天地力的综合：万有引力定律
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.如图所示为哈雷彗星绕太阳运动的椭圆形轨道，O为轨道中心，F1、F2是椭圆轨道的两个焦点。若哈雷彗星经过A点的速度比经过B点的速度小，则太阳的位置是
( )
A.O B.F1 C.F2 D.B
【解析】选C。根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积，可知彗星在近日点的速度大，在远日点的速度小；由于在A点的速度比在B点的小，则A点为远日点，B点为近日点，所以太阳位于F2，故C正确，A、B、D错误。
2.为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期之比约为
( )
A.2∶1
B.4∶1
C.8∶1
D.16∶1
【解析】选C。卫星P、Q均围绕地球做匀速圆周运动，由开普勒第三定律可得：
=，解得==，选项C正确。
【加固训练】
已知两颗绕太阳运行的行星的质量m1=2m2，公转周期T1=2T2，则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比为
( )
A.=
B.=
C.=
D.=
【解析】选C。由=k知，=，则=，与行星质量无关，故选C。
3.发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是
( )
A.牛顿 卡文迪许
B.开普勒 伽利略
C.开普勒 卡文迪许
D.牛顿 伽利略
【解析】选A。牛顿总结了前人的研究成果，总结出万有引力定律；卡文迪许通过扭秤实验测得引力常量G。所以A正确，B、C、D错误。
4.(2020·全国Ⅰ卷)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为
( )
A.0.2
B.0.4
C.2.0
D.2.5
【解析】选B。物体在地球表面受到的引力F1=G，在火星表面受到的引力F2=G=0.4G，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值=0.4，故选项B正确，A、C、D错误。
5.宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象，若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为
( )
A.0
B.
C.
D.
【解析】选B。太空中重力等于万有引力，所以：mg′=G可得：g′=，则B正确，A、C、D错误。
6.牛顿在发现万有引力定律的过程中，很重要的一步叫“月地检验”。在月地检验中，牛顿假定使月亮绕地球转动的力和使苹果落向地面的力是同一种力，也跟太阳与行星的引力一样，满足平方反比关系。在已知地球表面重力加速度、月球轨道半径约为地球半径的60倍左右的情况下，由假设可以推理得出以下哪些结论
( )
A.月球绕地公转的周期约为地球自转周期的60倍
B.月球受到地球的引力约为苹果受到地球引力的
C.月球绕地球公转的向心加速度约为地球表面重力加速度的
D.月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的
【解析】选C。根据常识知月球绕地公转的周期为27天，地球自转周期为1天，所以月球绕地公转的周期约为地球自转周期的27倍，故A错误；根据万有引力定律F=G，由于不知道苹果质量与月球质量关系，所以月球受到地球的引力与苹果受到的引力大小关系不确定，故B错误；设物体质量为m，地球质量为M，地球半径为R，月球轨道半径r=60R，物体在月球轨道上运动时的加速度为a，由牛顿第二定律：G=ma
①；
地球表面物体重力等于万有引力：G=mg
②；
联立①②得：=，故C正确；对任一物体在星球表面受到的重力等于星球对物体的万有引力，即mg=G，即星球表面的重力加速度g=G，根据题意无法知道地球质量与月球的质量关系以及地球半径与月球的半径关系，故无法求出月球表面的重力加速度与地球表面的重力加速度的大小关系，故D错误。
二、计算题(本题共2小题，共24分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(12分)长度为38.9
m、宽度为35.8
m、高度为11.952
m
的大飞机C919是我国具有自主知识产权的干线民用飞机。某次空中两架质量均为7.2×104
kg的C919相距10
km，则这两架飞机之间的万有引力多大？
【解析】由题意知：m1=m2=7.2×104
kg，r=104
m
两飞机之间的距离远远大于飞机的体积，此时两飞机可视为质点，遵循万有引力的表达式F=G，可得两架飞机之间的万有引力为：
F1=6.67×10-11×
N≈3.5×10-9
N
答案：3.5×10-9
N
8.(12分)宇航员站在某一星球，从距离星球表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小。
(2)该星球的质量。
【解析】(1)由平抛运动的规律可知，在竖直方向小球做自由落体运动，h=gt2，所以g=
。
(2)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等，故有：mg=G，所以M==。
答案：(1) (2)
(15分钟·40分)
9.(6分)(多选)关于万有引力定律F=G，下列说法正确的是
( )
A.当两物体的距离r趋近于零时，物体间的万有引力F将趋近于无穷大
B.万有引力定律是开普勒发现的
C.引力常量G是英国物理学家卡文迪许测量得出的
D.两个质量分布均匀的分离球体之间的相互作用力可以用F=G来计算，r是两个球心之间的距离
【解析】选C、D。万有引力定律的公式适用于两质点间引力大小的计算，当两物体的距离r趋近于零时，物体不能看成质点，公式不再适用，故A错误；万有引力定律是牛顿发现的，故B错误；引力常量是卡文迪许测出的，故C正确；对于质量分布均匀的球体，万有引力定律公式可以适用，r表示球心之间的距离，故D正确。
10.(6分)(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中
( )
A.从P到M所用的时间等于
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C.从P到Q阶段，速率逐渐变小
D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【解析】选C、D。海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则PM段的时间小于MQ段的时间，所以P到M所用的时间小于，故A错误；从Q到N的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，速率减小，故C正确；根据万有引力方向与速度方向的关系知，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，故D正确。
11.(6分)已知在太阳系外某“宜居”行星的质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重力为600
N的人在这个行星表面的重力将变为960
N。由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为
( )
A.1∶2
B.2∶1
C.3∶2
D.4∶1
【解析】选B。在忽略地球自转的情况下，万有引力等于物体的重力，即G地=G
①
在行星表面G行=G
②
联立①②，得=·
代入数据得：=2，所以B选项正确，A、C、D错误。
12.(22分)在电影《流浪地球》中科学家发现太阳将在未来的几百年体积急剧膨胀，地球将被太阳吞噬。面对危机人类空前团结，集中所有资源建造行星发动机，开动所有行星发动机将地球推到木星附近，利用木星的“引力弹弓”加速，离开太阳系。
(1)木星绕太阳的轨道半径约为地球公转半径的5倍，假设地球按图所示运行到达了木星轨道，那么在木星轨道上公转的周期为几年？在运输轨道上花了几年时间？(计算结果可以保留根式)
(2)地球流浪过程中的最大危机是差点进入木星的“洛希极限”。“洛希极限”指一个小星球靠近另一个质量较大的星球时，小星球对其表面物体的引力等于大星球的“潮汐力”时，这个小星球就会倾向于破碎。若把木星和地球看成均匀的球体，设木星的密度为ρ木，地球的密度为ρ地，木星的半径为R，木星“潮汐力”计算式：FT=
(M为木星质量，u为地球表面上靠近木星的小物体的质量，r为地球半径，d为本题所求的量)，求地球与木星的“洛希极限”到木星球心的距离d。
【解析】(1)由开普勒第三定律得：=
代入数据可得地球在木星轨道上运行周期为5年
同理有，=
，r运=3r地
得T运=3年
地球从A运动到B的时间为t=T运=年
(2)根据万有引力定律F引=
木星“潮汐力”FT=
根据质量的计算公式：
M地=ρ地πr3，M木=ρ木πR3
F引=FT
计算可得：d=R(2
答案：(1)5年 年 (2)R(2
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-万有引力定律的应用 人类对太空的不懈探索
(25分钟·60分)
一、选择题(本题共6小题，每题6分，共36分)
1.在距地球2
545光年的恒星“开普勒-90”周围，发现了其第8颗行星“开普勒90i”。它绕“开普勒-90”公转的周期约为地球绕太阳公转周期的，而其公转轨道半径约为地球公转轨道半径的。则“开普勒-90”的质量与太阳质量的比值约为
( )
A.1∶5
B.1∶4
C.1∶1
D.2∶1
【解析】选C。行星绕恒星运动，万有引力提供向心力，则：G=mr，解得：M=，所以恒星“开普勒-90”的质量为：M1=，同理太阳的质量为：M2=。所以有=·=·≈1∶1，故C正确，A、B、D错误。
2.地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G，则可以用下列哪一式来估算地球的平均密度
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A。根据在地球表面万有引力等于重力有：=mg，解得：M=，所以ρ==。
3.若取地球的第一宇宙速度为8
km/s，某星球的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则这颗星球上的第一宇宙速度约为
( )
A.16
km/s
B.32
km/s
C.4
km/s
D.2
km/s
【解析】选A。设地球质量为M，则某星球质量为6M，地球半径为r，则某星球半径为1.5r。
万有引力提供圆周运动的向心力得：
G=m
卫星在圆轨道上运行时的速度公式有：
v=
代入地球和某星球的各物理量
v地球=
v星球=
得v星球=2v地球=16
km/s，故A正确，B、C、D错误。
【加固训练】
如图所示，在1687年出版的《自然哲学的数学原理》一书中，牛顿曾设想在高山上水平抛出物体，若速度一次比一次大，落点就一次比一次远。当速度足够大时，物体就不会落回地面而成为人造卫星了，这个足够大的速度至少为(不计空气阻力)( )
A.340
m/s
B.7.9
km/s
C.11.2
km/s
D.3.0×108
m/s
【解析】选B。当物体的速度大到向心力恰好等于地球的万有引力时，物体就能成为地球的卫星而不落到地球上，这个足够大的速度就是地球的第一宇宙速度，大小是7.9
km/s，B正确。
4.北京时间2019年4月10日21点，人类首张黑洞照片发布了，在包括中国上海在内的六地同时召开新闻发布会，向全球宣布了这一项重大成果，连光也不能逃逸进入太空的天体叫黑洞。关于黑洞的说法正确的是( )
A.黑洞的第一宇宙速度大于光速
B.黑洞的第一宇宙速度等于光速
C.黑洞的第二宇宙速度大于光速
D.黑洞的第二宇宙速度小于光速
【解析】选C。黑洞是指密度极大的天体。它的逃逸速度(黑洞的第二宇宙速度)大于光速，也就是说连光都不能从黑洞的引力场逃逸出来。故C正确，A、B、D错误。
5.已知引力常量G，月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T。则仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有
( )
A.月球的质量
B.地球的质量
C.地球的半径
D.地球的密度
【解析】选B。月球所受万有引力等于向心力，
即：=m，可得地球质量M=，上式中月球质量m已约去，故无法求出月球质量，那也无法求月球绕地球运行向心力的大小，月球与地球间的距离不知道，故地球半径也求不出，故A、C、D均错误。
6.若某一系外行星的半径为R，公转半径为r，公转周期为T，宇宙飞船在以系外行星中心为圆心，半径为r1的轨道上绕其做圆周运动的周期为T1，不考虑其他星球的影响。(已知地球的公转半径为R0，公转周期为T0)则有
( )
A.=
B.=
C.该系外行星表面重力加速度为
D.该系外行星的第一宇宙速度为
【解析】选D。开普勒第三定律适用条件是对应于同一颗中心天体运行的卫星，系外行星、宇宙飞船、地球做圆周运动的中心天体均不同，故A、B错误；万有引力提供向心力，对宇宙飞船而言：
G=m()2r1=mg，解得：g=，故C错误；对系外行星而言：G=m0，解得：v1=，故D正确。
二、计算题(本题共2小题，共24分。要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要标明单位)
7.(12分)我国先后发射的“嫦娥一号”和“嫦娥二号”探月卫星，“嫦娥二号”卫星离月球表面更近。假设“嫦娥二号”卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面。已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9
km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为多少？
【解析】设地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球半径为R1，月球半径为R2。
对于近地卫星，由G=m
得卫星绕地运行的速率v1=
其中v1=7.9
km/s
同理卫星绕月运行的速率v2=
联立解得v2≈1.8
km/s。
答案：1.8
km/s
8.(12分)为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量M。已知地球半径R=6.4×106
m，地球质量m=6×1024
kg，日地中心的距离r=1.5×1011
m，地球公转周期为一年，地球表面处的重力加速度g取10
m/s2，试估算目前太阳的质量。(保留二位有效数字，引力常量未知)
【解析】地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有
G=mr
根据地球表面的万有引力等于重力，地球表面质量为m′的物体有：m′g=G
两式联立得M=
代入数据解得M=2.0×1030
kg
答案：2.0×1030
kg
(15分钟·40分)
9.(6分)一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。忽略该行星自转的影响，已知引力常量为G，则这颗行星的质量为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A。根据万有引力提供向心力且该向心力等于表面物体所受重力，设行星质量为M，由题意得：G=m=mg=N，解得R=，故M==，A正确。
10.(6分)(多选)卡文迪许把自己测量引力常量的实验说成是“称量地球重量”。若已知引力常量，下列说法正确的有
( )
A.根据火星半径和火星表面的重力加速度，可估算火星密度
B.根据土星绕太阳公转的半径和周期，可估算土星质量
C.根据金星绕太阳公转的半径、周期和太阳半径，可估算太阳表面的重力加速度
D.根据月球公转周期、月地距离和地球表面重力加速度，可估算地球的第一宇宙速度
【解析】选A、C、D。根据物体在火星表面受到重力等于万有引力可知，=mg，解得M=，ρ==，可以求出火星密度，故A正确；只能求出中心天体的质量，环绕天体的质量无法求出，故土星质量无法求出，故B错误；金星绕太阳公转，G=mR，解得M=，太阳半径r已知，则表面重力加速度g==，故C正确；月球绕地球做匀速圆周运动，=mR，地球表面重力加速度g已知，根据黄金代换式GM=gr2，可以求出地球半径r，根据v=，可以求出地球的第一宇宙速度，故D正确。
11.(6分)被誉为“中国天眼”的射电望远镜FAST(如图所示)自工作以来，已经发现43颗脉冲星，为我国天文观测做出了巨大的贡献。脉冲星实质是快速自转的中子星，中子星每自转一周，它的磁场就会在空间划一个圆，而且扫过地球一次，地球就会接收到一个射电脉冲。若观测到某个中子星的射电脉冲周期为T，中子星的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是
( )
A.中子星的质量为
B.中子星的密度为
C.中子星的第一宇宙速度为
D.若上述中子星赤道上的物体恰好处于完全失重状态，则该中子星的密度为
【解析】选D。如果知道绕中子星做圆周运动的卫星的周期与轨道半径，可以求出中子星的质量，根据题意仅知道中子星的自转周期、中子星的半径与万有引力常量G，无法求出中子星质量，更不能求出中子星密度，故A、B错误；用求中子星的第一宇宙速度，T应该是绕中子星表面做圆周运动的卫星的周期，不是中子星自转周期，由于不知绕中子星表面做圆周运动的卫星的周期T，无法根据求出中子星的第一宇宙速度，故C错误；若中子星赤道上的物体恰好处于完全失重状态，物体所受万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G=m()2R，中子星的质量：M=ρ·πR3，解得：ρ=，故D正确。
12.(22分)某星球表面上有一倾角为θ=30°的固定斜面，一质量为m=1
kg的小物块在平行斜面的力F作用
下从静止开始沿斜面向上运动，2
s时撤去力F，如图甲所示。若小物块和斜面间的动摩擦因数μ=，小物块运动的速度v随时间t变化的规律如图乙所示。已知该星球半径R=6×106
m，万有引力常量G=6.67×10-11
N·m/kg2。求(计算结果保留2位有效数字)：
(1)该星球表面上的重力加速度g的大小；
(2)该星球的平均密度。
【解析】(1)根据v-t图像可知，2
s后撤去力F的加速度大小为：a=||=6
m/s2
根据牛顿第二定律有：
mg
sin30°+μmg
cos30°=ma
代入数据可解得星球表面重力加速度为：g=6
m/s2。
(2)在星球表面重力与万有引力相等有：
G=mg
可得星球的质量为：M=
根据密度公式可得星球的密度为：
ρ===
=
kg/m3
=3.6×103
kg/m3
答案：(1)6
m/s2 (2)3.6×103
kg/m3
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