章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°的值等于( )
A.
B.
C.
D．1＋
C [∵cos
75°＝sin
15°，
∴原式＝sin215°＋cos215°＋sin
15°cos
15°
＝1＋sin
30°＝1＋×＝.]
2．化简cos2－sin2得( )
A．sin
2α
B．－sin
2α
C．cos
2α
D．－cos
2α
A [原式＝cos
2
＝cos＝sin
2α.]
3．若sin
x·tan
x<0，则等于( )
A.cos
x
B．－cos
x
C.sin
x
D．－sin
x
B [因为sin
x·tan
x<0，
所以x为第二、三象限角，所以cos
x<0，
所以＝＝|cos
x|
＝－cos
x．]
4．若tan
α＝2，则2cos
2α＋3sin
2α－sin2α的值为( )
A.
B．－
C．5
D．－
A [2cos
2α＋3sin
2α－sin2α＝2cos2α＋6sin
αcos
α－3sin2α＝＝＝.故选A.]
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan
2α的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
A [tan
2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－.]
6．函数f(x)＝sin
x－cos
的值域为( )
A．[－2,2]
B．[－，]
C．[－1,1]
D.
B [f(x)＝sin
x－
＝sin
x－cos
x＋sin
x
＝
＝sin，
∵x∈R，∴x－∈R，
∴f(x)∈[－，]．]
7．在△ABC中，已知tan＝sin
C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
C [在△ABC中，tan＝sin
C＝sin(A＋B)＝2sincos，∴2cos2＝1，
∴cos(A＋B)＝0，从而A＋B＝，即△ABC为直角三角形．]
8．函数f(x)＝(1－cos
2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值等于( )
A.
B.
C．1
D．0
B [原式＝－cos
4x，所以最大值是A＝，T＝，所以f(AT)＝f＝.]
9．已知tan
α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c
B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b
D．c＝ab
C [由根与系数的关系得：
tan
α＋tan＝－，
tan
αtan＝，
tan
＝
＝＝1，得c＝a＋b.]
10．已知向量a＝，b＝(4,4cos
α－)，若a⊥b，则sin等于( )
A．－
B．－
C.
D.
B [∵a⊥b，
∴a·b＝4sin＋4cos
α－＝0，
即2sin
α＋6cos
α＝，
即sin
α＋cos
α＝，
sin
＝sin
αcos＋cos
αsin
＝－sin
α－cos
α
＝－(sin
α＋cos
α)
＝－×＝－.]
11．若ω≠0，函数f(x)＝图象的相邻两个对称中心之间的距离是，则ω的值是( )
A.
B．±2
C．2
D．±1
D [f(x)＝＝
＝tan，
由题意知函数f(x)的周期为×2＝π，
所以＝π，所以ω＝±1.]
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin
αsin＋cos
αcos＝，则角β＝( )
A.
B.
C.
D.
D [∵P(1,4)，∴|OP|＝7，∴sin
α＝，cos
α＝.
又sin
αcos
β－cos
αsin
β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴cos(α－β)＝，∴sin
β＝sin[α－(α－β)]
＝sin
αcos(α－β)－cos
αsin(α－β)
＝×－×＝.
∵0<β<，∴β＝.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知2tan
α·sin
α＝3，－＜α＜0，则cos的值是
．
0 [∵2tan
α·sin
α＝3，
∴2·sin
α＝3，
∴2sin2α＝3cos
α，
∴2(1－cos2α)＝3cos
α，
即2cos2α＋3cos
α－2＝0，
解得cos
α＝或cos
α＝－2(舍)．
又α∈，∴α＝－，
∴cos＝cos＝0.]
14．将函数y＝cos
2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)sin
x，则f(x)的表达式为
．
2cos
x [∵y＝cos
2x，向右平移个单位，
y＝cos＝cos＝sin
2x＝f(x)·sin
x，
∴f(x)＝＝2cos
x，故答案为f(x)＝2cos
x．]
15.＝
.
－4 [原式＝
＝
＝
＝＝＝－4.]
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos
2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是
．(把你认为正确的说法的序号都填上)
①②③ [∵f(x)＝cos＋cos
＝cos－sin
＝cos，
∴f(x)max＝，即①正确．
T＝＝＝π，即②正确．
f(x)的递减区间为2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
k＝0时，≤x≤，即③正确．
将函数y＝cos
2x向左平移个单位得
y＝cos≠f(x)，
所以④不正确．]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos
θ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
[解] 因为cos
θ＝，θ∈(π，2π)，
所以sin
θ＝－，tan
θ＝－，
所以sin
＝sin
θcos－cos
θsin
＝－×－×＝－，
tan＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)已知sin
－2cos
＝0.
(1)求tan
x的值；
(2)求的值．
[解] (1)∵sin
－2cos
＝0，
则cos
≠0，
∴tan
＝2
∴tan
x＝＝＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
19．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos的值；
(2)tan(α＋β)的值．
[解] (1)∵<α<π，0<β<，
∴<α－<π，－<－β<.
∴sin＝＝，
cos＝＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝－.
(2)∵<<，
∴sin＝＝.
∴tan＝＝－.
∴tan(α＋β)＝＝.
20．(本小题满分12分)已知向量m＝(cos
x，sin
x)，n＝(2＋sin
x,2－cos
x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值．
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
[解] (1)因为m＝(cos
x，sin
x)，n＝(2＋sin
x，2－cos
x)，
所以f(x)＝m·n＝cos
x(2＋sin
x)＋sin
x(2－cos
x)
＝2(sin
x＋cos
x)＝4sin，
所以函数f(x)的最大值为4.
(2)因为f(x)＝4sin＝1，
所以sin＝，
因为x∈，
所以x＋∈，
所以cos＝－，
所以cos＝cos
＝cos－sin
＝－×－×＝－.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若f＝－，＜x＜时，求的值．
[解] f(x)＝sin
xcos
＋cosxsin
＋sinxcos
－cosxsin
＋cos
x
＝2sin
xcos
＋cos
x
＝sin
x＋cos
x
＝
sin，
∴f(x)的最大值为.
(2)f＝sin，
∴sin＝－，sin＝－，sin
x－cos
x
＝－，
∴sin
x－cos
x＝－两边平方得1－2sin
xcos
x＝，
∴2sin
xcos
x＝，
∴(sin
x＋cos
x)2＝1＋2sin
xcos
x＝，sin
x＋cos
x＝
sin，
当＜x＜，＜x＋＜2π，
sin
x＋cos
x＜0，∴sin
x＋cos
x＝－，
＝
＝
＝＝.
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
[解] 过点B作BH⊥OA，垂足为H.
设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，
OA＝2cos
θ，
BH＝sin＝cos
θ，
AH＝cos＝sin
θ，
∴B(2cos
θ＋sin
θ，cos
θ)，
OB2＝(2cos
θ＋sin
θ)2＋cos2θ
＝7＋6cos
2θ＋2sin
2θ＝7＋4sin.
由0＜θ＜，
知＜2θ＋＜，
所以当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.
PAGE章末综合测评(三)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．cos275°＋cos215°＋cos
75°cos
15°的值等于( )
A.
B.
C.
D．1＋
2．化简cos2－sin2得( )
A．sin
2α
B．－sin
2α
C．cos
2α
D．－cos
2α
3．若sin
x·tan
x<0，则等于( )
A.cos
x
B．－cos
x
C.sin
x
D．－sin
x
4．若tan
α＝2，则2cos
2α＋3sin
2α－sin2α的值为( )
A.
B．－
C．5
D．－
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan
2α的值为( )
A．－
B.
C.
D．－
6．函数f(x)＝sin
x－cos
的值域为( )
A．[－2,2]
B．[－，]
C．[－1,1]
D.
7．在△ABC中，已知tan＝sin
C，则△ABC的形状为( )
A．正三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
8．函数f(x)＝(1－cos
2x)cos2x，x∈R，设f(x)的最大值是A，最小正周期为T，则f(AT)的值等于( )
A.
B.
C．1
D．0
9．已知tan
α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c
B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b
D．c＝ab
10．已知向量a＝，b＝(4,4cos
α－)，若a⊥b，则sin等于( )
A．－
B．－
C.
D.
11．若ω≠0，函数f(x)＝图象的相邻两个对称中心之间的距离是，则ω的值是( )
A.
B．±2
C．2
D．±1
12．已知0<β<α<，点P(1,4)为角α的终边上一点，且sin
αsin＋cos
αcos＝，则角β＝( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知2tan
α·sin
α＝3，－＜α＜0，则cos的值是
．
14．将函数y＝cos
2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)sin
x，则f(x)的表达式为
．
15.＝
.
16．关于函数f(x)＝cos＋cos，有下列说法：
①y＝f(x)的最大值为；
②y＝f(x)是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f(x)在区间上单调递减；
④将函数y＝cos
2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确说法的序号是
．(把你认为正确的说法的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知cos
θ＝，θ∈(π，2π)，求sin以及tan的值．
18．(本小题满分12分)已知sin
－2cos
＝0.
(1)求tan
x的值；
(2)求的值．
19．(本小题满分12分)已知cos＝－，sin＝且α∈，β∈.
求：(1)cos的值；
(2)tan(α＋β)的值．
20．(本小题满分12分)已知向量m＝(cos
x，sin
x)，n＝(2＋sin
x,2－cos
x)，函数f(x)＝m·n，x∈R.
(1)求函数f(x)的最大值．
(2)若x∈且f(x)＝1，求cos的值．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin＋sin＋cos
x.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)若f＝－，＜x＜时，求的值．
22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．
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