2020-2021学年上海市浦东新区高二上学期期末数学试卷 （Word解析版）

2020-2021学年上海市浦东新区高二（上）期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．9与1的等比中项为　 　．
2．＝　 　．
3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝　 　．
4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为　 　．
5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是　 　．
6．向量＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为　 　．
7．已知数列{an}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝　 　．
8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为　 　．
9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是　 　．
10．若{an}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+an）＝2，则a1的取值范围为　 　．
11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为　 　．
12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是　 　．
二、选择题（共4小题）.
13．直线l：＝的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
14．二元一次方程的系数行列式的值是（　　）
A．2 B．5 C．7 D．11
15．若等比数列{an}的前项和Sn＝3n+a，则a的值为（　　）
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣3
16．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
三、解答题
17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．
18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．
（1）求与的夹角θ的余弦值；
（2）若⊥，求实数λ的值和向量．
19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．
20．已知数列{an}中，a1＝1，点P（an，an+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+Sn﹣1＝（Sn﹣1）?g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．
21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；
（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．
参考答案
一、填空题（共12小题）.
1．9与1的等比中项为　±3　．
解：9与1的等比中项＝±＝±3．
2．＝　　．
解：根据题意，＝＝，
故答案为：．
3．若＝（1，2）与＝（2，m）平行，则实数m＝　4　．
解：∵＝（1，2）与＝（2，m）平行，
∴，
解得实数m＝4．
故答案为：4．
4．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为　﹣12　．
解：三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为．
故答案为：﹣12．
5．直线l：x﹣y+1＝0的倾斜角是　60°　．
解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ．
由直线x﹣y+1＝0化为y＝x+1，
∴，
∵θ∈[0°，180°）
∴θ＝60°．
故答案为：60°．
6．向量＝（4，3）在向量＝（1，0）方向上的投影为　4　．
解：∵，
∴在方向上的投影为：．
故答案为：4．
7．已知数列{an}为等差数列且a5＝2，则其前9项和S9＝　18　．
解：等差数列{an}满足a5＝2，则其前9项和S9＝＝9a5＝18．
故答案为：18．
8．直线l1：x+y﹣1＝0与直线l2：x﹣y+2＝0夹角的大小为　　．
解：直线l1：x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，倾斜角为，
直线l2：x﹣y+2＝0的斜率为1，倾斜角为，
故它们的夹角为，
故答案为：．
9．若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，则实数k的取值范围是　（﹣25，+∞）　．
解：根据题意，若方程x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0表示的曲线是圆，
则有（﹣6）2+（﹣8）2﹣4×（﹣k）＞0，即100+4k＞0，
解可得k＞﹣25，
即k的取值范围为（﹣25，+∞），
故答案为：（﹣25，+∞）．
10．若{an}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+an）＝2，则a1的取值范围为　（0，2）∪（2，4）　．
解：{an}是无穷等比数列，且（a1+a2+…+an）＝2，
所以|q|∈（0，1），
所以（a1+a2+…+an）＝＝＝2，
所以a1＝2（1﹣q）∈（0，2）∪（2，4）．
故答案为：（0，2）∪（2，4）．
11．已知动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，则动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值与最小值的和为　2+　．
解：圆（x﹣1）2+（y+1）2＝4的圆心坐标为（1，﹣1），半径r＝2，
圆心（1，﹣1）到直线x﹣y＝0的距离为d＝，
又动点P在曲线（x﹣1）2+（y+1）2＝4上，
∴动点P到直线x﹣y＝0的距离的最大值为2+，最小值为0，
最大值与最小值的和为2+．
故答案为：2+．
12．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是　[1，4]　．
解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立坐标系如图，
∵AB＝2，AD＝1，
∴A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），
设M（2，b），N（x，1），
∵，
∴b＝
∴，＝（2，），
∴＝，
∴1，
即1≤≤4
故答案为：[1，4]
二、选择题
13．直线l：＝的一个方向向量可以是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，2） D．（﹣3，2）
解：直线l：＝可变形为，
故直线的方向向量为，
则与平行的向量即可作为直线的方向向量，
因为，
故直线l：＝的一个方向向量可以是（2，3）．
故选：A．
14．二元一次方程的系数行列式的值是（　　）
A．2 B．5 C．7 D．11
解：二元一次方程的系数行列式为．
故选：C．
15．若等比数列{an}的前项和Sn＝3n+a，则a的值为（　　）
A．3 B．0 C．﹣1 D．﹣3
解：∵Sn＝3n+a，Sn﹣1＝3n﹣1+a，（n≥2，n∈N+），
∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝2?3n﹣1，
又a1＝S1＝3+a，由通项得：a2＝6，公比为3，
∴a1＝2，
∴a＝﹣1．
故选：C．
16．已知点P（a，b），曲线C1：x2+y2＝1，曲线C2：y＝，则“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解：已知点P（a，b），
曲线C1的方程x2+y2＝1，即曲线C1为圆心在原点，半径为1的圆，
曲线C2的方程y＝，即曲线C2为圆心在原点，半径为1的上半圆，
①若点P（a，b）在曲线C1上，则点P（a，b）满足曲线C1的方程x2+y2＝1，即a2+b2＝1成立，
则不一定有b＝，b≥0成立，
所以点P（a，b）在曲线C1上，不能推出点P（a，b）在曲线C2上，
②若点P（a，b）在曲线C2上，则点P（a，b）满足曲线C2的方程y＝，有b＝，
因为曲线C2为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，b≥0，
所以点P（a，b）在曲线C2上能推出点P（a，b）在曲线C1上，
即能推出a2+b2＝1成立，
根据充分条件和必要条件的定义可得，
“点P（a，b）在曲线C1上”是“点P（a，b）在曲线C2上”的必要非充分条件，
故选：B．
三、解答题
17．已知直线l与直线2x+y﹣5＝0平行，并且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的一般式方程．
解：根据题意设直线l的方程为2x+y+m＝0，
令x＝0，得y＝m，
令y＝0，得x＝﹣，
所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为|m||﹣|＝4，
所以m2＝16，解得m＝±4，
所以直线l的方程为2x+y+4＝0或2x+y﹣4＝0．
18．已知＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．
（1）求与的夹角θ的余弦值；
（2）若⊥，求实数λ的值和向量．
解：（1）∵＝（1，2），＝（2，﹣2）．
∴与的夹角θ的余弦值为：
cosθ＝＝＝﹣．
（2）∵＝（1，2），＝（2，﹣2），＝﹣λ．
∴＝（2，﹣2）﹣（λ，2λ）＝（2﹣λ，﹣2﹣2λ），
∵⊥，
∴＝1×（2﹣λ）+2×（﹣2﹣2λ）＝0，
解得，∴＝（，﹣）．
19．已知定点A（﹣2，0），B（2，0）和曲线y＝x2+3上的动点C．
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若点G是△ABC的重心，求动点G的轨迹方程．
解：（1）∵A（﹣2，0），B（2，0）
∴AB中点M（0，0）
又∵kAB＝0，∴线段AB的垂直平分线的方程为x＝0；
（2）设G（x，y），C（x0，y0），
∵点G是△ABC的重心，
∴，即，
又因点C在曲线y＝x2+3上，
∴即3y＝（3x）2+3，
∴动点G的轨迹方程y＝3x2+1．
20．已知数列{an}中，a1＝1，点P（an，an+1），n∈N*在直线x﹣y+1＝0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，试问：是否存在关于n的整式g（n），使得S1+S2+……+Sn﹣1＝（Sn﹣1）?g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立，若存在，写出g（n）的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由．
解：（1）数列{an}中，a1＝1，点P（an，an+1）在直线x﹣y+1＝0上，
所以an+1﹣an＝1（常数），
所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以an＝n．
（2）存在g（n）＝n，
理由如下：
由（1）得bn＝＝，
所以，
即nSn﹣nSn﹣1＝1，
故nSn﹣（n﹣1）Sn﹣1＝Sn﹣1+1，
（n﹣1）Sn﹣1﹣（n﹣2）Sn﹣2＝Sn﹣2+1，
…，
2S2﹣S1＝S1+1，
所有的式子相加得：
nSn﹣S1＝S1+S2+…+Sn﹣1+n﹣1，
所以S1+S2+S3+…+Sn﹣1＝nSn﹣n＝n（Sn﹣1），
所以g（n）＝n．
故存在关于n的整式g（n）＝n，使得S1+S2+……+Sn﹣1＝（Sn﹣1）?g（n）（n≥2，n∈N*）恒成立．
21．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，求实数k的取值范围；
（3）试讨论直线l：y＝kx﹣2与圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）的位置关系．
解：（1）由圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4（a＞0，b＞0）与x轴、y轴分别相切于A、B两点，
且a＞0，b＞0，可得a＝b＝2，
则圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4；
（2）由（1）可得，A（2，0），B（0，2），
直线l：y＝kx﹣2过定点P（0，﹣2），如图，
∵kPA＝1，∴若直线l：y＝kx﹣2与线段AB没有公共点，则实数k的取值范围是（﹣∞，1）；
（3）由C（2，2）到直线kx﹣y﹣2＝0的距离d＝，解得k＝．
由图可知，当k∈（﹣∞，）时，直线l与圆C相离；当k＝时，相切；当k∈（，+∞）时，相交．