北师大版九年级数学上册第6章第3节反比例函数的应用 (1)(共57张PPT)

第六章 反比例函数
6.3反比例函数的应用
y
x
46
4
7
O
复 习 旧 知
1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为1,则这个反比例函数的关系式是 .
2、在双曲线 上任一点分别作x轴、y轴的垂线段，与x轴y轴围成矩形面积为12，求函数解析式__________。
y
x
O
或
1、“双曲线 的图象，在x的取值范围内，y随x的增大而增大”这句话对吗。
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内,
在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内,
在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
复 习 旧 知
某校科技小组进行野外考察，利用铺垫若木板的方式通过了一片烂泥湿地．你能解释他们这样做的道理吗？
当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
由p＝ 得p＝
p是S 的反比例函数，因为给定一个S 值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S 的反比例函数．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
当S＝0.2m2时，
p＝ ＝3000(Pa) ．
答：当木板面积为0.2m2时压强是3000Pa．
(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
图象如下
当p＝6000Pa时，
S＝ ＝0.1( )．
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
2000
5000
6000
P/Pa
S/
利用图象对（2）和（3）做出直观解释．
(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
为什么只需在第一象限作函数的图象？
(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释,并与同伴交流.
【解析】问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2,求该点的纵坐标;问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000,求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线p=6000下方的图象上.
蓄电池的电压为定值.使用此电源时,电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示：
(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
【解析】
(1)由题意设函数表达式为I＝
∵A(9，4)在图象上，
∴U＝IR＝36．
∴表达式为I＝ ．
答：蓄电池的电压是36伏．
【跟踪训练】
(2) 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
【解析】
当I≤10A时,
解得R≥3.6(Ω)
答：可变电阻应不小于3.6Ω．
(1)分别写出这两个函数的表达式.
(2)你能求出点B 的坐标吗？
你是怎样求的？
分析：要求这两个函数的表达式，只要把A点的坐标代入即可求出k1，k2．求点B的坐标即求y＝k1x与y＝ 的交点．
【解析】(1)把A点坐标 分别代入y=k1x,和y=
解得k1=2.k2=6；
(2)两个函数组成的方程组
解得x= ，
所以所求的函数的表达式为:y=2x,和y= —；
6
x
1.正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2/x有交点，则k1和k2应满足什么条件？
2.如果正比例函数与反比例函数图象有交点，则交点坐标有什么特点？
正比例函数与反比例函数图象的交点坐标特点关于原点对称.
当k1·k2＞0时,有交点;
当k1·k2＜0时,没有交点;
A
B
y
x
o
y 1= x-2
_
3
x
y2 =
1
C
-1
3
A(3,1)
当-1﹤x﹤0 或 x﹥3
B(-1,-3)
某蓄水池的排水管每时排水8m3,6h可将满池水全部排空.
(1)蓄水池的容积是多少?
【解析】蓄水池的容积为:8×6=48(m3).
(2)如果增加排水管,使每时的排水量达到Q(m3),那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?
【解析】此时所需时间t(h)将减少.
(3)写出t与Q之间的函数关系式;
【解析】t与Q之间的函数关系式为: ．
【跟踪训练】
(4)如果准备在5h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少?
【解析】当t=5h时,Q= =9.6(m3).所以每小时的排水量
至少为9.6m3.
(5)已知排水管的最大排水量为每小时12m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空?
【解析】当Q=12(m3)时,t= =4(h).所以最少需4h
可将满池水全部排空.
+
-
=
-
=
.
2
,
8
)
1
(
x
y
x
y
【解析】
=
-
=
-
=
=
.
4
,
2
，
2
,
4
y
x
y
x
或
解得
).
2
,
4
(
),
4
,
2
(
-
-
因此
B
A
C
D
方
M
A
y
O
B
x
N
C
D
方
1.（綦江·中考）有一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V=2m3时，气体的密度是_______kg/m3．
O
V（m3）
4
2
?（kg/m3）
【解析】先求出反比例函数的解析式，再由V＝2m3计算密度.
【答案】4
2.小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解自己眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度数y（度）与镜片的焦距x（m)成反比例，并请教了师傅了解到自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比例函数的概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家正好学过反比例函数了，谁能帮助她解决这个问题呢？
问题（1）题目中告诉我们什么？变量间是什么关系？
（2）当我们知道是什么关系时应该怎么做？
（3）怎么计算出关系式？
告诉我们度数与焦距成反比例，反比例关系
设出反比例函数关系式的一般式
y=
3．（嘉兴·中考）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t
（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系： ，其
图象为如图所示的一段曲线，且端点为A(40,1)和B(m,0.5)．
（1）求k和m的值；
（2）若行驶速度不得超过60（km/h），
则汽车通过该路段最少需要多少时间？
【解析】（1）将（40,1）代入
，
通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？
?
C
3.
D
4.
A B C D
6.
D
7.
C
1.5
8.

9.
奇迹是会发生的，但你得为之拼命地努力．
——佚名
函数
正比例函数
反比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
( k是常数,k≠0 )
y=
x
k
直线
双曲线
一、三象限
y随x的增大而增大
一、三象限
每个象限内， y随x的增大而减小
二、四象限
二、四象限
y随x的增大而减小
每个象限内， y随x的增大而增大
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
1.反比例函数的图象是__________.
2.反比例函数 的图象在第_________象限内.
3.反比例函数 经过点(m,2),则m的值______.
4.反比例函数 的图象经过点(2,-3), 则它的表
达式为__________.
双曲线
2
二、四
新 课 导 入
观察反比例函数 的图象，你能发现它们的共同特征吗？
新 知 讲 解
（1）函数图象分别位于哪几个象限？
第一、三象限内
x>0时，图象在第一象限；x<0 时，图象在第三象限．
在每一个象限内，y随x的增大而减小．
（2）当x取什么值时，图象在第一象限？当x取什么值时，图象在第三象限？
（3）在每个象限内,随着x值的增大，y的值怎样变化？
新 知 讲 解
的图象有又什么共同特征？
（1）函数图象分别位于哪个象限内？
x>0时，图象在第四象限；x<0 时，图象在第二象限
（2）在每个象限内，随着x值的增大，y的值怎样变化？
在每一个象限内，y随x的增大而增大
新 知 讲 解
当K>0时，在　　　 　内,y随x的增大而　　　．
O
A
B
O
C
D
A
B
C
D
减小
每个象限
重 要 结 论
当K<0时，在　　　 　内,y随x的增大而　　　．
每个象限
增大
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
y
·A
B·
如图xB< xA
但yB< yA
xA
xB
在整个自变量的取值范围内，y随着x增大而减小
x
重 要 结 论
错误
1 下列函数中，其图象位于第一、三象限的_____________;
在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有_____.
(1)(2)(3)
(4)
2.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数
的图象上，比较y1、 y2 、y3的大小关系．
【解析】∵k=4>0
∴每一象限内y随x的增大而减小
∵x10,
∴A、B在第三象限,C在第一象限
∴ y2 0,
即y2 < y1 < y3
y1
y2
y3
利用图像比较大小简单明了
在一个反比例函数图象上任意取两点P、Q，过点P、Q分别作x轴和y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积分别记为S1和S2，则S1和S2之间有什么关系？说明理由．
?
想一想
S1、S2有什么关系？为什么？
S1、S2、S3有什么关系？为什么？
S1
S2
S3
?
想一想
S1=S2
S1=S2=S3
随 堂 练 习
1.（甘肃·中考）如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数 的图象过点A，则k=（ ）
O
B
A
C
y
x
（A）3 （B）?1.5
（C）?3 （D）?6
【解析】选C.矩形的面积等于系数k的绝对值，由图象在第二、四象限，可知k<0，所以k=?3.
若D、E、F反比例函数图像上的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别为S1、S2、S3，则下列成立的是 ( )
A S1B S1>S2 > S3
C S1 < S3 D S1=S2=S3
（ ）
2.
D
函数
正比例函数
反比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y=kx ( k≠0 )
( k是常数,k≠0 )
y=
x
k
直线
双曲线
一三象限
y随x的增大而增大
一三象限
每个象限内， y随x的增大而减小
二四象限
二四象限
y随x的增大而减小
每个象限内， y随x的增大而增大
3.（邵阳·中考）直线y=k1x与双曲线 相交于点P，Q两点．若点P的坐标为（1，2），则
点Q的坐标为 ．
【解析】由双曲线的中心对称性知，点P与点Q关于原点对称，所以点Q的坐标为（?1，?2）.
答案：（?1，?2）.
4.已知反比例函数 ，y随x的增大而减小，求a的值和表达式.
新 知 讲 解
新 知 讲 解
⑴当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限
内,在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；
1、反比例函数的图象是双曲线．
⑵当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限
内,在每一象限内，y的值随x值的增大而增大.
0
x
y
0
x
y
观察反比例函数图象的两支曲线,回答问题:
（1）它们会与坐标轴相交吗？
（2）反比例函数的图象是中心对称图形吗？
（3）反比例函数的图象是轴对称图形吗？
无限接近x轴和y轴，但永远不与坐标轴相交．
是轴对称图形,它们有两条对称轴.
是中心对称图形,对称中心是坐标原点.
1、反比例函数的性质: 反比例函数 的图象，当k>0时,图象位
于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x的增大而减小； 当k<0时，
图象位于第二、四象限，y的值随x的增大而增大．
2、双曲线的两条分支逼近坐标轴但不可能与坐标轴相交．
3、反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形．
4、在反比例函数 的图象上任取一点，分别作
坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的S矩形= |K|．