北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步测试（Word版 含解析）

1.4角平分线 同步测试
一．选择题
1．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝20，且BD：DC＝3：2，则点D到AB边的距离为（　　）
A．8 B．12 C．10 D．15
2．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　）
?
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．14
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（　　）
A．35° B．40° C．50° D．55°
7．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF＝S△ABC．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在CD上求一点P，使它到OA、OB的距离相等，则P点是（　　）
A．线段CD的中点
B．OA与∠CDB的平分线的交点
C．OB与∠DCA的平分线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（　　）
A．25 B．5.5 C．7.5 D．12.5
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二．填空题
11．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点 E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为　 　cm2．
12．如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，DE⊥BC于点E，且DE＝3cm，BC＝8cm，AC＝4cm，则△ABC的面积是　 　cm2．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若DC＝2，则点D到线段AB的距离等于　 　．
14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝12cm，则D到AB的距离为　 　cm．
15．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是　 　．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB．
（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，BE平分∠ABC．
（1）若∠A＝40°，求∠BEC的度数；
（2）若DE＝2，BC＝6，求△BCE的面积．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．求证：点E到DA，DC的距离相等．
参考答案
一．选择题
1．解：∵BC＝20，BD：DC＝3：2，
∴CD＝8，
∵∠C＝90°
AD平分∠BAC
∴D到边AB的距离＝CD＝8．
故选：A．
2．解：
过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ABC＝7，
∴S△ADB+S△ADC＝7，
∴＝7，
∴＝7，
解得：AC＝3，
故选：A．
3．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
4．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，
∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，
∴OD＝OE＝OM，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴S△ABC＝AC?BC＝×AB?OE+AC?OD+BC?OM，
∴＝+?OM+，
∴OM＝2，
故选：B．
5．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：C．
6．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠BAC的外角＝100°，
∵∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，
∴AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAE＝50°，
故选：C．
7．解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE＝∠CAE＝52°，
∴①正确；
∵∠C＝40°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，
∴②正确；
∵没有条件能证得EF＝DE，
∴EF不一定等于ED，
∴③错误；
∵点F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∴S△ABF＝S△ABC，
∴④正确；
故选：C．
8．解：∵点P到OA、OB的距离相等，
∴点P在∠AOB平分线上，
∴点P是CD与∠AOB平分线的交点，
故选：D．
9．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，
∴35+SRt△DEF＝60﹣SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝．
故选：D．
10．解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，
∴∠APB＝135°，故①正确．
∴∠BPD＝45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB＝90°+45°＝135°，
∴∠APB＝∠FPB，
又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，
∴△ABP≌△FBP，
∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．
在△APH和△FPD中，
∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，
∴△APH≌△FPD，
∴PH＝PD，故③正确．
∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，
∴点P到BC、AC的距离相等，
∴点P在∠ACB的平分线上，
∴CP平分∠ACB，故④正确．
故选：D．
二．填空题
11．解：作DF⊥BC于F，
∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），
故答案为：6．
12．解：过D点作DF⊥AC于F，如图，
∵CD平分∠BCA，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝3，
∴S△ABC＝S△DBC+S△DAC
＝×8×3+×4×3
＝18（cm2）．
故答案为18．
13．解：过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝2，
∴DE＝DC＝2，
即点D到线段AB的距离等于2，
故答案为：2．
14．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BD：DC＝2：1，BC＝12，
∴DC＝4，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DC＝4，即D到AB的距离为4cm，
故答案为：4．
15．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，
∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，
∴∠DAC＝∠FAC，∠FBC＝∠EBC，
在△ADC和△AFC中，
∵，
∴△ADC≌△AFC（AAS），
∴AD＝AF，
在△CBE≌△CBF中，
∵，
∴△CBE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，
∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，
故答案为：7．
三．解答题
16．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC．
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB．
（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，
解得x＝2，即CF＝2．
17．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
则∠ABC＝90°﹣40°＝50°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝25°，
∴∠BEC＝∠DBE+∠BDE＝115°；
（2）作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴EF＝ED＝2，
∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×6×2＝6．
18．证明：过E作EH⊥BA的延长线于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等．