2020-2021学年江苏省无锡市高一上学期期末数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年江苏省无锡市高一（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣x2﹣2x+3＞0}，全集为R，则?RA＝（　　）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|x＜﹣3或x＞1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}
2．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
3．函数f（x）＝x2+ln|x|的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（　　）
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
5．已知a＝log0.57，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
6．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．则函数f（x）＝x3+3x2图象的对称中心为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．已知函数，若函数F（x）＝2（f（x））2﹣mf（x），且函数F（x）有6个零点，则非零实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0）∪（0，16） B．（2，16）
C．[2，16） D．（﹣2，0）∪（0，+∞）
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b且，则ab＞0
B．若a＞b＞0且c＜0，则
C．若a＞b＞c＞0，则
D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd
10．已知函数f（x）＝sinx﹣|cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的图象关于直线x＝kπ+（k∈Z）对称
B．y＝f（x）的图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称
C．f（x）的值域为[，1]
D．f（x）在[π，2π]上单调递增
11．对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（　　）
A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数
B．若f（x）为奇函数，且满足对?x1，x2∈R，，则f（x）在R上是增函数
C．若f（﹣2）＝f（2），则函数f（x）是偶函数
D．若函数f（x）是奇函数，则f（﹣2）≠f（2）一定成立
12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则关于f（x）的结论正确的是（　　）
A．f（x）是周期为4的周期函数
B．f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}
C．x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）＝2x+6
D．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
三、填空题（共4小题）.
13．函数（x＞1）的最小值为　 　．
14．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数，则m＝　 　，若，则g（x）的值域为　 　．
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式H＝2sin（）+，φ∈（0，），且t＝0时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为　 　米．
16．已知实数a，b满足3a+a＝7，，则a+3b＝　 　．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知角α是第二象限角，且．
（1）求sin2α+2sinαcosα的值；
（2）求的值．
18．（12分）已知集合A＝，集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合C＝{x|3≤x＜10，x∈Z}．
（1）求A∩C的子集的个数；
（2）若命题“?x∈A∪B，都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围．
19．（12分）已知．
（1）求f（x）在区间[，]上的最小值；
（2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，求满足g（x）≥0的x的取值范围．
20．（12分）经调查，某产品在过去两周内的日销售量（单位：千克）与日销售单价（单位：元）均为时间t（天）的函数．其中日销售量为时间t的一次函数，且t＝1时，日销售量为34千克，t＝10时，日销售量为25千克．日销售单价满足函数．
（1）写出该商品日销售额y关于时间t的函数（日销售额＝日销售量×销售单价）；
（2）求过去两周内该商品日销售额的最大值．
21．（12分）已知函数（a，b∈R）．
（1）若a＝﹣4，b＝﹣8，解关于x的不等式；
（2）已知f（x）为定义在R上的奇函数．
①当x∈（﹣∞，0]时，求f（x）的值域；
②若f（mx2）+f（1﹣mx）＞f（0）对任意x∈R成立，求m的取值范围．
22．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣2acosx﹣2a（a∈R）的最小值为，函数g（x）＝msinx﹣mcosx+sinxcosx（m∈R）．
（1）求a的值；
（2）已知≤x≤π时，|g（x）|≤﹣a恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x|﹣x2﹣2x+3＞0}，全集为R，则?RA＝（　　）
A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|﹣3＜x＜1} C．{x|x＜﹣3或x＞1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}
解：根据题意，因为A＝{x|﹣x2﹣2x+3＞0}＝＝{x|（x﹣1）（x+3）＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}．
因为全集U＝R，
所以?UA＝{x|x≤﹣3或x≥1}，
故选：D．
2．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
解：因为圆心角α＝4，设扇形的弧长为l，
所以l＝4r，
因为扇形的周长是12，
所以l+2r＝4r+2r＝12，解得r＝2，
所以l＝4×2＝8．
故选：C．
3．函数f（x）＝x2+ln|x|的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x）＝（﹣x）2+ln|﹣x|＝x2+ln|x|＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除D，
当x＞0时，f（x）＝x2+lnx为增函数，排除A，C，
故选：B．
4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：m/s）可以表示为，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（　　）
A．2500 B．2600 C．2700 D．2800
解：当v＝1.5m/s时，1.5＝，即＝3，
∴，∴Q＝2700，
当v＝0时，，即，
∴＝1，∴Q＝100，
∵2700﹣100＝2600，
∴当一条鲑鱼以1.5m/s的速度游动时，它的耗氧量比静止时多2600个单位，
故选：B．
5．已知a＝log0.57，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
解：∵log0.57＜log0.51＝0，∴a＜0，
∵0＜，∴0＜b＜1，
∵＝1，∴c＞1，
∴a＜b＜c，
故选：A．
6．我们知道，函数y＝f（x）的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数．则函数f（x）＝x3+3x2图象的对称中心为（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（1，﹣2）
解：根据题意，设函函数f（x）＝x3+3x2图象的对称中心为（a，b），
则y＝f（x+a）﹣b为奇函数，
即y＝（x+a）3+3（x+a）2﹣b＝x3+（3a+3）x2+（3a2+6a）x+a3+3a2﹣b为奇函数，
必有，解可得a＝﹣1，b＝2，
则f（x）的对称中心为（﹣1，2），
故选：A．
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家有关规定：100毫升血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/mL，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他至少要经过几个小时后才能驾车（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
解：经过t小时后，体内的酒精含量为：0.6×（）tmg/mL，
只需，
∴t＞＝＝≈＝3.8，
又∵t∈N*，
∴他至少要经过4个小时后才能驾车，
故选：C．
8．已知函数，若函数F（x）＝2（f（x））2﹣mf（x），且函数F（x）有6个零点，则非零实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣2，0）∪（0，16） B．（2，16）
C．[2，16） D．（﹣2，0）∪（0，+∞）
解：函数的图象如图，
若函数F（x）＝2（f（x））2﹣mf（x），且函数F（x）有6个零点，可得f（x）＝0，f（x）＝，当f（x）＝0时，有3个零点，
则f（x）＝有3个零点，
所以∈[1，8），解得m∈[2，16）．
故选：C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b且，则ab＞0
B．若a＞b＞0且c＜0，则
C．若a＞b＞c＞0，则
D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd
解：对于A，若a＞b且，则a＞0＞b，故ab＜0，故A错误；
对于B，若a＞b＞0，则＜，又c＜0，则，故B正确；
对于C，若a＞b＞c＞0，则a﹣b＞0，则＝＞0，即，故C错误；
对于D，若a＞b＞0，c＜d＜0，则﹣c＞﹣d＞0，则﹣ac＞﹣bd，所以ac＜bd，故D正确．
故选：BD．
10．已知函数f（x）＝sinx﹣|cosx|，则下列说法正确的是（　　）
A．y＝f（x）的图象关于直线x＝kπ+（k∈Z）对称
B．y＝f（x）的图象关于点（kπ，0）（k∈Z）对称
C．f（x）的值域为[，1]
D．f（x）在[π，2π]上单调递增
解：f（x）＝，k∈Z，
所以f（x）的图象为：
由图象可知；选项AC正确；
故选：AC．
11．对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的是（　　）
A．若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数
B．若f（x）为奇函数，且满足对?x1，x2∈R，，则f（x）在R上是增函数
C．若f（﹣2）＝f（2），则函数f（x）是偶函数
D．若函数f（x）是奇函数，则f（﹣2）≠f（2）一定成立
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若f（2）＞f（1），则f（x）在R上不是减函数，其逆否命题为：若f（x）在R上是减函数，必有f（2）≤f（1），是真命题，则原命题为真，A正确，
对于B，若f（x）为奇函数，且满足对?x1，x2∈R，，即＞0，函数f（x）在R上是增函数，B正确，
对于C，若f（﹣2）＝f（2），不能满足任意定义域中任意x满足f（﹣x）＝f（x），f（x）不一定是偶函数，C错误，
对于D，若函数f（x）是奇函数，可以有f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，D错误，
故选：AB．
12．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则关于f（x）的结论正确的是（　　）
A．f（x）是周期为4的周期函数
B．f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}
C．x∈（﹣3，﹣1）时，f（x）＝2x+6
D．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
解：因为f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选项D正确；
因为定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），
所以f（2﹣x）＝f（x），
则f（x+2）＝f（﹣x）＝﹣f（x），
则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
故函数f（x）是周期为4的周期函数，故选项A正确；
当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣2x，则1﹣x∈[0，1），1+x∈（1，2]，
所以f（1+x）＝f（1﹣x）＝﹣2（1﹣x）＝2x﹣2，
所以f（x）＝2x﹣4，∈（1，2]，
故，故选项C错误；
在[﹣2，2）一个区间上的零点为﹣2，0，由周期性可得，f（x）所有零点的集合为{x|x＝2k，k∈Z}，故选项B正确．
故选：ABD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．函数（x＞1）的最小值为　2+　．
解：，
因为x＞1，所以x﹣1＞0，
所以，
当且仅当，即2（x﹣1）2＝1，即x＝1+时取等号．
故答案为：2+．
14．已知幂函数f（x）＝（m2﹣5m+7）xm﹣1为偶函数，则m＝　3　，若，则g（x）的值域为　（0，1]　．
解：由函数f（x）是幂函数，则m2﹣5m+7＝1，解得m＝2或m＝3，
当m＝2时，f（x）＝x，函数f（x）是奇函数，不合题意，
当m＝3时，f（x）＝x2，函数f（x）是偶函数，符合题意，
故m＝3；
故＝，由t＝x2≥0，得h（t）＝在[0，+∞）单调递减，
故h（t）≤h（0）＝1，故h（t）的值域是（0，1]，即g（x）的值域是（0，1]，
故答案为：3；（0，1]．
15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）．假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水简M距离水面的高度H（单位：米）与转动时间t（单位：秒）满足函数关系式H＝2sin（）+，φ∈（0，），且t＝0时，盛水筒M与水面距离为2.25米，当筒车转动100秒后，盛水筒M与水面距离为　0.25　米．
解：∵H＝2sin（）+，φ∈（0，），
当t＝0时，H＝2sinφ+＝2.25，则sinφ＝，
∵φ∈（0，），∴φ＝．
故H＝2sin（t+）+，
∴当t＝100时，盛水筒M与水面距离为：
H＝2sin（）+＝2×+＝0.25．
故答案为：0.25．
16．已知实数a，b满足3a+a＝7，，则a+3b＝　6　．
解：令，则，
因为，
则33t+3t＝7，
又函数y＝3x+x在R上单调递增，
所以有a＝3t＝log3（3b+1），则3b＝3a﹣1，
所以a+3b＝a+3a﹣1＝7﹣1＝6．
故答案为：6．
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知角α是第二象限角，且．
（1）求sin2α+2sinαcosα的值；
（2）求的值．
解：（1）∵角α是第二象限角，且，
∴sin2α+2sinαcosα＝＝＝＝．
（2）根据 角α是第二象限角，且＝，sin2α+cos2α＝1，
可得sinα＝，cosα＝﹣，
∴＝sin（α+）＝sinαcos+cosαsin＝×（﹣）+（﹣）×＝﹣．
18．（12分）已知集合A＝，集合B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合C＝{x|3≤x＜10，x∈Z}．
（1）求A∩C的子集的个数；
（2）若命题“?x∈A∪B，都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围．
解：（1）∵A＝{x|﹣x2+3x+10≥0}＝{x|﹣2≤x≤5}，C＝{x|3≤x＜10，x∈Z}，
∴A∩C＝{x|3≤x≤5，x∈Z}＝{3，4，5}，
∴A∩C的子集个数为：23＝8；
（2）∵命题“?x∈A∪B，都有x∈A”是真命题，
∴A∪B＝A，∴B?A，
①B＝?时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
②B≠?时，，解得2≤m≤3，
综上得，实数m的取值范围为：（﹣∞，3]．
19．（12分）已知．
（1）求f（x）在区间[，]上的最小值；
（2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）的图象，求满足g（x）≥0的x的取值范围．
解：（1）∵＝cos（2x+）﹣2×
＝cos（2x+）+cos（2x﹣）﹣1＝cos（2x+）+sin（2x+）﹣1
＝2sin（2x++）﹣1＝2sin（2x+）﹣1．
∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，
故当 2x+＝时，f（x）取得最小值为﹣﹣1．
（2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）﹣1 的图象，
由g（x）≥0，可得 sin（2x+）≥，
∴2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得要求的x的范围为{x|kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z}．
20．（12分）经调查，某产品在过去两周内的日销售量（单位：千克）与日销售单价（单位：元）均为时间t（天）的函数．其中日销售量为时间t的一次函数，且t＝1时，日销售量为34千克，t＝10时，日销售量为25千克．日销售单价满足函数．
（1）写出该商品日销售额y关于时间t的函数（日销售额＝日销售量×销售单价）；
（2）求过去两周内该商品日销售额的最大值．
解：（1）设日销售量g（t）（千克）关于时间t（天）的函数为g（t）＝kt+b，
则，解得，
所以g（t）＝35﹣t，
所以y＝．
（2）①当1≤t＜8时，y＝25[37﹣（t+1）﹣]×25＝625，
当且仅当（t+1）2＝36，即t＝5时，等号成立，
②当8≤t≤14时，y＝﹣t2+21t+490，
当t＝10或11时，ymax＝600，
∵625＞600，∴t＝5时，ymax＝625，
即过去两周内该商品日销售额的最大值为625元．
21．（12分）已知函数（a，b∈R）．
（1）若a＝﹣4，b＝﹣8，解关于x的不等式；
（2）已知f（x）为定义在R上的奇函数．
①当x∈（﹣∞，0]时，求f（x）的值域；
②若f（mx2）+f（1﹣mx）＞f（0）对任意x∈R成立，求m的取值范围．
解：（1）若a＝﹣4，b＝﹣8，
则可得＜，可令t＝2x（t＞0），
可得＜，即＜0，解得4＜t＜12，
即4＜2x＜12，解得2＜x＜log212，
即原不等式的解集为（2，log212）；
（2）①因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，即2a+b＝0，则b＝﹣1，
所以f（x）＝，由f（x）为R上的奇函数，可得f（﹣x）+f（x）＝0，
所以+＝0，
即＝0，所以a＝1，
f（x）＝1﹣，令t＝2x+1（x≤0），则1＜t≤2，
所以原函数的值域转化为y＝1﹣（1＜t≤2）的值域，
又因为y＝1﹣在（1，2]递增，
所以f（x）的值域为（﹣1，0]；
②f（x）＝1﹣，对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）﹣f（x1）＝（1﹣）﹣（1﹣）＝，
由于x1＜x2，可得2x2＞2x1，即2x2﹣2x1＞0，
即有f（x2）＞f（x1），
所以f（x）在R上递增，
又因为f（mx2）+f（1﹣mx）＞f（0）对任意x∈R成立，
且f（x）为R上的奇函数，
所以f（mx2）＞f（mx﹣1）对x∈R恒成立，
即mx2﹣mx+1＞0对x∈R恒成立，
当m＝0时，1＞0恒成立；
当m≠0时，只需m＞0，且△＝m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，
综上可得，m的取值范围是[0，4）．
22．（12分）已知函数f（x）＝cos2x﹣2acosx﹣2a（a∈R）的最小值为，函数g（x）＝msinx﹣mcosx+sinxcosx（m∈R）．
（1）求a的值；
（2）已知≤x≤π时，|g（x）|≤﹣a恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）令t＝cosx，则﹣1≤t≤1，
因为函数y＝2t2﹣2at﹣2a﹣1，t∈[﹣1，1]的最小值为，
当，即a＜﹣2时，ymin＝1，不合题意；
当，即﹣1≤a≤2时，，
解得a＝﹣1或a＝﹣3，
所以a＝﹣1；
（2）当时，|g（x）|≤﹣a恒成立，
又由（1）中可得，a＝﹣1，
即﹣1≤m（sinx﹣cosx）+sinxcosx≤1，
令s＝sinx﹣cosx，≤x≤π，
则，则，
所以，
即对任意的恒成立，
记，φ（s）＝，
则h（s）max≤m≤φ（s）min，
因为h（s）在[1，2]上单调递增，
所以，
又因为，
当且仅当s＝1时取等号，所以φ（s）min＝1，
综上所述，m的取值范围为．