平面向量应用举例
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )
A．6
B．2
C．2
D．2
解析： 因为物体处于平衡状态，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝2.
答案： D
2．已知a＝(－1，)，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是( )
A.
B．2
C．2
D．4
解析： 因为a＝(－1，)，所以|a|＝＝2.设AB中点为C，则＝(＋)＝a，则||＝|a|＝2.在直角三角形AOB中，||＝2||＝4，所以S△AOB＝×4×2＝4.
答案： D
3．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
解析： ＝(3,3)，＝(－2，－2)，所以＝－CB，与共线，但||≠||，故此四边形为梯形．
答案： A
4．河水的流速为2
m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10
m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )
A．10
m/s
B．2
m/s
C．4
m/s
D．12
m/s
解析： 由题意知|v水|＝2
m/s，|v船|＝10
m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小
|v|＝＝＝2(m/s)．
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.
如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米时，力F做的功为________焦耳．
解析： 设小车位移为s，则|s|＝10米，
WF＝F·s＝|F||s|·cos
60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案： 50
6．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为____________．
解析： 由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案： (10，－5)
7．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40
m/s，则鹰的飞行速率为________．
解析： 设鹰的飞行速度为v1，鹰在地面上的影子的速度为v2，则|v2|＝40
m/s，因为鹰的运动方向是与水平方向成30
°角向下，故|v1|＝＝(m/s)．
答案： (m/s)
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝FC＝AC，试用向量方法证明四边形DEBF也是平行四边形．
证明： 设＝a，＝b，
则＝－＝－a＝b－a，
＝－＝b－＝b－a，
所以＝，且D，E，F，B四点不共线，所以四边形DEBF是平行四边形．
9．一个物体受到同一个平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8
m．已知|F1|＝2
N，方向为北偏东30°，|F2|＝4
N，方向为北偏东60°，|F3|＝6
N，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F所作的功．
解析： 以三个力的作用点为原点，正东方向为x轴正半轴，正北方向为y轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3，3)．
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,4＋2)．
又位移s＝(4，4)，
所以F·s＝(2－2)×4＋(4＋2)×4＝24(J)．
故这三个力的合力F所做的功是24J.
??☆☆☆
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
解析： (1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
所以||2＝＝2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos
120°＋×9＝3.
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角．
因为cos
θ＝＝
＝
＝＝0，
所以θ＝90°，
即∠DAC＝90°.
PAGE平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
解析： 由题意得cos
∠ABC＝＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.
答案： A
2．已知向量a＝(－1，x)，b＝(1，x)，若2b－a与a垂直，则|a|＝( )
A．1
B．
C．2
D．4
解析： 由题意得，2b－a＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)，∵(2b－a)⊥a，
∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3，∴|a|＝＝2.
答案： C
3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2
B．－
C．0
D．
解析： 由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos
，解得m＝，选D.
答案： D
4．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2
B．2
C.
D．10
解析： 设a，b的夹角为θ，则|a|cos
θ＝|a|·＝＝＝2.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝____________.
解析： ∵a＝(－1,3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3,3－2t)．∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，∴b＝(1,2)，∴|b|＝＝.
答案：
6．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析： ∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cos
θ＝＝，∴θ＝.
答案：
7．设＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若A，B，C三点共线，且⊥，则m＋n的值是__________．
解析： 由已知得＝－＝(n＋2,1－m)，＝－＝(7，－1－m)，∵∥，∴(n＋2)(－1－m)－7(1－m)＝0.
∵⊥，∴－2n＋m＝0，∴或故m＋n的值为9或.
答案： 9或
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析： (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解析： (1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(或|＋|＝＝＝2)
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
??☆☆☆
10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．
解析： (1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
PAGE平面向量数量积的物理背景及其含义
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝( )
A.
B．
C.
D．4
解析： |a＋3b|2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6×cos
60°＋9＝13，所以|a＋3b|＝.
答案： C
2．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝( )
A．12
B．3
C．6
D．3
解析： a·b＝|a||b|cos
135°＝－12，又|a|＝4，解得|b|＝6.
答案： C
3．在△ABC中，||＝1，||＝，||＝2，则·＝( )
A.
B．1
C.
D．－1
解析： 在△ABC中，已知||＝1，||＝，||＝2，可知△ABC为直角三角形，且∠A＝，则·＝|A|·|A|cos
A＝1×2×＝1.
答案： B
4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
A．－
B．
C．±
D．1
解析： ∵3a＋2b与ka－b互相垂直，
∴(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
∴3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0，
∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴12k－18＝0，k＝.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝________.
解析： (a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
答案： －7
6．已知|a|＝5，|b|＝8，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的射影的数量等于________．
解析： |b|cos〈a，b〉＝8cos
60°＝4，所以b在a方向上的射影的数量等于4.
答案： 4
7．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是__________．
解析： ·＝||||cos∠BAC，即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
答案： 等边三角形
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知|a|＝3，|b|＝6，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
解析： (1)当a∥b时，
若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，
∴a·b＝|a||b|cos
0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos
180°＝3×6×(－1)＝－18；
(2)当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0；
(3)当a与b的夹角是60°时，
有a·b＝|a||b|cos
60°＝3×6×＝9.
9．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解析： (1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5，因为a2＝b2＝1，所以a·b＝.因此(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝15，
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ，
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝，
所以cos
θ＝＝＝，
因为0°≤θ≤180°，所以sin
θ＝＝＝.
所以3a－b与a＋3b的夹角的正弦值为.
??☆☆☆
10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解析： (1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影为|a|cos
θ＝－1，
∴cos
θ＝－，
∴θ＝.
(2)易知a·b＝－1，
则(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－1－2＝－3.
(3)∵λa＋b与a－3b互相垂直，
∴(λa＋b)·(a－3b)＝λa2－3λa·b＋b·a－3b2
＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
∴λ＝.
PAGE平面向量共线的坐标表示
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是( )
A．(2,1)
B．(－6，－3)
C．(－1,2)
D．(－4，－8)
解析： ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
答案： D
2．已知a＝(sin
α，1)，b＝(cos
α，2)，若b∥a，则tan
α＝( )
A.
B．2
C．－
D．－2
解析： 因为b∥a，所以2sin
α＝cos
α，所以＝，所以tan
α＝.
答案： A
3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4,0)
B．(0,4)
C．(4，－8)
D．(－4,8)
解析： 因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，所以1×4＝(－2)×m，所以m＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．
答案： C
4．若＝i＋2j，＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1,2
B．2,2
C．3,2
D．2,4
解析： 由题意知，＝(1,2)，＝(3－x,4－y)．
∵∥，∴4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．向量a＝(1，－2)，向量b与a共线，且|b|＝4|a|，则b＝__________.
解析： 因为b与a共线，∴b＝λa＝(λ，－2λ)，又∵|b|＝4|a|，∴λ＝±4，∴b＝(4，－8)或(－4,8)．
答案： (4，－8)或(－4,8)
6．已知A(－1,4)，B(x，－2)，若C(3,3)在直线AB上，则x＝________.
解析： ＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，
∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.
答案： 23
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，若λa＋μb与a＋b共线，则λ与μ的关系是________．
解析： ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa＋μb＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，
又∵(λa＋μb)∥(a＋b)，
∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，
∴λ＝μ.
答案： λ＝μ
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图所示，在平行四边形ABCD中，A(0,0)，B(3,1)，C(4,3)，D(1,2)，M，N分别为DC，AB的中点，求，的坐标，并判断，是否共线．
解析： 由已知可得M(2.5,2.5)，N(1.5,0.5)，
所以＝(2.5,2.5),
＝(－2.5，－2.5)，
又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以，共线．
9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解析： (1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，
所以＝λ，λ∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
所以解得m＝.
??☆☆☆
10．如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC与OB的交点P的坐标．
解析： 由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．易知＝(－2,6)，
由与共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
PAGE平面向量的坐标运算
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是( )
A．(－4,2)
B．(－4，－2)
C．(4,2)
D．(4，－2)
解析： 3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．
答案： D
2．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( )
A.
B．
C.
D．(8,1)
解析： ＝(－)
＝[(－5，－1)－(3，－2)]＝(－8,1)＝，所以＝.
答案： A
3．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是( )
A．(1，－2)
B．(7,6)
C．(5,0)
D．(11,8)
解析： 因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案： D
4．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为( )
A.
B．
C.
D．
解析： 如图所示，∵∠AOC＝45°，
∴设C(x，－x)，则＝(x，－x)．
又∵A(－3,0)，B(0,2)，
∴λ＋(1－λ)
＝(－3λ，2－2λ)，
∴?λ＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为__________．
解析： ＝(－1，－5)，＝3a＝(6,9)，
故＝＋＝(5,4)，故点B的坐标为(5,4)．
答案： (5,4)
6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为__________．
解析： 由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
答案： －3
7．已知A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在第一、三象限的角平分线上，则λ________.
解析： 因为＝＋λ，
所以＝＋＝＋＋λ＝＋λ
＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，
由5＋5λ＝4＋7λ，得λ＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，＝3，＝2
，求的坐标．
解析： 因为A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)，
＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)，
所以＝3
＝(3,24)，
＝2＝(12,6)
设M(x，y)，则＝(x＋3，y＋4)，
即解得
所以M(0,20)，同理可得N(9,2)，
所以＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．
9．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.
(1)求p的坐标；
(2)若以a，b为基底，求p的表达式．
解析： (1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．
(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)
＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，
所以
所以所以p＝－a－15b.
??☆☆☆
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解析： (1)设B(x1，y1)，
因为＝(4,3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
所以
所以
所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则
x2＝＝－，y2＝＝－1.
所以M.
(2)由＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
PAGE平面向量基本定理
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2
D．e1和e1＋e2
解析： B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案： B
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝( )
A.(e1＋e2)
B．(e1－e2)
C.(2e2－e1)
D．(e2－e1)
解析： ＝(＋)＝(e1＋e2)，故选A.
答案： A
3．在正方形ABCD中，与的夹角等于( )
A．45°
B．90°
C．120°
D．135°
解析： 如图所示，
将平移到，则与的夹角即为与的夹角，夹角为135°.
答案： D
4．在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点．若＝r＋s，则r＋s＝( )
A．1
B．
C．－
D．－
解析： 因为D为BC的中点，E为AD的中点，
所以＝(＋)，＝＝(＋)．
所以＝＋＝－＋(＋)＝－.
又＝r＋s，所以r＝，s＝－，所以r＋s＝－.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析： ∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，
∵(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
∴解得∴x－y＝3.
答案： 3
6．已知e1，e2是两个不共线向量，a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2共线，则实数k＝________.
解析： 由题设，知＝，∴3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
答案： －2或
7．若|a|＝|b|＝|a－b|，则a与b的夹角为________．
解析： 如图，作＝a，＝b，＝a－b，因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以OA＝OB＝AB，所以a与b的夹角为∠AOB＝60°.
答案： 60°
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.
解析： 因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)
＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.
又因为e1，e2不共线，
所以解得所以c＝a－2b.
9．如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且＝，＝，＝，若＝a，＝b，试用a，b将，，表示出来．
解析： ＝－
＝－＝a－b，
＝－＝－－
＝－b－(a－b)＝－a＋b.
＝－＝－(＋)＝(a＋b)．
??☆☆☆
10．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋.
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB的中点，AM与CN交于点O，设＝x＋y，求x，y的值．
解析： (1)由＝＋可知M，B，C三点共线，
如图，令＝λ?＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝
(1－λ)＋λ?λ＝，
所以＝，即面积之比为1∶4.
(2)由＝x＋y?＝x＋，
＝＋y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线??
PAGE向量数乘运算及其几何意义
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．化简：＝( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
解析： 原式＝[(a＋4b)－(4a－2b)]＝(－3a＋6b)＝2b－a，选B.
答案： B
2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝( )
A.b
B．－b
C.b
D．－b
解析： b与a反向，故a＝λb(λ<0)，|a|＝－λ|b|，则5＝－λ×7.所以λ＝－.
答案： B
3．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3
B．
C．－1或4
D．3或4
解析： 因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所以m＝，解得m＝－1或m＝3.
答案： A
4．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A.＝2
B．＝
C.＝3
D．2＝
解析： 因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，所以＝－，所以＝.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析： 由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
∴x＋3a－4b＝0，∴x＝4b－3a.
答案： 4b－3a
6．下列向量中a，b共线的有________(填序号)．
①a＝2e，b＝－2e；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；
④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
解析： ①中，a＝－b；②中，b＝－2e1＋2e2＝－2(e1－e2)＝－2a；③中，a＝4e1－e2＝4＝4b；④中，当e1，e2不共线时，a≠λb.故填①②③.
答案： ①②③
7．如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝__________.(2)＝__________.
解析： 因为∥，||＝2||，
所以＝2
，＝
.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
答案： (1)e2＋e1 (2)e1－e2
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解析： ∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴ ∴
∴k＝－2.
9．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线；
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解析： (1)证明：因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则，同向且||＞||(如图所示)，所以λ＞1.
??☆☆☆
10．在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
解析： 如图，设＝a，＝b.
∵M，N分别是DC，BC的中点，
∴＝b，＝a.
∵在△ADM和△ABN中，
即
①×2－②，得b＝(2c－d)．
②×2－①，得a＝(2d－c)．
∴＝d－c，＝c－d.
PAGE向量减法运算及其几何意义
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是( )
A．a与b的长度相等
B．a∥b
C．a与b一定相等
D．a是b的相反向量
解析： a＝－b，
∴|a|＝|－b|且a∥b，a是b的相反向量．
答案： C
2．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A．a＋b＋c＋d＝0
B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0
D．a－b－c＋d＝0
解析： 如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，又四边形ABCD为平行四边形，则＝，即－＝0，所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.
答案： B
3．在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，＝c，则＝( )
A．a＋b－c
B．a－b＋c
C．a＋b＋c
D．c－a－b
解析： 由于＝，故＝b，则＝＋＝a＋b，又＝－＝c－a－b，且＝，故＝c－a－b.
答案： D
4．平面上有三点A、B、C，设m＝＋，n＝－，若m、n的长度恰好相等，则有( )
A．A、B、C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析： ∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，
∴|－|＝|＋|，如图．
即?ABCD的对角线相等，
∴?ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．化简(＋)＋(－)＝________.
解析： (＋)＋(－)＝(＋)＋(＋)＝0＝.
答案：
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.
解析： 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案： 0 2
7．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.
解析： 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，
∴||＝||＝||＝2.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．化简：(1)－＋－；
(2)＋＋－.
解析： (1)－＋－
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(2)＋＋－＝(＋)＋(－)
＝＋＝0.
9．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：
(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.
解析： (1)由已知得a＋b＝＋＝＝c，所以延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.所以|a＋b＋c|＝2.
(2)作＝，连接CF，
则＋＝，
而＝－＝a－b，
所以a－b＋c＝＋＝
且||＝2，所以|a－b＋c|＝2.
??☆☆☆
10．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，＝a，＝b，求证：
(1)|a－
b|＝|a|.
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明： (1)如图，在等腰Rt△ABC中，由M是斜边AB的中点，得||＝||，||＝||.
(1)在△ACM中，＝－＝a－b.
于是由||＝||，得|a－b|＝|a|.
(2)在△MCB中，＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b)．
从而由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|.
PAGE向量加法运算及其几何意义
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．若C是线段AB的中点，则＋为( )
A.
B．
C．0
D．以上都错
解析： 因为C为线段AB的中点，所以＝，所以＋＝＋＝0.
答案： C
2．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A.
B．
C.
D．
解析： 因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案： A
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同
B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同
D．与向量b方向相反
解析： 因为a∥b且|a|＞|b|＞0，所以当a，b同向时，a＋b的方向与a相同，当a，b反向时，因为|a|＞|b|，所以a＋b的方向仍与a相同．
答案： A
4．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝( )
A.
B．
C.
D．
解析： ＋＋＝＋＋＝.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.＋＋＋＝________.
解析： ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝.
答案：
6．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝c，＝b，则|a＋b＋c|为________．
解析： |a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案： 2
7．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是________．
①＝；②＋＝；③＋＝；④＋＝0.
解析： ①显然正确；由平行四边形法则知②正确；＋≠，故③不正确；＋＝＋＝0，故④正确．
答案： ①②④
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1)＋；
(2)＋.
解析： (1)由图可知，四边形OABC为平行四边形，所以由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由图可知，＝＝＝，
所以＋＝＋＝.
9．已知||＝|a|＝3，||＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
解析： 如图，∵||＝||＝3，
∴四边形OACB为菱形．
连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.
∵∠AOB＝60°，∴AB＝||＝3.
∴在Rt△BDC中，CD＝.
∴||＝|a＋b|＝×2＝3.
??☆☆☆
10．已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10
km/h，问：
(1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少？
(2)如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N，小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头？(河水自西向东流)
解析： (1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20
km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0
km/h，此时小船是静止的．
(2)如图所示，设表示水流的速度，表示小船实际过河的速度，表示小船在静水中的速度．
设MC⊥MA，
由题意可得||＝||＝10，
∠CMN＝30°，
则∠AMN＝60°，
因为＋＝，
所以四边形MANB为菱形．
所以△AMN，△BMN为等边三角形．
在△BMN中，∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，
所以∠CMB＝30°，
所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.
PAGE平面向量的实际背景及基本概念
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是.
A．3
B．2
C．1
D．0
解析： 根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a共线的单位向量是或－，故④也是错误的．
答案： D
2．下列说法中正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a≤b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
解析： 因为向量不能比较大小，所以A项不正确；即便|a|＝|b|，但是向量的方向不确定，所以B项不正确；向量相等的条件是方向相同且模相等，所以C项正确；当向量不相等时，可以共线，故D项不正确．
答案： C
3．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝
B．＝
C.＝
D．＝
解析： 由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，∴＝.
答案： D
4．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
解析： 由＝，知AB＝CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形．又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
答案： C
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知||＝1，||＝2，若∠ABC＝90°，则||＝____________.
解析： 由勾股定理可知，BC＝＝，所以||＝.
答案：
6．四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量端点，则与平行且长度为2的向量个数有__________个．
解析： 如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，共8个．
答案： 8
7．给出下列四个条件：(1)a＝b；(2)|a|＝|b|；(3)a与b方向相反；(4)|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
解析： 若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.
答案： (1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．如图，O是正方形ABCD的中心．
(1)写出与向量相等的向量；
(2)写出与的模相等的向量．
解析： (1)与向量相等的向量是；
(2)与的模相等的向量有：，，，，，，.
9．一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移．
解析： (1)向量，，，如图所示．
(2)由题意知＝.
所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”．
??☆☆☆
10．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么？
解析： (1)根据相等向量的定义，
所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．
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