人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步测试（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册数学 17.1勾股定理 同步测试（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 167.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-27 21:17:40 | ||
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文档简介
17.1勾股定理 同步测试
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，则b的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（ ）
A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．47 B．13 C．11 D．8
5．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝3，BC＝4．以AB、BC、AC为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．在一个直角三角形中，两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么（ ）
A．a2+b2＞c2 B．a2+b2＜c2 C．a2+b2＝c2 D．a2+b2≠c2
9．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9cm2和25cm2，则直角三角形的面积为（ ）
A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．3cm2
10．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AB的中点，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，则EF的长是（ ）
A． B． C． D．3
二．填空题
11．等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为 ．
12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 ．
13．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝ ．
14．已知：如图，四边形ABCD中，点E在CD上，BE∥AD交AC于点F，∠ABE＝∠ACD＝45°．若AB＝CD＝3，CF＝2，则BF＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上；若BC边上有2018不同的点P1，P2，…P2018且相应的有m1＝AP12+BP1?P1C，m2＝AP22+BP2?P2C，…，m2018＝AP20182+BP2018?P2018C，则m1+m2+…+m2018＝ ．
三．解答题
16．（1）计算：
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a：c＝15：17，b＝24，求a的值．
17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
18．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝ ．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，
∴b＝＝＝．
故选：D．
2．解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，
根据勾股定理得92+（x﹣3）2＝x2，
解得x＝15．
故选：A．
3．解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；
由AC?BC＝CD?AB得到：CD＝＝＝（cm），
故选：D．
4．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝3+5＝8；
y2＝2+3＝5；
z2＝x2+y2＝13．
故最大正方形E的面积是z2＝13．
故选：B．
5．解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
6．解：由题意可得，
△ABC的面积是：3×4﹣＝4，
∵BD是△ABC的高，AC＝＝2，
∴＝4，
解得，BD＝，
故选：A．
7．解：∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+CB2，
S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积，
＝π×+π×+AC×CB﹣π×（）2
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝×3×4
＝6．
故选：B．
8．解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，AB＝c，BC＝a，
∴由勾股定理得：
a2+b2＝c2，
故选：C．
9．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：×4＝6（平方厘米）．
故选：A．
10．解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
在Rt△ADF中，∠A＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝3，
在Rt△CFE中，∠C＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴EC＝FC＝，
∴EF＝＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝EC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，
∵BE⊥CE，
∴∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BD2＝BE2+DE2，
∴32＝BE2+（CE+4）2，
∴BE＝2﹣2，
综上所述：点B到CD的距离为2﹣2或4﹣2．
12．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
13．解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．
∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
14．解：∵BE∥AD，
∴∠AFB＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACD＝45°，DC＝AB＝3，∠AFB＝∠CAD，
∴△ABF≌△DCA（AAS），
∴AD＝AF，AC＝BF，
过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD＝45°，CD＝，
∴DG＝GC＝3，
∴GF＝GC﹣F＝3﹣2＝1，
设AD＝AF＝x，则AG＝x﹣1，
由勾股定理得32+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝5，
∴AD＝5，BF＝AC＝AF＝CF＝5+2＝7，
故答案为：7．
15．解：如图所示：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2①，
在Rt△APD中，AP12＝AD2+P1D2②，
①﹣②得：AB2﹣AP12＝BD2﹣P1D2＝（BD+P1D）（BD﹣P1D）＝P1C?BP1，
∴m1＝AB2＝AP12+BP1?P1C＝4，
同理：m2＝AB2＝AP22+BP2?P2C＝4，
m3＝AB2＝AP32+BP3?P3C，
…
m1+m2+…+m2018＝4×2018＝8072，
故答案为：8072．
三．解答题
16．解：（1）原式＝；
（2）设a＝15x，则c＝17x．
由勾股定理得（15x）2+24＝（17x）2，
解得x＝3，
则a＝15x＝45．
17．证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴EC2﹣EA2＝AC2，
∴EC2＝EA2+AC2，
∴∠A＝90°；
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝，
∵EB＝EC，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14．
18．解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝16，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝16，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，则b的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（ ）
A．15 B．12 C．10 D．9
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，其斜边上的高为（ ）
A．17cm B．8.5cm C．cm D．cm
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A、B、C、D的面积分别为3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．47 B．13 C．11 D．8
5．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（ ）
A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2
6．如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．AC＝3，BC＝4．以AB、BC、AC为直径作半圆围成两月形，则阴影部分的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．在一个直角三角形中，两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么（ ）
A．a2+b2＞c2 B．a2+b2＜c2 C．a2+b2＝c2 D．a2+b2≠c2
9．如图，以直角三角形的一条直角边和斜边为一边作正方形M和N，它们的面积分别为9cm2和25cm2，则直角三角形的面积为（ ）
A．6cm2 B．12cm2 C．24cm2 D．3cm2
10．如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AB的中点，DF⊥AC于点F，FE⊥BC于点E，则EF的长是（ ）
A． B． C． D．3
二．填空题
11．等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为 ．
12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 ．
13．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝20，AH＝12，那么FG＝ ．
14．已知：如图，四边形ABCD中，点E在CD上，BE∥AD交AC于点F，∠ABE＝∠ACD＝45°．若AB＝CD＝3，CF＝2，则BF＝ ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上；若BC边上有2018不同的点P1，P2，…P2018且相应的有m1＝AP12+BP1?P1C，m2＝AP22+BP2?P2C，…，m2018＝AP20182+BP2018?P2018C，则m1+m2+…+m2018＝ ．
三．解答题
16．（1）计算：
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a：c＝15：17，b＝24，求a的值．
17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交BC于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
18．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．
（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；
（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；
（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝ ．
参考答案
一．选择题
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝2，
∴b＝＝＝．
故选：D．
2．解：设斜边长为x，则一直角边长为x﹣3，
根据勾股定理得92+（x﹣3）2＝x2，
解得x＝15．
故选：A．
3．解：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，由勾股定理得到：AB＝＝17cm；
由AC?BC＝CD?AB得到：CD＝＝＝（cm），
故选：D．
4．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，由勾股定理得：
x2＝3+5＝8；
y2＝2+3＝5；
z2＝x2+y2＝13．
故最大正方形E的面积是z2＝13．
故选：B．
5．解：根据题意得：
小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），
故选：A．
6．解：由题意可得，
△ABC的面积是：3×4﹣＝4，
∵BD是△ABC的高，AC＝＝2，
∴＝4，
解得，BD＝，
故选：A．
7．解：∵∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+CB2，
S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC﹣直径为AB的半圆的面积，
＝π×+π×+AC×CB﹣π×（）2
＝π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC
＝×3×4
＝6．
故选：B．
8．解：∵在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝b，AB＝c，BC＝a，
∴由勾股定理得：
a2+b2＝c2，
故选：C．
9．解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：＝4（厘米），
可得这个直角三角形的面积为：×4＝6（平方厘米）．
故选：A．
10．解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝AB＝2，
在Rt△ADF中，∠A＝60°，
∴∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝3，
在Rt△CFE中，∠C＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴EC＝FC＝，
∴EF＝＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝EC＝2，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝＝4，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，
∵BE⊥CE，
∴∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BD2＝BE2+DE2，
∴32＝BE2+（CE+4）2，
∴BE＝2﹣2，
综上所述：点B到CD的距离为2﹣2或4﹣2．
12．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
13．解：∵△ABH≌△BCG，
∴BG＝AH＝12，
∵四边形EFGH都是正方形，
在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：BH＝．
∴FG＝GH＝BH﹣BG＝16﹣12＝4，
故答案为：4．
14．解：∵BE∥AD，
∴∠AFB＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACD＝45°，DC＝AB＝3，∠AFB＝∠CAD，
∴△ABF≌△DCA（AAS），
∴AD＝AF，AC＝BF，
过点D作DG垂直于AC于点G，∠ACD＝45°，CD＝，
∴DG＝GC＝3，
∴GF＝GC﹣F＝3﹣2＝1，
设AD＝AF＝x，则AG＝x﹣1，
由勾股定理得32+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝5，
∴AD＝5，BF＝AC＝AF＝CF＝5+2＝7，
故答案为：7．
15．解：如图所示：
过点A作AD⊥BC于D，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
在Rt△ABD中，AB2＝AD2+BD2①，
在Rt△APD中，AP12＝AD2+P1D2②，
①﹣②得：AB2﹣AP12＝BD2﹣P1D2＝（BD+P1D）（BD﹣P1D）＝P1C?BP1，
∴m1＝AB2＝AP12+BP1?P1C＝4，
同理：m2＝AB2＝AP22+BP2?P2C＝4，
m3＝AB2＝AP32+BP3?P3C，
…
m1+m2+…+m2018＝4×2018＝8072，
故答案为：8072．
三．解答题
16．解：（1）原式＝；
（2）设a＝15x，则c＝17x．
由勾股定理得（15x）2+24＝（17x）2，
解得x＝3，
则a＝15x＝45．
17．证明：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝EC，
∵BE2﹣EA2＝AC2，
∴EC2﹣EA2＝AC2，
∴EC2＝EA2+AC2，
∴∠A＝90°；
（2）∵D是BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10，
∵∠A＝90°，AC＝6，
∴AB＝，
∵EB＝EC，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝AE+EB+AC＝AB+AC＝6+8＝14．
18．解：（1）S小正方形＝（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，另一方面S小正方形＝c2﹣4×ab＝c2﹣2ab，
即b2﹣2ab+a2＝c2﹣2ab，
则a2+b2＝c2．
（2）24÷4＝6，
设AC＝x，依题意有
（x+3）2+32＝（6﹣x）2，
解得x＝1，
×（3+1）×3×4
＝×4×3×4
＝24．
故该飞镖状图案的面积是24．
（3）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝16，
∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝16，
∴x+4y＝，
∴S2＝x+4y＝．
故答案为：．