章末综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A.－＝
B.＋＝0
C．0·＝0
D.＋－＝
D [A错，－＝；B错，＋＝0；C错，0·＝0；D正确，＋－＝＋＋＝.]
2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
B [因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.]
3．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．6
B．5
C．1
D．－6
A [由向量数量积公式知，(2a＋b)·a＝(3,0)·(2，－1)＝6.]
4．(2019·石家庄高一期中)在△ABC中，D为边BC上的一点，且＝3，则＝( )
A.＋
B.＋
C.
－
D.－
B [＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，故选B.]
5．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
A [a＋b＝(3，k＋2)，∵a＋b与a共线，
∴3k－(k＋2)＝0，解得k＝1.]
6．已知＝(1,1)，＝(4,1)，＝(4,5)，则与夹角的余弦值为( )
A.
B.
C．0
D．以上结果都不对
B [设与夹角为θ，＝(3,0)，＝(3,4)，
∴cos
θ＝＝.]
7．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是( )
A．－25
B．25
C．－24
D．24
A [因为||2＋||2＝9＋16＝25＝||2，
所以∠ABC＝90°，
所以原式＝·＋(＋)＝0＋·
＝－2＝－25.]
8．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a等于( )
A．2
B．1
C.
D.
A [设C(x，y)，则＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)，
∵＝2，∴解得
∴C(3,3)，又∵C在直线y＝ax上，所以3＝a·3，
∴a＝2.]
9．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，若E是DC的中点，则＝( )
A.a－b
B.a－b
C．－a＋b
D．－a＋b
C [如图所示，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
则＝＝－＝b－a，
又E是DC的中点，
则＝＋＝(b－a)＋a＝b－a＝－a＋b.
故选C.]
10．如图所示，在⊙C中，弦AB的长度为4，则·的值为( )
A．12
B．8
C．4
D．2
B [如图，设圆的半径为r，过点C作CD⊥AB，
垂足为D.又弦AB的长度为4，所以AD＝2，所以·＝||||cos∠CAD＝4r·＝8.故选B.]
11．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
B [设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cos
α＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cos
α＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.
故选B.]
12．在△ABC中，有下列四个命题：
①－
＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－
)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④
C [∵－＝＝－≠，∴①错误.＋＋＝＋＝－＝0，∴②正确．由(＋)·(－)＝－＝0，得||＝||，∴△ABC为等腰三角形，∴③正确.·
>0?cos〈，〉＞0，即cos
A>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
－ [∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10.
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.]
14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，则|2a＋b|等于________．
[因为向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，
∴解得m＝2，n＝1，
∴2a＋b＝(3,5)，
∴|2a＋b|＝.]
15．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，若＝λ＋，且A⊥，则实数λ的值是________．
－1 [∵＝λ＋，⊥，
∴·＝(λ＋)·＝λ·＋2＝λ×2×1×cos
60°＋1＝λ＋1＝0，
∴λ＝－1.]
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
－ [因为点O是AB的中点，
所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)，
所以(＋)·＝2·
＝－2x(1－x)
＝2－.
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2019·广安高一期末)已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC.设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若向量与＋k共线，求k的值．
[解] (1)∵A为BC的中点，∴＝(＋)，可得＝2－＝2a－b，
而＝－＝－＝2a－b
(2)由(1)，得＋k＝(2k＋1)a－kb，
∵与＋k共线，设＝λ(＋k)
即2a－b＝λ(2k＋1)a＋－λkb，
根据平面向量基本定理，得，解之得，k＝.
18．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|.
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
[解] (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
因为|a|＝4，|b|＝3，所以a·b＝－6，
所以|a＋b|＝
＝＝.
(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，所以向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
[解] (1)连接OB(图略)，设B(xB，yB)，则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，
yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋
＝＋(－1，)＝，
∴B，C.
(2)证明：∵＝，
＝，
∴＝3，∴∥.
又易知OA与BC不平行，
||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
20．(本小题满分12分)已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
[解] (1)证明：由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，
所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos
α＋cos
β，sin
α＋sin
β)＝(0,1)，
所以
由①得，cos
α＝cos(π－β)，
由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.
又0＜α＜π，故α＝π－β.
代入sin
α＋sin
β＝1，得sin
α＝sin
β＝，而α＞β，所以α＝，β＝.
21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．
[解] (1)∵＝，
∴＋＝＋，即2＝＋，
∴＝＋，即x＝，y＝.
(2)∵＝3，∴＋＝3＋3，即4＝＋3，
∴＝O＋.∴x＝，y＝.
·＝·(－)
＝·－·＋·
＝×22－×42＋×4×2×＝－9.
22．(本小题满分12分)已知四边形ABCD，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求y＝f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
[解] (1)＝－(＋＋)＝(－x－4,2－y)，
∵∥，
∴x(2－y)－(－x－4)y＝0，
整理得x＋2y＝0，∴y＝－x.
(2)∵＝＋＝(x＋6，y＋1)，
＝＋＝(x－2，y－3)，
又∵⊥，∴·＝0，
即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，
由(1)知x＝－2y，将其代入上式，整理得y2－2y－3＝0，
解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x＝－6，
于是＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)，
||＝4，||＝8，
∴S四边形ABCD＝||||＝×4×8＝16.
当y＝－1时，x＝2，
于是＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)，
||＝8，||＝4，
∴S四边形ABCD＝||||＝×8×4＝16.
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(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中正确的是( )
A.－＝
B.＋＝0
C．0·＝0
D.＋－＝
2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
3．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．6
B．5
C．1
D．－6
4．(2019·石家庄高一期中)在△ABC中，D为边BC上的一点，且＝3，则＝( )
A.＋
B.＋
C.
－
D.－
5．已知向量a＝(1，k)，b＝(2,2)，且a＋b与a共线，则a·b的值为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
6．已知＝(1,1)，＝(4,1)，＝(4,5)，则与夹角的余弦值为( )
A.
B.
C．0
D．以上结果都不对
7．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是( )
A．－25
B．25
C．－24
D．24
8．已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于点C，且＝2，则实数a等于( )
A．2
B．1
C.
D.
9．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，若E是DC的中点，则＝( )
A.a－b
B.a－b
C．－a＋b
D．－a＋b
10．如图所示，在⊙C中，弦AB的长度为4，则·的值为( )
A．12
B．8
C．4
D．2
11．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.
B.
C.
D.
12．在△ABC中，有下列四个命题：
①－
＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－
)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有( )
A．①②
B．①④
C．②③
D．②③④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.
14．已知向量a＝(m,2)，b＝(－1，n)(n＞0)，且a·b＝0，点P(m，n)在圆x2＋y2＝5上，则|2a＋b|等于________．
15．已知向量与的夹角为60°，且||＝2，||＝1，若＝λ＋，且A⊥，则实数λ的值是________．
16．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2019·广安高一期末)已知△OAB中，点D在线段OB上，且OD＝2DB，延长BA到C，使BA＝AC.设＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量，；
(2)若向量与＋k共线，求k的值．
18．(本小题满分12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|.
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．
19．(本小题满分12分)如图所示，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
20．(本小题满分12分)已知a＝(cos
α，sin
α)，b＝(cos
β，sin
β)，0＜β＜α＜π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
21．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，＝x·＋y·.
(1)若＝，求x，y的值；
(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°时，求·的值．
22．(本小题满分12分)已知四边形ABCD，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)．
(1)若∥，求y＝f(x)的解析式；
(2)在(1)的条件下，若⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．
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