迹，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面说法不正确的是( B )
A．通过调节使斜槽的末端保持水平
B．每次释放小球的位置必须不同
C．每次必须在斜槽上的同一位置由静止释放小球
D．小球运动时不应与木板上的白纸(或坐标纸)相接触
解析：要使小球做平抛运动，斜槽轨道末端必须水平，A正确．要使小球每次抛出的初速度相等，释放小球时必须在斜槽上同一位置由静止释放，B错误，C正确．小球离开轨道后，仅受重力作用，不能有摩擦，D正确．
4．在“探究平抛运动的特点”的实验中，为了求小球做平抛运动的初速度，需直接测的数据有(重力加速度g已知)( C )
①小球开始滚下的高度
②小球在空中飞行的时间
③运动轨迹上某点P的水平坐标
④运动轨迹上某点P的竖直坐标
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
解析：由平抛运动规律，竖直方向y＝gt2，水平方向x＝v0t，因此v0＝x，可见只要测得轨迹上某点P的水平坐标x和竖直坐标y，就可求出初速度v0，故C项正确．
5．在做“研究平抛物体的运动”实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图中所示坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是( C )
解析：A图中坐标纸偏右，斜槽末端没有在坐标纸内，A错；B图中坐标纸放得不竖直，B错；C图中坐标纸竖直，斜槽末端又在坐标纸内，C正确；D图中坐标纸偏下，斜槽末端没有在坐标纸内．
二、多项选择题
6．在研究平抛运动的实验中，槽口离地面的高度为h，测得小球离开槽口时的速度为v0，小球做平抛运动的水平位移为d，落地时间为t.当小球从高h＝0.45
m处下落时得到的数据如表(a)所示，当小球从高h＝0.8
m处下落时得到的数据如表(b)所示．
表(a)
v0/(m/s)
0
2
3
4
d/m
0
0.6
0.9
1.2
t/s
0.3
0.3
0.3
0.3
表(b)
v0/(m/s)
0
2
4
d/m
0
0.8
1.6
t/s
0.4
0.4
0.4
下列说法正确的是( ABC )
A．从表(a)或表(b)中第一、三两行数据可得出的初步结论是：在同一高度处以不同速度抛出的物体下落时间相同
B．从表(a)或表(b)中第一、二两行数据可得出的初步结论是：在同一高度处以不同速度抛出的物体，其水平位移与抛出的初速度成正比
C．比较表(a)、表(b)的数据可以得出，槽口高度h不同，落地时间也不同
D．比较表(a)、表(b)的数据不能得出平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动
解析：从题表中的数据可以得出平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动．分析各选项可知，选项A、B、C正确．
7．为了验证平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有( BC )
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
解析：本题考查平抛运动、运动的合成与分解等知识，意在考查考生的理解能力．根据合运动与分运动的等时性和独立性特点可知，两球应同时落地，为减小实验误差，应改变装置的高度，多次做实验，选项B、C正确；平抛运动的实验与小球的质量无关，选项A错误；此实验只能说明A球在竖直方向做自由落体运动，选项D错误．
8．数码照相机大多具有摄像功能，每秒钟大约能拍摄15帧照片．一同学用它拍摄小球从水平面上飞出后做平抛运动的几张连续照片，下列处理方法中正确的是( BD )
A．只要测出相邻两帧照片上小球的距离，就能判断平抛运动的特点
B．只要测出相邻两帧照片上小球的水平距离，就能判断平抛运动在水平方向上的运动特点
C．只要测出相邻两帧照片上小球的竖直距离，就能判断平抛运动在水平方向上的运动特点
D．只要测出相邻两帧照片上小球的竖直距离，就能判断平抛运动在竖直方向上的运动特点
解析：连续的照片之间的时间间隔可由题中数据算出，因此只需测量两个方向上对应的距离，即可研究两个分运动的特点．选项B、D正确．
三、非选择题
9．某物理兴趣小组采用如图所示的装置深入研究平抛运动．A、B小球处于同一高度，M为A球中心初始时在水平地面上的投影．用小锤击打弹性金属片，使A球沿水平方向飞出，同时松开B球，B球自由下落.
A球落到地面上的N点处，B球落到地面上的P点处．测得B球距地面的高度是1.225
m，M、N两点间的距离为1.500
m，则B球落到P点的时间为0.5
s，A球落地时的速度为5.7
m/s.(忽略空气阻力，g取9.8
m/s2)
解析：B球做自由落体运动，根据自由落体运动规律可得h＝gt2，解得t＝＝0.5
s．A球做平抛运动，运动的时间与B球相同，为t＝0.5
s，A球水平方向的分速度为v0＝＝
m/s＝3.0
m/s，A球落地时竖直方向的分速度为vy＝gt＝9.8×0.5
m/s＝4.9
m/s，所以A球落地时的速度为v＝≈5.7
m/s.
10．某实验小组同学在“研究平抛物体的运动”实验中，只画出了如图所示的曲线，于是他在曲线上取水平距离Δx相等的三点A、B、C，量得Δx＝0.2
m．又量出它们之间的竖直距离分别为h1＝0.1
m，h2＝0.2
m，(g＝10
m/s2)利用这些数据，可求得：
(1)物体抛出时的初速度为2
m/s；
(2)物体经过B时竖直分速度为1.5
m/s；
(3)抛出点距B点的水平距离为0.3
m，竖直距离为0.112_5
m.
解析：(1)由Δh＝gT2，得T＝0.1
s，v0＝＝2
m/s.
(2)vBy＝＝1.5
m/s.
(3)抛出点距B点的时间t＝＝0.15
s
则抛出点距B点的水平距离xB＝v0t＝0.3
m
竖直距离hB＝gt2＝0.112
5
m.
11.用如图1所示装置研究平抛运动．将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上．钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上．由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点．移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点．
图1
(1)下列实验条件必须满足的有BD.
A．斜槽轨道光滑
B．斜槽轨道末段水平
C．挡板高度等间距变化
D．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球
(2)为定量研究，建立以水平方向为x轴、竖直方向为y轴的坐标系．
a．取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于Q点，钢球的球心(选填“最上端”“最下端”或者“球心”)对应白纸上的位置即为原点；在确定y轴时需要(选填“需要”或者“不需要”)y轴与重垂线平行．
图2
b．若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图2所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x，测得AB和BC的竖直间距分别是y1和y2，则大于(选填“大于”“等于”或者“小于”).可求得钢球平抛的初速度大小为x(已知当地重力加速度为g，结果用上述字母表示)．
(3)为了得到平抛物体的运动轨迹，同学们还提出了以下三种方案，其中可行的是AB.
A．从细管水平喷出稳定的细水柱，拍摄照片，即可得到平抛运动轨迹
B．用频闪照相在同一底片上记录平抛小球在不同时刻的位置，平滑连接各位置，即可得到平抛运动轨迹
C．将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，将会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹
解析：(1)实验中没必要要求斜槽轨道光滑，因为本实验是研究平抛运动，只需要每次实验都能保证小球做相同的平抛运动，即每次实验都要保证小球初速度水平且相同，因此选项A错误，选项B、D正确．挡板高度可以不等间距变化，故选项C错误．
(2)a.因为钢球侧面在白纸上挤压出的痕迹点与球心等高，故将钢球静置于Q点，钢球的球心对应白纸上的位置即为坐标原点(平抛运动的起始点)；在确定y轴时需要y轴与重垂线平行．
b．由于平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，竖直方向上相邻相等时间内的位移之比为1∶3∶5∶…，故两相邻相等时间内的位移之比越来越大，因此大于；由y2－y1＝gT2，x＝v0T，联立两式解得v0＝x
.
(3)将铅笔垂直于竖直的白纸板放置，笔尖紧靠白纸板，铅笔以一定初速度水平抛出，由于铅笔笔尖与笔尾受力不同，铅笔将不能保持始终垂直于竖直的白纸板运动，而发生倾斜，所以不会在白纸上留下笔尖的平抛运动轨迹，故C错误．故选AB.
12．某同学用图甲所示装置测定弹射器射出的弹丸的初速度，图中斜面的倾角为37°，地面上放一张足够大的上面覆盖复写纸的白纸，以斜面边缘与底线的交点O为原点，沿斜面的两条底线分别作出x、y轴(图中已画出)；将弹射器置于斜面上，使弹射器的出口与斜面的边缘相齐，枪筒与边缘垂直，按下开关则小球抛出在白纸上打下一个点；多次改变高度打点，将打出的点迹用光滑曲线连接后得到如图乙所示的图线，设该同学一切操作均很规范，图中A点的坐标为(30
cm,
60
cm)，则小球从弹射器出口射出时的速度为多少？
答案：1
m/s
解析：由题意可知，小球抛出后打在A点时，y轴方向抛出口距O的水平距离为60
cm，则此时小球的高度h＝60
cm×tan
37°＝45
cm，x轴方向小球抛出的水平距离为x＝30
cm，计算可得小球初速度v0＝x
＝1
m/s.
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7圆周运动
一、单项选择题
1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( D )
A．匀速圆周运动是匀速运动
B．匀速圆周运动是匀变速运动
C．匀速圆周运动是线速度不变的运动
D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动
解析：这里的“匀速”，不是“匀速度”，也不是“匀变速”，而是速率不变，匀速圆周运动实际上是一种速度大小不变、方向时刻改变的变速运动．故D正确．
2．如图所示为一皮带传动装置，A、C在同一大轮上，B在小轮边缘上，在转动过程中皮带不打滑．已知R＝2r，RC＝R，则( C )
A．角速度ωC＝ωB
B．线速度vC＝vB
C．线速度vC＝vB
D．角速度ωC＝2ωB
解析：因为转动过程中皮带不打滑，所以通过皮带传动的两轮边缘上每一点的线速度都与皮带运动的速度大小相等；而同一个轮上每一点的角速度相等．
3．半径为R的大圆盘以角速度ω旋转，如图所示，有人站在盘边P点上随盘转动，他想用枪击中在圆盘中心的目标O，若子弹的速度为v0，则( D )
A．枪应瞄准目标O射去
B．枪应向PO的右方偏过θ角射去，而cosθ＝ωR/v0
C．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而tanθ＝ωR/v0
D．枪应向PO的左方偏过θ角射去，而sinθ＝ωR/v0
解析：子弹射出时同时参与两个运动：沿射出方向的匀速运动和沿圆盘切线方向的匀速运动，要求子弹射中O，它相对于地面运动的速度应沿PO方向．根据三角函数可得sinθ＝ωR/v0.
4．如图所示，如果把钟表上的时针、分针、秒针的运动看成匀速圆周运动，那么，从它的分针与秒针第一次重合至第二次重合，中间经历的时间为( C )
A.
min
B.1
min
C.
min
D.
min
解析：分针与秒针的角速度分别为ω分＝
rad/s，ω秒＝rad/s.设两次重合的时间间隔为Δt，因φ分＝ω分
Δt，φ秒＝ω秒
Δt，φ秒－φ分＝2π，得Δt＝＝
s＝
s＝
min，故C正确．
5．如图所示的装置可测量子弹的飞行速度．在一根轴上相隔s＝1
m处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两盘以n＝3
000
r/min的转速匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为30°，子弹飞行速度大小可能是( B )
A．500
m/s
B．600
m/s
C．700
m/s
D．800
m/s
解析：转速n＝3
000
r/min＝50
r/s，圆盘的角速度ω＝2nπ＝100π
rad/s.子弹穿透两盘时，两小孔所在半径夹角为30°，说明盘转过的角度为
所以，子弹穿过两盘所用时间为：
由于子弹在沿两盘轴线方向做匀速直线运动，
所以子弹的飞行速度为
取不同的n，求得速度，只有v＝600
m/s符合，所以B正确．
子弹在两盘间飞行的同时，两盘都在转动，并且在这一段时间内圆盘转过的角度可能超过2π，因而考虑圆盘转过的角度时，应注意它的可能性，避免漏解．
二、多项选择题
6．甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( AD )
A．它们的半径之比为2∶9
B．它们的半径之比为1∶2
C．它们的周期之比为2∶3
D．它们的周期之比为1∶3
解析：由v＝ωr，得r＝，＝＝，A对，B错；由T＝，得T甲∶T乙＝∶＝，C错，D对．
7．如图所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( BC )
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
解析：主动轮顺时针转动时，皮带带动从动轮逆时针转动，A项错误，B项正确；由于两轮边缘线速度大小相同，根据v＝2πrn，可得两轮转速与半径成反比，所以C项正确，D项错误．
8．做匀速圆周运动的物体( CD )
A．因相等时间内通过的弧长相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1
s内转过30°，则角速度为300
rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成正比
D．若半径为r，周期为T，则线速度v＝2πr/T
解析：线速度v＝s/t，反映质点沿圆弧运动的快慢程度，是矢量，大小恒定，方向沿圆弧切线方向，在不断地改变，故不能说v恒定．
三、非选择题
9．如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，在其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝R，圆盘转动的角速度ω＝2nπ(n＝1,2,3，…)．
解析：小球做平抛运动，在竖直方向上有h＝gt2，则运动时间t＝.
又因为水平位移为R，所以小球的初速度
v＝＝R.
在时间t内圆盘转过的角度θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt，则圆盘转动的角速度ω＝＝
＝2nπ(n＝1,2,3，…)
10．如图所示为录音机在工作时的示意图，轮子1是主动轮，轮子2为从动轮，轮1和轮2就是磁带盒内的两个转盘，空带一边半径为r1＝0.5
cm，满带一边半径为r2＝3
cm，已知主动轮转速不变，恒为n1＝36
r/min，试求：
(1)从动轮2的转速变化范围；
(2)磁带运动的速度变化范围．
答案：(1)6
r/min～216
r/min (2)0.019
m/s～0.113
m/s
解析：本题应抓住主动轮(r1)的角速度恒定不变这一特征，再根据同一时刻两轮磁带走动的线速度相等，从磁带转动时半径的变化来求解．
(1)因为v＝rω，且两轮边缘上各点的线速度相等，所以
r2＝r1，即n2＝n1.
当r2＝3
cm时，从动轮2的转速最小，nmin＝×36
r/min＝6
r/min.当磁带走完，即r2＝0.5
cm，r1＝3
cm时，从动轮2的转速最大，为nmax＝n1＝×36
r/min＝216
r/min，故从动轮2的转速变化范围是6
r/min～216
r/min.
(2)由v＝r1得，r1＝0.5
cm时
v2＝0.5×10－2×2π×
m/s≈0.019
m/s.
r1＝3
cm时，v′2＝3×10－2×2π×
m/s≈0.113
m/s.
故磁带运动的速度变化范围是0.019
m/s～0.113
m/s.
11．如图所示，钻床的电动机轴上的塔轮1、2、3和钻轴上的塔轮4、5、6的直径分别是d1＝d6＝160
mm，d2＝d5＝180
mm，d3＝d4＝200
mm，电动机的转速n＝900
r/min，求：
(1)皮带在2、5两轮时，钻轴的转速是多少？
(2)皮带在1、4两轮时，钻轴的转速是多少？
(3)皮带在3、6两轮时，钻轴的转速是多少？
答案：(1)900
r/min (2)720
r/min (3)1
125
r/min
解析：皮带传动中两轮边缘的线速度相等，由v＝ωr＝和ω＝2πn得v＝πnd.
(1)当皮带在2、5两轮上时，由v2＝v5，得＝，此时钻轴的转速n5＝＝×900
r/min＝900
r/min.
(2)同理，当皮带在1、4两轮上时，钻轴的转速n4＝＝×900
r/min＝720
r/min.
(3)同理，皮带在3、6两轮上时，钻轴的转速n6＝＝×900
r/min＝1
125
r/min.
12．如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，顶部有入口A，在A的正下方h处有出口B.一质量为m的小球从入口A沿圆筒壁切线方向水平射入圆筒内，要使小球从出口B飞出，小球进入入口A处的速度v0应满足什么条件？
答案：v0＝nπR(n＝1,2,3，…)
解析：该题中小球的运动轨迹是空间螺旋曲线，可将其分解为两个简单的分运动：一个是以初速度v0在筒内壁弹力作用下做匀速圆周运动，如图甲所示；另一个是在重力作用下做自由落体运动．因此若将圆筒沿直线AB展开为平面，则小球沿圆筒壁的运动是平抛运动，如图乙所示．据此得小球在筒内运动的时间t＝.
由题设条件得水平方向的位移应是圆周长的整数倍，即
l＝v0t＝2nπR(n＝1,2,3，…)．
联立以上两式得v0＝nπR
(n＝1,2,3，…)．
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7向心加速度
一、单项选择题
1．关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( B )
A．它描述的是线速度大小变化的快慢
B．它描述的是线速度方向变化的快慢
C．它描述的是物体运动的路程变化的快慢
D．它描述的是角速度变化的快慢
解析：向心加速度描述了线速度方向变化的快慢，故选B.
2．一物体以12
m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为3
s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( D )
A.m/s2
B．8
m/s2
C．0
D.8π
m/s2
解析：由于物体的线速度v＝12
m/s，角速度ω＝＝rad/s.
所以它的速度变化率an＝vω＝12×m/s2＝8π
m/s2，D对．
3．如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( D )
A．加速度为零
B．加速度恒定
C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心
D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心
解析：由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误．
4．做圆周运动的两物体A与B，它们的向心加速度分别为aA与aB，并且aA>aB，则可知( C )
A．A的线速度大于B的线速度
B．A的轨道半径一定较小
C．A的速度比B的速度变化得快
D．A的角速度比B的角速度小
解析：由an＝＝ω2r知an同时与r、ω、v中的两个有关系，故不能判定r、ω、v的大小，选项A、B、D错误；向心加速度的大小表示速度方向变化的快慢，故选项C正确．
5．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：物体抛出后在最高点的加速度为g，水平速度为v0cosα，由向心加速度公式a＝得g＝，故P点曲率半径ρ＝，C项正确．
6．如图所示为质点P、Q做匀速圆周运动时向心加速度随半径变化的图线，表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线，由图线可知( A )
A．质点P的线速度大小不变
B．质点P的角速度大小不变
C．质点Q的角速度随半径变化
D．质点Q的线速度大小不变
解析：由图像知，质点P的向心加速度随半径r的变化曲线是双曲线，因此可以判定质点P的向心加速度aP与半径r的积是一个常数k，即aPr＝k，aP＝，与向心加速度的计算公式aP＝对照可得v2＝k，即质点P的线速度v＝，大小不变，A选项正确；同理，知道质点Q的向心加速度aQ＝k′r与a＝ω2r对照可知ω2＝k′，ω＝(常数)，质点Q的角速度保持不变．因此选项B、C、D皆不正确．
二、多项选择题
7．如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( BCD )
A．a、b两点的线速度相同
B．a、b两点的角速度相同
C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝∶2
D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝∶2
解析：由于a、b两点在同一球体上，因此a、b两点的角速度ω相同，B正确；由v＝ωr知va8．如图所示，一小物块以大小为a＝4
m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1
m，则下列说法正确的是( AB )
A．小球运动的角速度为2
rad/s
B．小球做圆周运动的周期为π
s
C．小球在t＝
s内通过的位移大小为
m
D．小球在π
s内通过的路程为零
解析：由a＝r求出小球的运动周期T＝π
s，ω＝＝2
rad/s，小球在
s内转过90°通过的位移为R，π
s内转过一周，路程为2πR.
三、非选择题
9．一质点沿着半径r＝1
m的圆周以n＝2
r/s的转速匀速转动，如图所示．试求：
(1)从A点开始计时，经过
s的时间质点速度的变化；
(2)质点的向心加速度的大小．
答案：(1)Δv＝－8π
m/s，方向与A点速度方向相反
(2)16π2
m/s2
解析：(1)ω＝2nπ＝2×2π
rad/s＝4π
rad/s，
v＝ωr＝4π×1
m/s＝4π
m/s
s转过180°，速度与原来速度方向相反即－v，质点速度的变化为Δv＝－v－v＝－8π
m/s.
(2)an＝ω2r＝(4π)2×1
m/s2＝16π2
m/s2.
10．一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4
rad/s，盘面上距盘中心0.01
m的位置有一个质量为0.1
kg的小物体能够随盘一起转动，如图所示．求物体转动的向心加速度的大小和方向．
答案：0.16
m/s2，方向指向圆心．
解析：由a＝rω2得：a＝0.01×42
m/s2＝0.16
m/s2.
11．如图所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？
答案：2∶3
解析：悬绳碰到钉子前瞬间，设小球的线速度大小为v，做圆周运动的半径为L，向心加速度a1＝，悬绳碰到钉子后瞬间，线速度大小不变，做圆周运动的半径变为L，向心加速度a2＝，所以，碰到钉子前后的向心加速度之比a1∶a2＝2∶3.
12．如图所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小．
答案：π2
g
解析：设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足R＝gt2，得t＝，这段时间内甲运动了T，即
T＝①
又由于a＝Rω2＝R②
由①②得，a＝π2g.
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7向心力
一、单项选择题
1．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同时间里甲转过60°，乙转过45°，它们的向心力之比为( C )
A．1∶4
B.2∶3
C．4∶9
D.9∶16
解析：由匀速圆周运动的向心力公式Fn＝mω2r＝m()2r，所以＝＝×()2×＝，故C正确．
2．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于( A )
A．m
B．m
C．m
D．mg
解析：空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F升，两力的合力为F，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与F垂直，故F升＝，又F＝m，联立解得F升＝m
.
3．如图所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有( B )
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
解析：以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心．以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，即方向指向圆心，由牛顿第三定律，A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力，故B正确．
4．如图所示，M能在水平光滑杆上自由滑动，光滑杆连架装在转盘上．M用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为m的物体相连．当转盘以角速度ω转动时，M离轴距离为r，且恰能保持稳定转动．当转盘转速增至原来的2倍，调整r使之达到新的稳定转动状态，则滑块M( B )
A．所受向心力变为原来的2倍
B．线速度变为原来的
C．半径r变为原来的
D．M的角速度变为原来的
解析：转速增加，再次稳定时，M做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然等于m的重力，所以向心力不变．故A错误．转速增至原来的2倍，则角速度变为原来的2倍，根据F＝mrω2，向心力不变，则r变为原来的.根据v＝rω，线速度变为原来的，故B正确，C、D错误．
5．如图所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下，两小环同时滑到大环底部时，速度都为v，则此时大圆环对轻杆的拉力大小为( C )
A．(2m＋2M)g
B．Mg－2m
C．2m＋Mg
D．2m＋Mg
解析：两环在最低点受到重力和大环的弹力作用，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，所以大环对两小环的弹力都为mg＋m.根据牛顿第三定律可知，两环对大环向下的弹力也都为mg＋m.以大环为研究对象，由力的平衡可求出轻杆对大环的拉力为2m＋Mg，即大环对轻杆的拉力也为2m＋Mg，选项C正确．
二、多项选择题
6．如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( CD )
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：小球受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳子方向的分力的合力，正确选项为C、D.
7．如图所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动．若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是
( BCD )
A.A、B两球受到的向心力之比为2∶1
B．A、B两球角速度之比为1∶1
C．A、B两球运动半径之比为1∶2
D．A、B两球向心加速度之比为1∶2
解析：两球的向心力都由细绳拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错，B对．设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确．由牛顿第二定律F＝ma可知aA∶aB＝1∶2，D正确．
8．如图所示，一个光滑的圆环M，穿着一个小环N，圆环M以竖直的AOB轴为转轴，做匀速转动，那么( AD )
A．环N所受的力是N的重力及M对N的支持力
B．环N所受的力是N的重力及N对M的压力
C．环N的向心力方向是指向大环圆心的
D．环N的向心力方向是垂直指向转轴的
解析：环N在垂直于AOB轴的平面上做圆周运动，因此N不是绕O做圆周运动，所以N的向心力不是指向大圆的圆心，而是垂直指向转轴的．N受到重力和环M提供的支持力．支持力在竖直方向的分量与重力平衡，水平方向的分量垂直指向轴AOB，提供N做圆周运动的向心力．
三、非选择题
9．质点沿半径为r的圆做匀速圆周运动，其向心力的大小为F，当使它的半径不变，使角速度增大到原来的2倍时，其向心力的大小比原来增大15
N，则原来的向心力的大小F＝5
N.
解析：设质点做匀速圆周运动的角速度为ω，质点的质量为m.
则依据向心力公式有F＝mrω2，
当半径不变，使角速度增大到原来的2倍时，再依据向心力公式有F＋15
N＝4mrω2，联立以上两式解得F＝5
N.
10．如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合．转台以一定角速度ω匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度大小为g.若ω＝ω0，小物块受到的摩擦力恰好为零，求ω0.
答案：
解析：
对小球受力分析如图所示，
由牛顿第二定律知
mgtan
θ＝mω2·Rsin
θ
得ω0＝.
11．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系.
答案：ω＝
解析：对座椅进行受力分析，如图所示．
y轴上：Fcosθ＝mg，①
x轴上：Fsinθ＝mω2(r＋Lsinθ)，②
则由得：tanθ＝，
因此ω＝.
12．如图所示，水平转盘上放一小木块，当转速为60
r/min时，木块离轴8
cm，并恰好与转盘间无相对滑动；当转速增加到120
r/min时，木块应放在离轴多远处才能刚好与转盘保持相对静止．
答案：2
cm
解析：木块刚好与转盘保持相对静止时，它们间的最大静摩擦力充当其随转盘做匀速圆周运动的向心力，则
Fn＝mωr1＝mωr2 ①
ω1＝2πn1 ②
ω2＝2πn2 ③
由①②③得r2＝＝＝2×8
cm＝2
cm.
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8生活中的圆周运动
一、单项选择题
1．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大，当汽车速率增为原来的2倍时，若要不发生险情，则汽车转弯的轨道半径必须( D )
A．减为原来的
B．减为原来的
C．增为原来的2倍
D．增为原来的4倍
解析：汽车在水平地面上转弯，向心力由静摩擦力提供．设汽车质量为m，汽车与地面间的动摩擦因数为μ，汽车转弯的轨道半径为r，则μmg＝m，故r∝v2，故速率增大到原来的2倍时，转弯的轨道半径增大到原来的4倍，D正确．
2．铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如右图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( C )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan
θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，FNcos
θ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C正确，A、B、D错误．
3．当汽车驶向一凸形桥时，为使在通过桥顶时，减小汽车对桥的压力，司机应
( B )
A．以尽可能小的速度通过桥顶
B．增大速度通过桥顶
C．以任何速度匀速通过桥顶
D．使通过桥顶的向心加速度尽可能小
解析：设质量为m的车以速度v经过半径为R的桥顶，则车受到的支持力FN＝mg－m，故车的速度v越大，压力越小．而a＝，即FN＝mg－ma，向心加速度越大，压力越小，综上所述，选项B符合题意．
4．城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( A )
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N＝mg－m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
解析：由圆周运动的知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向向下，由牛顿第二定律得mg－N＝m，解得N＝mg－m5．无缝钢管的制作原理如图所示，竖直平面内，管状模型置于两个支承轮上，支承轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心作用，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( C )
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
解析：铁水是由于离心作用覆盖在模型内壁上的，模型对它的弹力和重力的合力提供向心力，选项A错误；模型最下部受到的铁水的作用力最大，最上方受到的作用力最小，选项B错误；最上部的铁水如果恰好不离开模型内壁，则重力提供向心力，由mg＝mRω2，可得ω＝，故管状模型转动的角速度ω至少为
，选项C正确，D错误．
二、多项选择题
6．火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定．若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法中正确的是( AC )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
解析：当以v的速度通过此弯路时，向心力由火车的重力和轨道的支持力的合力提供，A对，B错；当速度大于v时，火车的重力和轨道的支持力的合力小于向心力，外轨对轮缘有向内的弹力，轮缘挤压外轨，C对，D错．
7.如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱( BD )
A．运动周期为
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
解析：A错：座舱的周期T＝＝.B对：根据线速度与角速度的关系，v＝ωR.C错，D对：座舱做匀速圆周运动，摩天轮对座舱的作用力与重力大小不相等，其合力提供向心力，合力大小为F合＝mω2R.
8．在某些地方到现在还要依靠滑铁索过江(如图甲)，若把这滑铁索过江简化成图乙的模型，铁索的两个固定点A、B在同一水平面内，AB间的距离为L＝80
m，绳索的最低点离AB间的垂直距离为h＝8
m，若把绳索看作是圆弧，已知一质量m＝52
kg的人借助滑轮(滑轮质量不计)滑到最低点的速度为10
m/s(g取10
m/s2)，那么( BC )
A．人在整个绳索上运动可看成是匀速圆周运动
B．可求得绳索的圆弧半径为104
m
C．人在滑到最低点时对绳索的压力为570
N
D．在滑到最低点时人处于失重状态
解析：人借助滑轮下滑过程中，速度大小是变化的，所以人在整个绳索上运动不能看成匀速圆周运动，故A错误．设绳索的圆弧半径为R，则由几何知识得，R2＝402＋(R－8)2，得R＝104
m，故B正确．在最低点对人由牛顿第二定律得F－mg＝m，所以F＝570
N，此时人处于超重状态，故C正确、D错误．
三、非选择题
9．飞机由俯冲转为拉起的一段轨迹可看做一段圆弧，如图所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r＝180
m的圆周运动，如果飞行员的体重m＝70
kg，飞机经过最低点P时的速度v＝360
km/h，则这时飞行员对座位的压力为4_589
N．(g取10
m/s2)
解析：飞机在最低点的速度v＝100
m/s，此时座位对飞行员的支持力与飞行员所受重力的合力提供所需要的向心力：
FN－mg＝mv2/r
可得FN＝mg＋mv2/r≈4
589
N.
根据牛顿第三定律可知飞行员对座位的压力为4
589
N，方向向下．
10．图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋．若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10
m，质点的质量m＝60
kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0
m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°(不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10
m/s2)．求质点与转盘一起做匀速圆周运动时，
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小．
答案：(1)750
N (2)
rad/s
解析：(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析：
Fcos37°－mg＝0，
得F＝＝750
N.
(2)根据牛顿第二定律有：mgtan37°＝mω2R，
可得ω＝＝＝
rad/s.
11．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1
kg，内部盛水质量m2＝0.4
kg，拉碗的绳子长l＝0.5
m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9
m/s，通过最低点的速度v2＝10
m/s，求：
(1)碗在最高点时绳的拉力及水对碗的压力；
(2)碗在最低点时绳的拉力及水对碗的压力．
(g＝10
m/s2)
答案：(1)76
N 60.8
N (2)105
N 84
N
解析：(1)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5
kg，FT1＋mg＝，FT1＝－mg＝(0.5×－0.5×10)
N＝76
N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，F1＋m2g＝，F1＝60.8
N，水对碗的压力F1′＝F1＝60.8
N，方向竖直向上．
(2)对水和碗：m＝m1＋m2＝0.5
kg，FT2－mg＝，FT2＝＋mg＝105
N，以水为研究对象，F2－m2g＝，F2＝84
N，水对碗的压力F2′＝F2＝84
N，方向竖直向下．
12．在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r＝100
m，路面倾角为θ，且tan
θ＝0.4，取g＝10
m/s2.
(1)求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度.
(2)若弯道处侧向动摩擦因数μ＝0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．
答案：(1)20
m/s (2)15
m/s
解析：(1)如图甲所示，当汽车通过弯道时，做水平面内的圆周运动，不出现侧向摩擦力时，汽车受到重力G和路面的支持力N两个力作用，两力的合力提供汽车做圆周运动的向心力．则有mgtan
θ＝m
所以v0＝＝
m/s＝20
m/s.
(2)当汽车以最大速度通过弯道时的受力分析如图乙所示．将支持力N和摩擦力f进行正交分解，有
N1＝Ncos
θ，N2＝Nsin
θ，f1＝fsin
θ，f2＝fcos
θ
所以有G＋f1＝N1，N2＋f2＝F向，且f＝μN
由以上各式可解得向心力为
F向＝mg＝mg
根据F向＝m可得
v＝＝
m/s
＝15
m/s.
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