匀速圆周运动快慢的描述
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A.物体处于平衡状态
B.物体所受的合外力为零
C.物体的运动状态可能不发生变化
D.物体转动的角速度不变
【解析】选D。匀速圆周运动容易被误解是一种平衡状态，事实上其线速度方向时刻在变化，是变速运动。故D正确，A、B、C错误。
【加固训练】
一质点做匀速圆周运动，则下列说法中错误的是
( )
A.在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等
B.在任何相等的时间里，质点的平均速度都相同
C.在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等
D.转过任何一圈所用时间都相等
【解析】选B。如图所示，经，质点由A到B，再经，质点由B到C，由于线速度大小不变，根据线速度的定义，Δs=v·，所以相等时间内通过的路程相等，A正确，但位移xAB、xBC大小相等，方向并不相同，平均速度不同，B错误；由角速度的定义ω=知Δt相同，Δθ=ωΔt相同，C、D正确。
2.如图为一种早期的自行车，这种不带链条传动的自行车前轮的直径很大，这样的设计在当时主要是为了
( )
A.骑行方便
B.提高稳定性
C.提高速度
D.减小阻力
【解析】选C。由v=rω知，人骑自行车时，角速度一定，即前轮的角速度一定，半径越大，线速度越大，所以是为了提高速度。故C正确，A、B、D错误。
3.转笔是一项深受广大学生喜爱的休闲活动，如图所示，长为L的笔绕笔杆上的O点做圆周运动，当笔尖的速度为v1时，笔帽的速度为v2，则转轴O到笔尖的距离为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C。笔尖与笔帽的角速度相等，根据v=rω知，=，又r1+r2=L，所以r1=L。故C正确，A、B、D错误。
4.一般的转动机械上都标有“转速×××
r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的。下列有关转速的说法正确的是
( )
A.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大
B.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大
C.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大
D.转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的频率一定越小
【解析】选B。转速n越大，角速度ω=2πn=2πf一定越大，f越大，周期T==一定越小，由v=ωr知只有r一定时，ω越大，v才越大。故B正确，A、C、D错误。
5.如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3。若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A。设轮边缘的线速度为v，则有：v=ω1r1=ω2r2=ω3r3，所以丙轮的角速度：ω3==。故A正确，B、C、D错误。
6.如图所示，两个轮子的半径均为R，两轮的转轴O1、O2在同一水平面上，相互平行，相距为d，两轮均以角速度ω逆时针方向匀速转动。将一长木板置于两轮上，当木板的重心位于右轮正上方时，木板与两轮间已不再有相对滑动。若木板的长度L>2d，则木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方所需的时间
是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B。木板与两轮间无相对滑动时，木板运动的速度与轮边缘的线速度相同，由题意知木板的重心由右轮正上方移到左轮正上方过程中的位移大小为d，则有d=ωRt，得t=，故B正确，A、C、D错误。
二、非选择题(本题共2小题，共24分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(12分)如图是磁带录音机的磁带盒的示意图，A、B为缠绕磁带的两个轮子，两轮的半径均为r，在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径R=3r，现在进行倒带，使磁带绕到A轮上。倒带时A轮是主动轮，其角速度是恒定的，B轮是从动轮，经测定，磁带全部绕到A轮上需要时间为t，从开始倒带到A、B两轮的角速度相等的过程中，磁带的运动速度_______(选填“变大”“变小”或“不变”)，所需时间_______(选填“大于”“小于”或“等于”)。?
【解析】A和B两个转动轮通过磁带连在一起，线速度大小相等，A轮是主动轮，其角速度是恒定的，随着磁带逐渐绕在A轮上，A轮的半径逐渐变大，线速度vA=ωARA逐渐变大，B轮上面的磁带逐渐减少，角速度ωB===，当角速度相等时，两个磁带轮的半径相等，即刚好有一半的磁带绕在A轮上，由于线速度逐渐变大，剩下的一半磁带将比前一半磁带用的时间短，所以从开始倒带到A、B两轮的角速度相等的过程中，所用时间大于。
答案：变大 大于
8.(12分)如图所示，A、B两个齿轮的齿数分别是z1、z2，各自固定在过O1、O2的轴上，其中过O1的轴与电动机相连接，此轴每分钟转速为n1。求：
(1)B齿轮的转速n2。
(2)A、B两齿轮的半径之比。
(3)在时间t内，A、B两齿轮转过的角度之比。
【解析】(1)齿轮的转速与齿数成反比，所以B齿轮的转速：n2=n1。
(2)齿轮A边缘的线速度：
v1=ω1r1=2πn1r1
齿轮B边缘的线速度：
v2=ω2r2=2πn2r2
因两齿轮边缘上点的线速度大小相等，
即：v1=v2
所以：2πn1r1=2πn2r2，
即两齿轮半径之比：
r1∶r2=n2∶n1=z1∶z2。
(3)在时间t内A、B转过的角度分别为：
φA=ω1t=2πn1t，φB=ω2t=2πn2t
转过的角度之比：φA∶φB=n1∶n2=z2∶z1。
答案：(1)n1 (2)z1∶z2 (3)z2∶z1
(15分钟·40分)
9.(6分)(多选)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为RB∶RC=3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B轮也随之无滑动地转动起来。a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、c三点在运动过程中的
( )
A.线速度大小之比为3∶3∶2
B.角速度之比为3∶3∶2
C.转速之比为2∶3∶2
D.周期之比为2∶3∶3
【解析】选A、D。轮A、轮B靠摩擦传动，边缘点线速度大小相等，故：va∶vb=1∶1
根据公式v=rω，有：ωa∶ωb=3∶2
根据ω=2πn，有：na∶nb=3∶2
根据T=，有：Ta∶Tb=2∶3
轮B、轮C是同轴转动，角速度相等，故：
ωb∶ωc=1∶1
根据公式v=rω，有：vb∶vc=3∶2
根据ω=2πn，有：nb∶nc=1∶1
根据T=，有：Tb∶Tc=1∶1
综合得到：va∶vb∶vc=3∶3∶2
ωa∶ωb∶ωc=3∶2∶2
na∶nb∶nc=3∶2∶2
Ta∶Tb∶Tc=2∶3∶3。
故A、D正确，B、C错误。
10.(6分)风速仪结构如图甲所示。光源发出的光经光纤传输，被探测器接收，当风轮旋转时，通过齿轮带动凸轮圆盘旋转，当圆盘上的凸轮经过透镜系统时光被挡住。已知风轮叶片转动半径为
r，每转动n圈带动凸轮圆盘转动一圈。若某段时间Δt内探测器接收到的光强随时间变化关系如图乙所示，则该时间段内风轮叶片
( )
A.转速逐渐减小，平均速率为
B.转速逐渐减小，平均速率为
C.转速逐渐增大，平均速率为
D.转速逐渐增大
，平均速率为
【解析】选B。根据题意，从图乙可以看出，在Δt时间内，探测器接收到光的时间在增长，凸轮圆盘的挡光时间也在增长，可以确定圆盘凸轮的转动速度在减小；在Δt时间内可以从图看出有4次挡光，即凸轮圆盘转动4周，则风轮叶片转动了4n周，风轮叶片转过的弧长为l=4n×2πr，叶片转动速率为v=，故选项B正确。
11.(6分)子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔(从A位置射入，B位置射出，如图所示)。OA、OB之间的夹角θ=，已知圆筒半径R=0.5
m，子弹始终以v0=60
m/s的速度沿水平方向运动(不考虑重力的作用)，则圆筒的转速可能是
( )
A.20
r/s
B.60
r/s
C.100
r/s
D.140
r/s
【解题指南】解答本题注意以下两点：
(1)匀速圆周运动具有周期性。如果一个问题既含有匀速圆周运动，又含有其他的运动，则可能产生多解。
(2)抓住两种运动的关键连接点、时间相等。
【解析】选C。OA、OB之间的夹角θ=，所以A与B之间的距离等于R，在子弹飞行的时间内，
圆筒转动的角度为(2n-)π，n=1、2、3…，
则时间：t=，(n=1、2、3…)。
所以子弹的速度：
v0====，(n=1、2、3…)
解得：ω=2(2n-)π·v0，(n=1、2、3…)。
则：T===
转速：N==(2n-)v0，(n=1、2、3…)
当n=1时，N=×60
r/s=100
r/s
当n=2时，N=×60
r/s=220
r/s
故C正确，A、B、D错误。
12.(22分)如图所示，小球A在半径为R的光滑圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中的a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求：
(1)B球抛出时的水平速度多大？
(2)A球运动的线速度最小值为多大？
【解析】(1)小球B做平抛运动，其在水平方向上做匀速直线运动，设小球B的水平速度为v0，
则R=v0t
①
在竖直方向上做自由落体运动，则
h=gt2
②
由①②得v0==R。
(2)A球的线速度取最小值时，A球刚好转过一圈，B球落到a点与A球相碰，则A球做圆周运动的周期正好等于B球的飞行时间，即T=，所以vA==2πR。
答案：(1)R (2)2πR
【加固训练】
一半径为R、边缘距地高h的雨伞绕伞柄以角速度ω匀速旋转时(如图所示)，雨滴沿伞边缘的切线方向飞出。则：
(1)雨滴离开伞时的速度v多大？
(2)甩出的雨滴在落地过程中发生的水平位移多大？
(3)甩出的雨滴在地面上形成一个圆，求此圆的半径r为多少？
【解析】(1)雨滴离开伞时的速度v=ωR。
(2)根据h=gt2得，t=，
则雨滴落地时发生的水平位移
x=vt=ωR。
(3)根据几何关系得，r==。
答案：(1)ωR (2)ωR
(3)
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10
-向心力与向心加速度
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.关于向心加速度，下列说法正确的是
( )
A.向心加速度是描述线速度方向变化快慢的物理量
B.向心加速度是描述线速度大小变化快慢的物理量
C.向心加速度是描述角速度变化快慢的物理量
D.向心加速度的方向始终保持不变
【解析】选A。圆周运动的向心加速度只改变速度的方向，不改变速度大小，向心加速度描述的是线速度方向变化快慢的物理量；对于匀速圆周运动，角速度不变，可知向心加速度不是描述角速度变化快慢的物理量；向心加速度的方向始终指向圆心，时刻在改变。故A正确，B、C、D错误。
2.如图所示，质量相等的A、B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上，两物块始终相对于圆盘静止，且A到轴的距离是B到轴的距离的2倍，则两物块所受摩擦力大小之比fB∶fA为
( )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
【解析】选B。由于A、B在同一转盘上无相对运动，因此它们的角速度相等，故ωA∶ωB=1∶1：根据摩擦力提供向心力，f=mω2r可知，质量相等，角速度相等，A到轴的距离是B到轴的距离的2倍，则摩擦力之比等于半径之比为fB∶fA=1∶2。故B正确，A、C、D错误。
3.如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑。图中轮上A、B两点所在皮带轮半径分别为rA、rB，且rA=2rB，则
( )
A.A、B两点的线速度之比为2∶1
B.A、B两点的角速度之比为2∶1
C.A、B两点的周期之比为2∶1
D.A、B两点的向心加速度之比为2∶1
【解析】选C。点A和点B是同缘传动的边缘点，线速度大小相等，vA=vB；根据线速度与角速度的关系可知，v=ωr，rA=2rB，则A、B两点的角速度之比为1∶2；根据角速度与周期的关系可知，T=，A、B两点的周期之比为2∶1；向心加速度a=，半径之比为2∶1，则向心加速度大小之比为1∶2。故C正确，A、B、D错误。
【加固训练】
如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是
( )
A.aC=aD=2aE
B.aC=2aD=2aE
C.aC=aD=2aE
D.aC=aD=aE
【解析】选C。同轴转动，C、E两点的角速度相等，由a=rω2，有=2，即aC=2aE，两轮边缘点的线速度大小相等，由a=，有=，即aC=aD，故C正确，A、B、D错误。
4.图甲和图乙分别是两种不同规格的洗衣机图片，二者的脱水桶内筒壁上有很多光滑的突起和小孔。洗衣机脱水时，衣物(可理想化为质点)紧贴着滚筒壁分别在竖直或水平面内做匀速圆周运动，如图丙、丁所示。图丙中，A、C分别为最高和最低位置，B、D与脱水筒圆心等高。将同一衣物分别放入两桶中脱水，在脱水过程中某一极短时间内，不考虑脱水引起的质量变化，下列说法中正确的是
( )
A.图丙中衣物在A、B、C、D四个位置的加速度相同
B.图丙中衣物在B、D位置和图丁中衣物在脱水筒侧壁各处受到的摩擦力均相同
C.图丁中衣物对筒壁的压力保持不变
D.图丁中脱水筒转动的角速度越大，衣物对筒壁的摩擦力越大
【解析】选B。衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中的加速度大小为a=，故加速度大小相等方向不同，故A错误；图丙中衣物在B、D位置，摩擦力跟重力大小相等，方向相反，故都向上，图丁中衣物在脱水筒侧壁各处受到的摩擦力跟重力大小相等，方向相反，故B正确；图丁中筒壁对衣物的支持力充当向心力，力为矢量，方向在改变，故C错误；图丁中衣物在脱水筒各处受到的摩擦力跟重力大小相等，方向相反，与脱水筒转动的角速度无关，故D错误。
5.“飞车走壁”杂技表演简化后的模型如图所示，表演者沿表演台的侧壁做匀速圆周运动。若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是
( )
A.摩托车做圆周运动的H越高，角速度越小
B.摩托车做圆周运动的H越高，线速度越小
C.摩托车做圆周运动的H越高，向心力越大
D.摩托车对侧壁的压力随高度H变大而减小
【解析】选A。摩托车做匀速圆周运动，提供圆周运动的向心力是重力mg和支持力F的合力，由摩托车受力图可知，F向=mgtanα，m、α不变，向心力大小不变，摩托车对侧壁的压力F=也是不变的，故C、D错误。根据牛顿第二定律：F向=mgtanα=mrω2，因为向心力不变，则H越高，r越大，则角速度越小，故A正确。根据牛顿第二定律得F向=m，H越高，r越大，F向不变，则v越大，故B错误。故选A。
【总结提升】匀速圆周运动几个常见模型及其向心力的分析
模型
受力分析
力的分析方法
6.如图所示，两根一样长的轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离和绳等长，已知重力加速度为g，现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，当小球在最高点速度为v时，两根细绳的拉力刚好为零，若使小球在最高点的速度为3v，则每根绳的拉力
为
( )
A.mg
B.mg
C.mg
D.4mg
【解析】选C。小球运动到最高点，细绳的拉力为零，重力为其提供向心力，即mg=，当小球运动至最高点速度变为3v时，需要向心力为F=mg+2Tcos30°=m，联立解得T=mg，故C正确，A、B、D错误。
二、计算题(本题共2小题，共24分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(12分)如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S与转动轴的距离是半径的，当大轮边缘上P点的向心加速度是12
m/s2时，大轮上的S点和小轮边缘上的Q点的向心加速度分别为多大？
【解析】设S和P到大轮轴心的距离分别为rS和rP，由向心加速度公式a=rω2，且ωS=ωP可知，S与P两点的向心加速度之比为=
解得aS=aP=4
m/s2
设小轮半径为rQ，由向心加速度公式a=，且vP=vQ，可得Q与P两点的向心加速度之比为=
解得aQ=aP=24
m/s2。
答案：4
m/s2 24
m/s2
8.(12分)下课后，小丽在运动场上荡秋千。已知小丽的质量为40
kg，每根系秋千的绳子长为4
m，能承受的最大张力是300
N。如图，当秋千板摆到最低点时，速度为3
m/s。(g取10
m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、底座等不计质量)
(1)此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？
(2)此时，小丽对底座的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少？
(3)如果小丽到达最低点的速度为5
m/s，绳子会断吗？
【解析】(1)将小丽看成质点做圆周运动，
依题意可得向心力的大小为：F向=
所以F向=90
N
(2)小丽做圆周运动的向心力由重力和支持力提供。
由牛顿第二定律可得：F支-G=F向
所以支持力：F支=490
N
根据牛顿第三定律，则压力为：F压=F支=490
N
所以每根绳子受到的拉力T=F压=245
N
(3)当小丽到达最低点的速度为5
m/s，
所需要的向心力为F′向=
所以F′向=250
N
底座所受的压力为：F′压=F′支=G+F′向=650
N
所以每根绳子受到的拉力T′=325
N>绳子承受的最大张力300
N。
绳子会断裂，非常危险。
答案：(1)90
N (2)490
N 245
N
(3)如果小丽到达最低点的速度为5
m/s，绳子会断
(15分钟·40分)
9.(6分)游乐园里有一种叫“飞椅”的游乐项目，简化后的示意图如图所示。已知飞椅用钢绳系着，钢绳上端的悬点固定在顶部水平转盘上的圆周上。转盘绕穿过其中心的竖直轴匀速转动。稳定后，每根钢绳(含飞椅及游客)与转轴在同一竖直平面内。图中P、Q两位游客悬于同一个圆周上，P所在钢绳的长度大于Q所在钢绳的长度，钢绳与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2。不计钢绳的重力。下列判断正确的是
( )
A.P、Q两个飞椅的线速度大小相同
B.无论两个游客的质量分别有多大，θ1一定大于θ2
C.如果两个游客的质量相同，则有θ1等于θ2
D.如果两个游客的质量相同，则Q的向心力一定大于P的向心力
【解析】选B。重力与拉力的合力为mgtanθ，由mgtanθ=mω2htanθ解得：hP=hQ(h为钢绳延长线与转轴交点与游客所在水平面的高度)。由h=+Lcosθ(其中r为转盘半径，L为钢绳长度)得，L越小则θ越小。则θ1>θ2，与质量无关。则B正确，C错误；由R=r+Lsinθ可得，RP>RQ。角速度相同，则由v=rω可知半径不同线速度不同，则vP>vQ，故A错误；由向心力公式a=rω2可知Q的向心力一定小于P的向心力，则D错误。
【总结提升】圆锥摆模型特点
(1)物体在水平面内做匀速圆周运动。
(2)物体只受重力和摆线拉力两个力的作用。
(3)在竖直方向上物体重力与摆线拉力的竖直分力大小相等。
(4)在水平方向上摆线拉力的水平分力提供向心力。
【加固训练】
如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是
( )
A.A的角速度比B的大
B.A的线速度比B的大
C.悬挂A、B的缆绳所受的拉力一样大
D.悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小
【解析】选D。A、B两个座椅同轴转动，具有相同的角速度，故A错误；根据公式：v=ω·r，A的运动半径小，A的线速度小，故B错误；对任一座椅，受力如图所示。缆绳拉力的水平分力提供向心力，mgtanθ=mω2r，A的半径r较小，ω相等，则A与竖直方向夹角θ较小，又由=T可知，悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，故D正确，C错误。
10.(6分)如图所示，将完全相同的两个小球A、B，用长L=0.8
m的细绳悬于以v=4
m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止运动，此时悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10
m/s2)
( )
A.1∶1
B.1∶2
C.1∶3
D.1∶4
【解析】选C。小车突然停止，B球受到的拉力FB仍然等于小球的重力，A球要做圆周运动，由牛顿第二定律得FA-mg=m，解得FA=3
mg，所以FB∶FA=1∶3，C正确。
11.(6分)(多选)2019年5月1日，全国第一高辐条式摩天轮、芜湖新地标—133米“芜湖之眼”惊艳合圆，松鼠小镇免费开园！据悉，极具现代感和科技感的辐条式摩天轮座落于芜湖松鼠小镇，设有48个松果形状座位舱(其大小相对于摩天轮半径可忽略)，最多同时可容纳400人，每28分钟转动一周。在学习过圆周运动之后，某同学对竖直面内匀速转动的摩天轮提出了一些“猜想”，你认为其中正确的是
( )
A.乘客在乘坐过程中的线速度大小不变
B.每个乘客都在做加速度为零的匀速圆周运动
C.每时每刻，每个人受到的合力都不等于零
D.乘客在乘坐过程中对座位的压力始终不变
【解析】选A、C。乘客在乘坐过程中的线速度方向时刻改变，大小不变，故A正确；每个乘客的加速度a=≠0，故B错误；根据牛顿第二定律：F合=ma≠0，故C正确；取两个特殊位置的乘客对座位的压力进行分析比较，设乘客所受座位的支持力为F，最高点：mg-F=ma，得：F=mg-ma，最低点：F′-mg=ma，得：F′=mg+ma，可见乘客所受座位的支持力不相等，则乘客在乘坐过程中对座位的压力不相等，D错误。
【加固训练】
如图所示，一个圆形框架以竖直的直径为转轴匀速转动。在框架上套着两个质量相等的小球A、B，小球A、B到竖直转轴的距离相等，它们与圆形框架保持相对静止。下列说法正确的是
( )
A.小球A所受的合力小于小球B所受的合力
B.小球A与框架间可能没有摩擦力
C.小球B与框架间可能没有摩擦力
D.圆形框架以更大的角速度转动，小球B受到的摩擦力一定增大
【解析】选C。小球受到的合力充当向心力，因为小球A、B到竖直转轴的距离相等，所以两小球的速度大小相等，半径相等，由F合=m可知，两小球受到的合力大小相等，A错误；小球A受到的重力竖直向下，受到的支持力垂直圆形框架该点切线方向背离圆心，故两个力的合力不可能指向竖直转轴，所以一定受到摩擦力作用，小球B受到竖直向下的重力，垂直该点切线方向指向圆心的支持力，合力可能垂直指向竖直转轴，所以小球B可能不受摩擦力作用，B错误，C正确；当圆形框架以更大的角速度转动时，小球B受到的摩擦力可能增大，也可能减小，故D错误。
12.(22分)如图所示，用一根长为l=1
m
的细线，一端系一质量为m=1
kg
的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。(g取10
m/s2，结果可用根式表示)求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【解析】(1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平。
在水平方向上运用牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan
θ=mlsin
θ
解得：=，即ω0==
rad/s。
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：
mgtan
θ′=mω′2lsin
θ′
解得：ω′2=，即ω′==2
rad/s。
答案：(1)
rad/s (2)2
rad/s
【总结提升】水平面内圆周运动中临界问题的分析方法
(1)对物体的圆周运动进行动态分析，分析随转速的变化，向心力如何变化，物体的受力如何变化，通常会涉及弹力和摩擦力的分析。
(2)确定临界状态：临界状态往往是绳的拉力为零、弹力为零、静摩擦力为零或静摩擦力达到最大值等。
(3)求解变化范围：由圆周运动的知识求解临界状态时的最值，再由题意求出物理量的合理取值范围。
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-离心现象
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.以下不属于离心现象应用的是
( )
A.舞蹈演员在表演动作时，裙子会张开
B.链球运动员加速旋转到一定的速度后将链球抛开
C.离心干燥器使衣物干燥
D.锤头松了，将锤柄在石头上磕几下就可以把柄安牢
【解析】选D。裙子张开属于离心现象，链球由于受到的拉力突然消失而做离心运动，当衣服对水的吸附力不足以提供水做圆周运动时，水便会做离心运动从小孔甩出来，
锤头松了，将锤柄在石头上磕几下就可以把柄安牢，是惯性现象，与圆周运动无关。故D正确，A、B、C错误。
2.2019年12月17日，山东舰在海南三亚某军港交付海军。经中央军委批准，我国第一艘国产航母命名为“中国人民解放军海军山东舰”，舷号为“17”。假设山东舰质量为m=7×107
kg，如图是山东舰在海上转弯时的照片，假设整个过程中山东舰做匀速圆周运动，速度大小为20
m/s，圆周运动的半径为1
000
m，下列说法中正确的是(g取10
m/s2)
( )
A.在A点时水对舰的合力指向圆心
B.在A点时水对舰的合力大小约为F=7.0×108
N
C.在A点时水对舰的合力大小约为F=2.8×107
N
D.在A点时水对舰的合力大小为0
【解析】选B。舰船在运动的过程中受到重力与水的合力，总的合力的方向沿水平方向，提供向心力，即：F向=m=2.8×107
N，由于总合外力的方向指向圆心，所以水的合力的方向为斜向上。水的合力的大小：F=，代入数据可得：F≈7.0×108
N。故B正确，A、C、D错误。
3.如图所示，用长为L且不可伸长的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是
( )
A.小球在圆周最高点时的向心力一定是只由重力提供
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
D.小球过最低点时绳子的拉力有可能小于小球重力
【解析】选C。在最高点若速度比较大，则有F+mg=m，所以向心力不一定由重力提供。故A错误。当在最高点速度v=，此时F=0，重力提供向心力。此时的速度是小球做圆周运动在最高点的最小速度。故B错误，C正确。在最低点有：F-mg=m，拉力一定大于重力。故D错误。
【总结提升】竖直面内的圆周运动解题方法
(1)区分模型。先判断是“轻绳模型”还是“轻杆模型”。
(2)找到临界。根据不同模型的临界条件分析物体的受力，找出向心力的来源。
(3)建立方程。结合其他条件建立方程求解。
4.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示。当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用。行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样。它的优点是能够在现有线路上运行，勿须对线路等设施进行较大的改造，而是靠摆式车体的先进性，实现高速行车，并能达到既安全又舒适的要求。运行实践表明：摆式列车通过曲线速度可提高20～40%，最高可达50%，摆式列车不愧为“曲线冲刺能手”。假设有一超高速列车在水平面内行驶，以360
km/h的速度拐弯，拐弯半径为1
km，则质量为50
kg的乘客，在拐弯过程中所受到的火车给他的作用力为
(g取10
m/s2)
( )
A.500
N B.1
000
N C.500
N D.0
【解析】选C。根据牛顿第二定律知，F合=m=50×
N=500
N，根据平行四边形定则得N==500
N。故C正确，A、B、D错误。
5.杂技演员表演“水流星”，在长为0.9
m
的细绳的一端，系一个与水的总质量为m=0.5
kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示。若“水流星”通过最高点时的速率为3
m/s，则下列说法正确的是(g取10
m/s2)
( )
A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到水的压力均为零
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5
N
【解析】选B。当绳的张力恰好为零时，对水和容器整体，根据牛顿第二定律有mg=m，解得v==
m/s=3
m/s。可知，“水流星”通过最高点的最小速度为3
m/s，绳的张力为零，此时整体的加速度为a=g，重力恰好完全提供向心力，处于完全失重状态，所以水对容器底压力为零，水不会从容器中流出，故选项B正确。
6.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上(如图所示)，顶部有一小物体A，今给它一个水平初速度v0=，则物体将
( )
A.沿球面下滑至M点
B.沿球面下滑至某一点N，便离开球面做斜下抛运动
C.沿半径大于R的新圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
【解析】选D。当v0=时，所需向心力Fn=m=mg，此时，物体与半球面顶部接触但无弹力作用，物体只受重力作用，故做平抛运动。
二、计算题(本题共2小题，共24分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(12分)有一辆质量为800
kg的小汽车驶上圆弧半径为50
m的拱桥。取重力加速度大小g=10
m/s2。
(1)若汽车到达桥顶时速度为5
m/s，求汽车对桥的压力大小。
(2)若汽车经过桥顶时恰好对桥顶没有压力而腾空，求汽车的速度大小。
【解析】(1)汽车到达桥顶时，重力和支持力的合力提供向心力，
据牛顿第二定律得：
mg-FN=m
解得：FN=7
600
N
据牛顿第三定律，汽车对桥顶的压力大小
FN′=FN=7
600
N
(2)汽车经过桥顶恰好对桥没有压力而腾空，则N=0，汽车做圆周运动的向心力完全由其自身重力来提供，有mg=m
解得：v0=10
m/s≈22.4
m/s
答案：(1)7
600
N (2)22.4
m/s
8.(12分)质量为0.2
kg的小球固定在长为0.9
m的轻杆一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动。(g取10
m/s2)求：
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零。
(2)当小球在最高点的速度分别为6
m/s和1.5
m/s时，球对杆的作用力。
【解析】(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时，重力提供向心力，则mg=m，解得v0=3
m/s。
(2)v1>v0，由牛顿第二定律得：mg+F1=m，由牛顿第三定律得：F1′=F1，解得F1′=6
N，方向竖直向上。
v2N，方向竖直向下。
答案：(1)3
m/s (2)6
N，方向竖直向上 1.5
N，方向竖直向下
(15分钟·40分)
9.(6分)如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是
( )
A.v的最小值为
B.v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大
C.当v由逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大
D.当v由逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐减小
【解析】选C。因为轨道内壁下侧可以提供支持力，则最高点的最小速度为零，故A错误；当v<时，此时管道下壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得：mg-N=m，且随着速度的增大，作用力N在逐渐减小；当v>，管道上壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得，mg+N=m，且随着速度的增大，作用力N在逐渐增大，故B错误，C正确；当v由逐渐减小时，从公式mg-N=m知，轨道对小球的弹力逐渐增大，故D错误。
10.(6分)如图所示，圆盘的圆心为O，转轴O1O2与水平面的夹角为θ，转轴O1O2通过O点与盘面垂直，B、D两点在通过O点的水平线上，AC⊥BD，圆盘匀速转动，一小物块(可视为质点)始终静止于圆盘的边缘。下列说法正确的是( )
A.通过B点时，物块受到的摩擦力由B指向O
B.通过C点时，物块受到的摩擦力由C指向O
C.通过A点时物块一定受到摩擦力
D.通过B、D两点时，物块受到的摩擦力相同
【解析】选B。物块随圆盘做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，一定指向O点，物块通过B点时，受到的摩擦力沿CA方向的分力f1与其所受重力沿AC方向的分力平衡，另一沿BO方向的分力f2提供向心力，故A错误；物块随圆盘做匀速圆周运动，通过C点时沿切线方向合力为零，切线方向不受摩擦力，故摩擦力一定由C指向O，故B正确；设圆盘的半径为R，物块的质量为m，当物块通过A点不受摩擦力时有mgsinθ=mω2R，解得：ω=，即当角速度合适时，在A点由重力的分力充当向心力，可不受摩擦力，故C错误；由对称性可知，物块通过B、D两点时，受到的摩擦力大小相等、方向不同，故D错误。
【加固训练】
汽车试车场中有一个检测汽车在极限状态下的车速的试车道，试车道呈锥面(漏斗状)，侧面图如图所示。测试的汽车质量m=1
t，车道转弯半径r=150
m，路面倾斜角θ=45°，路面与车胎的动摩擦因数μ为0.25，设路面与车胎的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。(g取10
m/s2)
(1)若汽车恰好不受路面摩擦力，则其速度应为多大？
(2)求汽车在该车道上所能允许的最小车速。
【解析】(1)汽车恰好不受路面摩擦力时，由重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mgtan
θ=m
解得：v≈38.7
m/s。
(2)当车道对车的摩擦力沿车道向上且等于最大静摩擦力时，车速最小，受力如图，根据牛顿第二定律得：
Nsin
θ-fcos
θ=m
Ncos
θ+fsin
θ-mg=0
f=μN
解得：vmin=30
m/s。
答案：(1)38.7
m/s (2)30
m/s
11.(6分)如图所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m的小球。当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选项中正确的是( )
A.L1=L2
B.L1>L2
C.L1D.前三种情况均有可能
【解析】选B。小球随汽车一起做圆周运动，小球的向心力是由重力和弹簧弹力的合力提供的，所以只有弹力减小才能使小球获得指向圆心的合力，小球才能做圆周运动。弹力减小，弹簧的形变量减小，故L1>L2，B正确。
12.(22分)“铁笼飞车”是经常表演的杂技节目。演员骑一辆摩托车在一个铁丝网制成的圆球内壁上下驰骋。为了保证安全，车轮胎与铁丝网之间必须有足够的挤压力，以避免摩托车失控。但挤压力又不能过大，以避免摩托车轮胎爆胎。已知铁丝网制成的圆球的半径为R，摩托车自身质量为M，演员质量为m，重力加速度为g。摩托车和演员可视为质点。
(1)若要求在圆球内壁最高点摩托车轮胎与铁丝网之间的挤压力不小于摩托车的重力(含演员)，则摩托车在最高点的速度的最小值是多少？
(2)若要求在圆球内壁最低点摩托车轮胎与铁丝网之间的挤压力不大于自重(摩托车和演员的总重力)的3倍，则摩托车在最低点的速度的最大值是多少？
【解析】(1)摩托车轮胎与铁丝网之间的挤压力不小于摩托车的重力，则摩托车轮胎与铁丝网之间的挤压力恰好等于摩托车的重力(含演员)时，重力与铁丝网的压力提供向心力，则：2(M+m)g=
摩托车在最高点的速度的最小值：vmin=。
(2)内壁最低点摩托车轮胎与铁丝网之间的挤压力等于自重的3倍，则：
3(M+m)g-(M+m)g=
则：摩托车在最低点的速度的最大值：vmax=。
答案：(1) (2)
【加固训练】
如图所示，水平长杆AB绕过B端的竖直轴OO′匀速转动，在杆上套有一个质量m=1
kg的圆环，若圆环与水平杆间的动摩擦因数μ=0.5，且假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等(g取10
m/s2)，求：
(1)当杆转动的角速度ω=2
rad/s时，圆环随杆转动的最大半径为多大。
(2)如果水平杆转动的角速度降为ω′=1.5
rad/s，圆环能否相对于杆静止在原位置，此时它所受的摩擦力有多大？
【解析】(1)圆环在水平面内做匀速圆周运动的向心力是杆施加给它的静摩擦力提供的，则最大向心力F向=μmg，代入公式F向=mRmaxω2，得Rmax=，代入数据可得Rmax=1.25
m。
(2)当水平杆转动的角速度降为1.5
rad/s时，圆环所需的向心力减小，则圆环所受的静摩擦力随之减小，不会相对于杆滑动，故圆环相对于杆仍静止在原来的位置，此时的静摩擦力f=mRmaxω′2≈2.81
N。
答案：(1)1.25
m (2)能 2.81
N
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