章末综合测评(三) 直线与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x－y＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
A [因为直线的斜率为1，所以tan
α＝1，即倾斜角为45°.故选A.]
2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
C [直线y＝x－2的斜率为，由题意可知所求直线的斜率为，直线方程为y－1＝(x＋1)，故选C.]
3．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－2
B．2
C．±2
D．2或4
C [由l1∥l2得m2－4＝0.解得m＝±2.经验证均符合题意，故选C.]
4．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12
B．10
C．－8
D．－6
B [将点(2，－1)代入3x＋my－1＝0可求得m＝5，将点(2，－1)代入4x＋3y－n＝0，得n＝5，所以m＋n＝10，故选B.]
5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )
A．4和3
B．－4和3
C．－4和－3
D．4和－3
C [由题意知：－＝－，即3m＝4n，且有－＝，∴n＝－3，m＝－4.]
6．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是( )
A．y＝－x
B．y＝－(x－4)
C．y＝(x－4)
D．y＝(x＋4)
C [由题意知∠A＝∠B＝60°，故直线BC的倾斜角为60°，∴kBC＝tan
60°＝，则BC边所在的直线方程为y＝(x－4).]
7．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2
B．－7
C．3
D．1
C [由已知条件可知线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.]
8．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )
A．(0，0)
B．
C．
D．
C [直线方程变形为k(3x＋y－1)＋(2y－x)＝0，则直线通过定点.
]
9．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0
B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0
D．2x＋y－7＝0
A [由已知得A(－1，0)，P(2，3)，由|PA|＝|PB|，得B(5，0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0.]
10．点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于( )
A．－1
B．1
C．2
D．0
A [∵点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1.]
11．已知点A(1，1)，B(3，5)到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
C [当A，B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，此时，AB∥l，所以k＝kAB＝＝2，l的方程为2x－y－3＝0.
当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2，故选C.]
12．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标可能是( )
A．(2，0)或(4，6)
B．(2，0)或(6，4)
C．(4，6)
D．(0，2)
A [设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或，所以B(2，0)或B(4，6).]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
(－2，1) [k＝＝＜0，得－2＜a＜1.
]
14．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．
l1⊥l2 [将A(4，－1)点的坐标代入ax－y＋1＝0，
得a＝－，则kl1·kl2＝－×2＝－1，∴l1⊥l2.]
15．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
3 [的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离：d＝＝3.]
16．若直线l被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线l的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．
15°或75° [易求得平行线l1，l2之间的距离为＝.
画示意图(图略)可知，要使直线l被l1，l2截得的线段长为2，必须使直线l与直线l1，l2成30°的夹角.
∵直线l1，l2的倾斜角为45°，∴直线l的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.]
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
[解] (1)直线l的方程为：y－5＝－(x＋2)，整理得3x＋4y－14＝0.
(2)设直线m的方程为3x＋4y＋n＝0，
d＝＝3，
解得n＝1或－29.
∴直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
18．(本小题满分12分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
[解] 若l在两坐标轴上截距为0，
设l：y＝kx，即kx－y＝0，则＝3.
解得k＝－6±.
此时l的方程为y＝x；
若l在两坐标轴上截距不为0，
设l：＋＝1，即x＋y－a＝0，则＝3.
解得a＝1或13.
此时l的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
综上，直线l的方程为
y＝x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
19．(本小题满分12分)已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，试求点D坐标使四边形ABCD为等腰梯形．
[解] 设所求D点坐标为(x，y)，
(1)若AD∥BC，|AB|＝|CD|，
则
解得或(不合题意，舍去)
(2)若AB∥CD，|BC|＝|AD|，
则
解得或(不合题意，舍去)
综上，得点D的坐标为(2，3)或.
20．(本小题满分12分)已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
[解] (1)∵点B在直线l1上，∴可设B(a，8－2a).
又P(0，1)是AB的中点，∴A(－a，2a－6).
∵点A在直线l2上，∴－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即B(4，0).
故直线l的方程是x＋4y－4＝0.
(2)由(1)，知A(－4，2).
又AD∥l1，∴kAD＝＝－2，∴m＝－6.
点A到直线l1的距离
d＝＝，
|AD|＝＝4，
∴S△ABD＝|AD|·d＝×4×＝28.
21．(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
(2)求反射光线所在的直线l3的方程；
(3)求与直线l3的距离为的直线方程．
[解] (1)由得
∴M(－2，1).
∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1).
(2)易知l3经过点P与点N，
∴l3的方程为＝，即x－3y－1＝0.
(3)设与l3平行的直线为y＝x＋b.
根据两平行线之间的距离公式，得＝，
解得b＝3或b＝－，
∴与直线l3的距离为的直线方程为y＝x－或y＝x＋3，即x－3y－11＝0或x－3y＋9＝0.
22．(本小题满分12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)求直线BC的方程；
(3)求△BDE的面积．
[解] (1)由已知得直线AB的斜率为2，
∴AB边所在的直线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
(2)由得
即直线AB与直线BE的交点为B.
设C(m，n)，则由已知条件得
解得∴C(2，1).
∴BC边所在直线的方程为＝，
即2x＋3y－7＝0.
(3)∵E是线段AC的中点，∴E(1，1).
∴|BE|＝＝，
由得∴D，
∴D到BE的距离为d＝＝，
∴S△BDE＝·d·|BE|＝.
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(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x－y＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1
B．y＝1
C．y－1＝(x＋1)
D．y－1＝2(x＋1)
3．已知直线l1：x＋my＋6＝0和l2：mx＋4y＋2＝0互相平行，则实数m的值为( )
A．－2
B．2
C．±2
D．2或4
4．直线3x＋my－1＝0与4x＋3y－n＝0的交点为(2，－1)，则m＋n的值为( )
A．12
B．10
C．－8
D．－6
5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为( )
A．4和3
B．－4和3
C．－4和－3
D．4和－3
6．已知等边△ABC的两个顶点A(0，0)，B(4，0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是( )
A．y＝－x
B．y＝－(x－4)
C．y＝(x－4)
D．y＝(x＋4)
7．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )
A．－2
B．－7
C．3
D．1
8．已知直线(3k－1)x＋(k＋2)y－k＝0，则当k变化时，所有直线都通过定点( )
A．(0，0)
B．
C．
D．
9．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A．x＋y－5＝0
B．2x－y－1＝0
C．2y－x－4＝0
D．2x＋y－7＝0
10．点P(a，b)关于l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于( )
A．－1
B．1
C．2
D．0
11．已知点A(1，1)，B(3，5)到经过点(2，1)的直线l的距离相等，则l的方程为( )
A．2x－y－3＝0
B．x＝2
C．2x－y－3＝0或x＝2
D．以上都不对
12．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0，4)，(3，3)，则点B的坐标可能是( )
A．(2，0)或(4，6)
B．(2，0)或(6，4)
C．(4，6)
D．(0，2)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若过点P(1－a，1＋a)与点Q(3，2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
14．若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________．
15．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．
16．若直线l被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2，则直线l的倾斜角θ(0°≤θ<90°)的值为________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线l经过点P(－2，5)且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
18．(本小题满分12分)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程．
19．(本小题满分12分)已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，试求点D坐标使四边形ABCD为等腰梯形．
20．(本小题满分12分)已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0交于B，A两点，线段AB恰被点P平分．
(1)求直线l的方程；
(2)设点D(0，m)，且AD∥l1，求△ABD的面积．
21．(本小题满分12分)已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2：2x＋y＋3＝0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射．
(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；
(2)求反射光线所在的直线l3的方程；
(3)求与直线l3的距离为的直线方程．
22．(本小题满分12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.
(1)求直线AB的方程；
(2)求直线BC的方程；
(3)求△BDE的面积．
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