章末综合测评(四) 圆与方程
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D.
D [由空间直角坐标系中两点间的距离公式得：|AB|＝＝.]
2．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )
A.
k>2
B.
－3C.
k<－3或k>2
D.
以上都不对
C [由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2.]
3．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
B [由题意知点M在圆O外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝<1，故直线与圆O相交．]
4．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
B [圆O1(1，0)，r1＝1，圆O2(0，2)，r2＝2，|O1O2|＝＝＜1＋2，且＞2－1，故两圆相交．]
5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( )
A．
B．
C．2
D．－
A [因为点B是A(1，2，3)在yOz坐标平面内的射影，所以B点的坐标是(0，2，3)，所以|OB|＝.]
6．关于空间直角坐标系O?xyz中的一点P(1，2，3)，有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1，2，－3).
其中正确的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
A [点P到坐标原点的距离为＝，故①错；②正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故③错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故④错；⑤正确．]
7．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B [圆心(3，3)到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．]
8．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝( )
A．
B．2
C．1
D．3
B [依题意，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即＝，＝1×cos
45°＝，所以a2＝b2＝1，故a2＋b2＝2.]
9．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
D [如图所示，
曲线y＝1＋变形为x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直线y＝k(x－2)＋4过定点(2，4)，当直线l与半圆相切时，有＝2，解得k＝，当直线l过点(－2，1)时，k＝.因此，k的取值范围是10．已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A.－
B．1
C．2
D．
C [因为点P(2，2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1，0)与点P(2，2)的连线与过点P(2，2)的切线垂直．因为圆心(1，0)与点P(2，2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2，2)的切线斜率为－，所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]
11．实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则的最大值为( )
A.
3
B.
3＋2
C.
2＋
D.
B [设＝k，则y＝kx，代入x2＋y2－6x－6y＋12＝0得(1＋k2)x2－6x－6kx＋12＝0，即(1＋k2)x2－(6＋6k)x＋12＝0.
∴Δ＝[－(6＋6k)]2－4×12×(1＋k2)≥0，∴3－2≤k≤3＋2，∴的最大值为3＋2.]
12．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1
B．2
C．0
D．－1
C [如图，
由题意可知平行四边形OAMB为菱形，
又∵OA＝OM，∴△AOM为正三角形．又OA＝2，∴OC＝1，且OC⊥AB.∴＝1，∴k＝0.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在如图所示的长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知A1(a，0，c)，C(0，b，0)，则点B1的坐标为________．
(a，b，c) [由题图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，∴B1(a，b，c).]
14．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
(x－2)2＋(y＋3)2＝5 [由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r＝＝，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.]
15．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
2 [如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.]
16．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
－2 [由条件可知圆方程可写成x2＋(y－m)2＝r2.
∵切点为(－2，－1)，
∴
解方程组得m＝－2，r＝.]
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
[解] (1)∵直线平分圆，所以圆心在直线上，
即有m＝0.
(2)∵直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
∴d＝＝＝2，m＝±2.
即m＝±2时，直线l与圆相切．
18．(本小题满分12分)在三棱柱ABO?A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
[解] 如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O?xyz.
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2，0，0)，B(0，2，0)，O(0，0，0)，A′(2，0，2)，B′(0，2，2)，O′(0，0，2).
由C为线段O′A的中点，得C点坐标为(1，0，1)，
设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|＝＝，
故当z＝1时，|EC|取得最小值为，
此时E(0，2，1)为线段BB′的中点．
19．(本小题满分12分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.
[解] 线段AB的中点为(1，3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0，1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为
＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
20．(本小题满分12分)已知点P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以C(3，2)为圆心，半径r＝1的圆．
(1)设＝k得y＝kx，所以k表示过原点的直线的斜率．
当直线y＝kx为圆C的切线时，取得最值，
所以＝1，解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
(2)设u＝，则u为圆C上的点到原点的距离，如图所示，连接OC并延长交圆于A，B两点，圆心C(3，2)与原点O的距离是|OC|＝.
∴|OA|＝－1，|OB|＝＋1.
∴u＝|OB|2＝(＋1)2＝14＋2.
u＝|OA|2＝(－1)2＝14－2.
故x2＋y2的最大值为14＋2，最小值为14－2.
21．(本小题满分12分)有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地的距离是10
km，顾客选A或B地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
[解] 如图，以A，B所确定的直线为x轴，A，B中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0).
设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a
元/km，B地的运费为a
元/km，当P地居民到A，B两地购物的总费用相等时，价格＋xA地运费＝价格＋xB地运费．
∴3a＝a.∵a＞0，
∴3＝，
两边平方，得9(x＋5)2＋9y2＝(x－5)2＋y2，
即＋y2＝.
∴以点C为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线．
圆C内的居民从A地购货便宜；
圆C外的居民从B地购货便宜；
圆C上的居民从AB两地购货的总费用相等，因此，可随意从AB两地之一购货.
22．(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
[解] (1)由题可知圆M的圆心为M(0，4)，半径r＝2.
设P(2b，b)，因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°.
在Rt△MAP中，|MP|2＝|AM|2＋|AP|2，
故|MP|＝＝4.
又|MP|＝
＝，
所以＝4，解得b＝0或.
所以点P的坐标为(0，0)或.
(2)设点P的坐标为(2b，b).
因为∠MAP＝90°，所以△PAM的外接圆圆N是以MP为直径的圆，
且MP的中点坐标为，
所以圆N的方程为(x－b)2＋＝，
即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.
由
解得或
所以圆N过定点(0，4)和.
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(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )
A．2 B．2 C．9 D.
2．若过点(1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是( )
A.
k>2
B.
－3C.
k<－3或k>2
D.
以上都不对
3．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
4．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
5．点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于( )
A．
B．
C．2
D．－
6．关于空间直角坐标系O?xyz中的一点P(1，2，3)，有下列说法：
①点P到坐标原点的距离为；
②OP的中点坐标为；
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)；
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3)；
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1，2，－3).
其中正确的个数是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
7．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝( )
A．
B．2
C．1
D．3
9．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
10．已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝( )
A.－
B．1
C．2
D．
11．实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则的最大值为( )
A.
3
B.
3＋2
C.
2＋
D.
12．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1
B．2
C．0
D．－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．在如图所示的长方体ABCD?A1B1C1D1中，已知A1(a，0，c)，C(0，b，0)，则点B1的坐标为________．
14．圆心在直线x＝2上的圆C与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)，则圆C的方程为________．
15．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________．
16．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l的方程为y＝x＋m，求当m为何值时，
(1)直线平分圆；
(2)直线与圆相切．
18．(本小题满分12分)在三棱柱ABO?A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥平面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
19．(本小题满分12分)求经过两点A(－1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.
20．(本小题满分12分)已知点P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
21．(本小题满分12分)有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地的距离是10
km，顾客选A或B地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．
22．(本小题满分12分)已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，P是直线l：x－2y＝0上的动点，过点P作圆M的切线PA，切点为A.
(1)当切线PA的长度为2时，求点P的坐标；
(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当点P运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
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