新人教版九年级数学上册全册教案（word）
文档属性
| 名称 | 新人教版九年级数学上册全册教案（word） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 6.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-28 10:38:31 | ||
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文档简介
第二十一章 一元二次方程 教案
第二十二章 二次函数 教案
第二十三章 旋转 教案
第二十四章 圆 教案
第二十五章 概率初步 教案
九年级2014—2015学年度第一学期
义务教育课程标准人教版
（九年级上册）
数
学
教
案
教师：李贞武
前进中学
2014—2015学年度第一学期九年级数学教学进度表
周序 日 期 教学工作内容 备 注
1 8.31—9.6 开学第一课 赏析数学中的美
第21章 一元二次方程 21.1——21.2 8月31日开学
9月1日正式上课
2 9.7—9.13 21.2——21.3 9月8日中秋节放假
9月10日教师节
3 9.14—9.20 21.3——小结
4 9.21—9.27 第22章 二次函数 22.1.1——22.1.3
5 9.28—10.4 22.1.4——22.1.5 10月1日国庆节放假
6 10.5—10.11 22.2——22.3
7 10.12—10.18 22.3
第一次月考与评讲
8 10.19—10.25 第22章 小结
第23章 旋转 23.1
9 10.26—11.1 23.2.1——23.3——小结
10 11.2—11.8 第24章 圆 24.1.1——24.1.4 本周期中考
11 11.9—11.15 第2次月考（期中考试）卷分析与讲评
24.2.1——24.2.2
12 11.16—11.22 24.2.2——24.3
13 11.23—11.29 24.4——小结
14 11.30—12.6 25.1——25.3——小结
15 12.7—12.13 九（下） 第26章 反比例函数
26.1——26.2
16 12.14—12.20 26.2——小结
第三次月考与评讲
17 12.21—12.27 第27章 相似 27.1——27.2.1
18 12.28—2015.1.3 27.2.1——27.2.2 元旦放假
19 1.4—1.10 27.2.2——27.3
20 1.11—1.17 第27章小结 数学活动
第28章 锐角三角函数 28.1
21 1.18—1.24 28.1——28.2
小结
学期复习考试结束
22 1.25—1.31 期末复习
23 2.1—2.7 第一次质检 农历2014年腊月十九日
目 录
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程………………………………………………………………………………………5
21.2.1配方法(第1课时) …………………………………………………………………………………7
21.2.1配方法(第2课时) …………………………………………………………………………………9
21.2.2公式法………………………………………………………………………………………………11
21.2.3因式分解法…………………………………………………………………………………………13
21.2.4 一元二次方程的根与系数关系……………………………………………………………………15
21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）…………………………………………………………17
21.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）…………………………………………………………19
小结…………………………………………………………………………………………………………21
第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数（第1课时） …………………………………………………………………………25
22.1.2二次函的图象和性质(第1课时) ………………………………………………………27
22.1.3.1二次函的图象和性质(第1课时) ………………………………………………29
22.1.3.2二次函的图象和性质(第2课时)…………………………………………………31
22.1.3.3二次函的图象和性质(第3课时) …………………………………………33
22.1.4 .1二次函的图象和性质(第1课时) …………………………………………35
22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式（第1课时） ………………………………………………37
22.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时） ……………………………………………………39
22.3.1 实际问题与二次函数（第1课时） ……………………………………………………………41
22.3.2 实际问题与二次函数（第2课时） ……………………………………………………………43
小结（3课时）……………………………………………………………………………………………45
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转(1)………………………………………………………………………………………53
23.1 图形的旋转(2)………………………………………………………………………………………56
23.1 图形的旋转(3)………………………………………………………………………………………59
23.2.1中心对称(1)…………………………………………………………………………………………62
23.2.1中心对称(2)…………………………………………………………………………………………65
23.2.1中心对称(3)…………………………………………………………………………………………68
22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标………………………………………………………71
23.3 课题学习 图案设计…………………………………………………………………………………75
小结…………………………………………………………………………………………………………76
第二十四章 圆
24.1.1 圆……………………………………………………………………………………………………79
24．1．2 垂直于弦的直径…………………………………………………………………………………82
24．1．3 弧、弦、圆心角…………………………………………………………………………………86
24.1.4 圆周角………………………………………………………………………………………………90
24.2.1 点和圆的位置关系 ………………………………………………………………………………98
24.2.2 直线和圆的位置关系………………………………………………………………………………100
24.2.3 圆和圆的位置关系…………………………………………………………………………………103
24．3 正多边形和圆………………………………………………………………………………………108
24.4圆锥的侧面积和全面积………………………………………………………………………………113
小结…………………………………………………………………………………………………………116
第二十五章 概率
25.1.1随机事件(第一课时) ………………………………………………………………………………119
25.1.1 随机事件（第二课时）……………………………………………………………………………121
25.1.2 概率的意义…………………………………………………………………………………………123
25.2 用列举法求概率(第一课时)…………………………………………………………………………127
25.2 用列举法求概率(第二课时)…………………………………………………………………………130
25.2 用列举法求概率(第三课时) ………………………………………………………………………132
25.3.1利用频率估计概率…………………………………………………………………………………133
25.3.2利用频率估计概率 ………………………………………………………………………………135
25.4课题学习 键盘上字母的排列规律 …………………………………………………………………137
小结…………………………………………………………………………………………………………139
教学时间
课题 21.1 一元二次方程 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式
3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
过程
方法 1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
情感
态度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.
二、探究新知
探究课本问题2
分析：
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？
整理所列方程后观察：
1.方程中未知数的个数和次数各是多少？
2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
4x+3=0；；；；
概念归纳：
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式：
分析：
.为什么规定≠0？
.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？
3.特殊形式：；；
课本例题
分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.
一元二次方程的根的概念
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？
5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？
归纳：
一元二次方程的根的情况
一元二次方程的解要满足实际问题
三、课堂训练
1.课本练习
2补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．
3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________
4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
五、作业设计
必做：P28：1-7
选做：.P29：8、9
点题，板书课题.
学生读题找等量关系列方程.
学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.
学生尝试叙述，然后师生归纳
师生分析概念和一般形式.
学生根据相关概念作答，复习巩固.
学生类比一元一次方程的解尝试叙述
学生思考，讨论完成，
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.1配方法(1) 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．
2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．
3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.
过程
方法 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法
情感
态度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点 1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程
教学难点 降次思想，配方法
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.
二、探究新知
探究课本问题1
分析：
1.用列方程方法解题的等量关系是什么？
2.解方程的依据是什么？
3.方程的解是什么？问题的答案是什么？
4.该方程的结构是怎样的？
归纳：
可根据数的开方的知识解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.
解决课本思考
1如何理解降次？
2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？
3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？
归纳：
1运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.
探究课本问题2
1.根据题意列方程并整理成一般形式.
2.将方程 x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程 x2+6x-16=0化为像 x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？
完成填空： x2+6x+ =（x+ ）2
方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？
归纳：
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:
先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.
三、课堂训练
课本练习:
P31页练习，P34页练习1，2（1）
四、小结归纳
1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.
2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.
3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.
五、作业设计
必做：P42：1、2、3（1）（2）
选做：下面补充作业
补充作业：
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
4．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
6．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
点题，板书课题.
学生读题找等量关系列方程，思考解方程的依据.
学生观察所列方程特点，辨析方程的解与问题的答案.
学生尝试描述何为降次及方法，把握方程结构特点，初步体会直接开平方法解一元二次方程.
教师组织学生讨论，尝试回答，教师及时肯定并总结
学生审读并列方程
组织学生讨论，交流
然后师生总结
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.1配方法(2) 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.进一步理解配方法和配方的目的.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
过程
方法 通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
情感
态度 通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．
感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.
教学重点 用配方法解一元二次方程
教学难点 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.
二、探究新知
1.填空：
2.填空： =
3.解下列方程： x2-8x+7=0 2x2+8x-2=0
2x2+1=3x 3x2-6x+4=0
题目设置说明：
1.与上节课衔接（二次项系数为1）
2.至二次项系数不为1.二次项系数化为1后，的一次项系数为偶数.为后面做铺垫.的一次项系数为分数，无解.
分析：
（1）解方程，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；
（2）对比的解法得到方程的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
.把常数项移到方程右边；
.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
(3)运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程配方后右边是负数，确定原方程无解.
(4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？
三、课堂训练
1.方程( )
A. B. C. D.
2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=
3．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
4.解决课本练习2（2）到（6）
5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6. ，，是的三条边
当时，试判断的形状.
证明
四、小结归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化为的形式，
2.把常数项移到方程右边；
3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
5.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n的形式后，若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.
五、作业设计
必做：P42：3（3）（4）
选做：P43：8、9
点题，板书课题.
让学生独立完成，复习巩固上节课内容.
通过对比方程结构，尝试解方程 ，探讨二次项系数不是1的一元二次方程的解法，教师组织学生讨论，师生交流看法，肯定其可行性，总结出一般步骤.
让学生运用总结出的一般步骤解方程 ，其中需要先整理，无解.
根据上述方程的根的情况，学生思考并叙述
学生先自主，再合作交流，总结经验，完成.教师巡视指导，了解学生掌握情况，对于好的做法，加以鼓励表扬.并集体进行交流评价，体会方法，形成规律.
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.2公式法 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
过程
方法 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；
2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.
3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.
情感
态度 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
教学重点 求根公式的推导，公式的正确使用
教学难点 求根公式的推导
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程？
二、探究新知
活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？
；6x2-7x+1=0
活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：
1.移项得到6x2-7x=-1，
2.二次项系数化为1得到
3.配方得到 x2-x+（）2=-+（）2
x2+x+（）2=-+（）2
4.写成（x+m）2=n形式得到（x-）2=，（x+）2=
5.直接开平方得到x-=±，注意：（x+）2=是否可以直接开平方？
活动3.对（x+）2=观察，分析，在时对的值与0的关系进行讨论
活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.
活动5.初步使用公式解方程6x2-7x+1=0.
活动6.总结使用公式法的一般步骤：把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号
求出的值，方程，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.
在≥0的前提下把a，b，c的值带入公式x=进行计算，最后写出方程的根.
三、课堂训练
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
2.课本例2
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根
2.用求根公式求一元二次方程的根
3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
五、作业设计
必做：P42：4、5
选做：P43：11、12
补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
教师提出问题，学生思考.
学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导
让学生尝试对的值进行分析
学生尝试归纳，师生总结
学生初步使用公式，教师规范板书。之后总结使用公式步骤
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.3因式分解法 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.了解因式分解法的概念.
2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.
过程
方法 1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.
2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.
情感
态度 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.
教学重点 会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程
教学难点 将整理成一般形式的方程左边因式分解
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.
二、探究新知
1.因式分解
x2-5x；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y2-16； x2+12x+36；4x2+4x+1
分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.
2.若ab=0,则可以得到什么结论？
分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.
3.试求下列方程的根 ：
x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.
分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.
4. 试求下列方程的根
4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0
25y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2
x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0;
5x2-2x-= x2-2x+; 2x2+12x+18=0;
分析：观察三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.
中的方程结构较复杂，需要先整理.
5.选用合适方法解方程
x2+x+=0；x2+x-2=0；(x-2)2 =2-x；2x2-3=0.
分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.
归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值．
分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性.
下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用因式分解法解一元二次方程
2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程
五、作业设 计
必做：P43：6、10
选做：P43：13、14
由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法
学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫
学生根据 ab=0得到a=0或b=0，为下面学习作铺垫
学生直接利用2的结论完成3中解方程
让学生根据前面铺垫，尝试用因式分解法解 三组方程，之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
先观察，尝试选用合适方法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合适的方法解方程
学生尝试归纳，师生总结
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.4一元二次方程的根与系数关系 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程
方法 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感
态度 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
教学重点 一元二次方程的根与系数关系
教学难点 对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .
已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 .
若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+x-=0
.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：； ； ；
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设 计
必做：P43：7
选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是，求的值.
教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题
学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论
学生独立解决，并交流
先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法
学生尝试归纳，师生总结
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.3实际问题与一元二次方程（1） 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
2.培养学生的阅读能力.
过程
方法 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.
3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
情感
态度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点 找等量关系，列方程
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.
二、探究新知
探究课本30页问题1
分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？
探究课本38页问题
分析：
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？
某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）
分析：
设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
课本46页探究2
分析：
设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？
如何回答课本46页思考？
归纳：
通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？
某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：
设平均增长率是x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？
归纳：
以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
三、课堂训练
补充练习：
．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． B．p C． D．
． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
四、小结归纳
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题
五、作业设计
必做：P48：1、2、3
选做：P49：9
补充作业：
上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
点题，板书课题.
教师指导学生进行阅读，找关键词，题中数据，联系所要求的量，明确量与量的关系，设直接未知数，表示相关量，找等量关系尝试列方程，求根，根据实际问题要求，对根进行取舍.
学生独立解答问题1，2，然后交流，讨论，达到共识.
学生尝试叙述，然后师生归纳
师引导生对照上题，分析找出两题的异同点
让学生体会建立数学模型思想，分析、解决实际问题.
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.3实际问题与一元二次方程（2） 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.能根据以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.
2.培养学生的阅读能力与分析能力.
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
过程
方法 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
情感
态度 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.
教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点 找等量关系，列方程
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.
二、探究新知
课本45页探究1
分析：
设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.
第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？
第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？
本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.
拓展：课本思考.四轮呢？
归纳：
本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.
课本47页探究3
分析：
正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？
上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？
若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？
“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程.
方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.
归纳：
在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决
.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.
三、课堂训练
补充练习：
1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
四小结归纳
谈一节课的收获和体会.
五、作业设计
必做：P48：4-8
选做：P49：10
补充作业：
某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
点题，板书课题.
教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，
师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.
教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识
教师总结，学生体会
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
.
教 学 反 思
第二十一章《一元二次方程》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
1、相关概念
（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．
一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程
整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程
*（4）有理方程 高次方程：
分式方程
2、降次——解一元二次方程
（1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:
①方程化为一般形式；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③化二次项系数为1；
④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，
从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；
⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，
将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：
①通过移项将方程右边化为0；
②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式
（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：
①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；
②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根；
③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根；
④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。
（3）应用：
①不解方程，判别方程根的情况；
②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；
③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；
注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。
*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）
（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，
那么
（2）应用：
①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；
③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；
④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：
当=0且≤0，两根互为相反数；
当⊿≥0且=1，两根互为倒数。
（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）
⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。
5、实际问题与一元二次方程
传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。
三、典型例题辨析
1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
2、当m 时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.
3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
4、根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。
5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．
7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．
8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为 ，的值为 .
9、已知方程的两根为，则的值为 。
10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．
11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．
12、解下列方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
13、若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.
14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。
15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0
（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.
16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）
18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）
20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间?
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
作业：必做：P53：1-10 选做：P54：11、12
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.1 二次函数（1） 课型 新授
教学媒体 多 媒 体
教
学
目
标 知识
技能 能列出实际问题中的二次函数关系式；
理解二次函数概念；
能判断所给的函数关系式是否二次函数关系式；
掌握二次函数解析式的几种常见形式.
过程
方法 从实际问题中感悟变量间的二次函数关系，揭示二次函数概念.学生经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程，体会函数中的常量与变量，深刻领悟二次函数意义.
情感
态度 使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力。
教学重点 理解二次函数的意义，能列出实际问题中二次函数解析式
教学难点 能列出实际问题中二次函数解析式
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 播放实际生活中的有关抛物线的图片，概括性的介绍本章.
二、探究新知
㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系：
1.正方体的棱长是x，表面积是y,写出y关于x的函数关系式；
2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系？
3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都必上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
㈡观察所列函数关系式，看看有何共同特点?
、、
㈢类比一次函数和反比例函数概念揭示二次函数概念：
一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
实质上，函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.
三、课堂训练
1.判断下列函数是不是二次函数，若是，指出各项系数.
； ；；； ； .
归纳：①函数表达式右边的各项是加法关系，各项系数前面的“-”是性质符号。
②二次函数的几种常见形式：；；；.
③所缺项的系数看做为0.
2.已知是关于x的二次函数，求m的值.
分析：m-2≠0,；
3. 已知，
⑴ 若y是x的一次函数，求m的值；
⑵ 若y是x的二次函数，求m的取值范围.
分析：根据一次函数和二次函数解析式的一般形式确定m的值.
4 教材6页练习1、2
四、小结归纳
学生谈本节课收获
1.二次函数概念
2.二次函数与一次函数的区别与联系
3.二次函数的4种常见形式
五、作业设计
㈠教材16页1、2
㈡补充：
1、①y=－x2②y=2x③y=22+x2－x3④m=3－t－t2是二次函数的是
2、用一根长60cm的铁丝围成一个矩形,矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式是____________.
3、小李存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元(不含利息税)，y与x之间的函数关系是 _______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.
4、在△ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,a+b=16,则RT△ABC的面积S与边长a的关系式是____；当a=8时，S=____；当S=24时，a=________.
5、当k=_____时，是二次函数.
6、扇形周长为10，半径为x，面积为y，则y与x的函数关系式为_______________.
7、已知s与成正比例，且t=3时，s=4，则s与t的函数关系式为_______________.
8、下列函数不属于二次函数的是（ ）
A.y=(x－1)(x+2) B.y=(x+1)2 C.y=2(x+3)2－2x2 D.y=1－x2
9、若函数是二次函数,那么m的值是( )
A.2 B.-1或3 C.3 D.
10、如图，一块草地是长80 m、宽60 m的矩形，在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
学生观看图片，教师介绍，引出本章章题.
教师给出问题，学生观察、思考、分析、小组讨论，列函数解析式
教师引导学生观察所列函数解析式，找它们的共同特点，并叙述.
学生类比一次和反比例函数概念尝试给二次函数下定义，之后，教师给出规范概念.
教师出示问题1，学生思考解决，并阐述判断依据和理由.
教师引导学生观察解析式结构，对照二次函数的一般形式进行分析
教师组织学生讨论所给函数解析式是一次函数时，二次项系数须是0，一次项系数不等于0.
学生独自列二次函数解析式，之后集体交流，达成一致.
教师组织学生回顾本节知识，学生谈个人收获，师生交流.
使学生初步感知二次函数，引出本章，并为后续学习做铺垫。
学生经历列函数解析式的过程，总结三个解析式的共同特点，得到二次函数的概念
总体概括初中学习的三类函数的名称都反映了了函数表达式结构特点和自变量的关系.
考查能否判断一个函数解析式是不是二次函数，使学生掌握二次函数的解析式特点
强调二次函数解析式的二次项系数不等于0，自变量的最高次数是2，使学生能比较一次函数和二次函数的解析式特点，确定m的取值情况。
使学生能列出实际问题中的二次函数解析式.
学生谈本节课学到的知识以及解题体会
板 书 设 计
课题 22.1.1 二次函数 一、二次函数定义： 2题分析 3题分析
二、二次函数的4种常见形式
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.2 二次函数（第2课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.学生会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质.
过程
方法 1.学生类比前面所学的函数图像的画法，用描点法画二次函数的图像；
2.学生经历观察、思考、探索二次函数图象性质的过程，结合解析式特点、图像特点，感知二次函数的性质.
情感
态度 使学生体会数形结合思想， 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
教学重点 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，探索二次函数性质
教学难点 探索二次函数性质
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 一次函数的性质是如何研究的?我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
二、探究新知
㈠抛物线及相关概念
用描点发法画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：自变量x可以是任何实数，x的互为相反数的两个值对
应的函数值相等，以0为中心，取几个自变量的整数值，并求出y值
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)用表里x、y对应值作为点的横纵坐标，在坐标平面中描点
(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
像投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是开口向上，这样的曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或向下。二次函数的图像叫做抛物线。
顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。
㈡探索性质
1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?
3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?
对于1，
㈢归纳概括
由具体函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，猜想： 函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。越大，抛物线的开口越小。
问题： 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?
当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当a<0时，抛物线y＝ax2有些什么特点?
抛物线与有怎样的关系？
三、课堂训练
1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图像，并分别写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标：
；；
2.抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
3.已知等边三角形的边长是2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出此函数的图像。
四、小结归纳
1．如何画出函数y=ax2的图象?
2．函数y＝ax2具有哪些性质?
3．抛物线与的关系
五、作业设计
必做题：教材16页第3、4题
选做题：尝试画函数的图像
教师引导学生回顾：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质。可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。
教师让学生观察，思考、讨论、交流，图像特点归结为：它是轴对称图形，有一条对称轴y轴，且对称轴和图象有一点交点。
学生初步感知二次函数的图像是一条抛物线
学生画图，并观察、比较。教师指导感觉困难的学生，引导学生思考选几个点比较合适以及如何选点。让学生发表不同的意见，达成共识.
将发现的结论进行小组交流，得出结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)．
教师提出问题，学生思考，回答
教师让学生动手画图，教师巡视指导，点评，师生交流。
教师引导学生分析思考第
3题，是实际问题，自变量的取值范围是正数，图像是抛物线的局部
学生谈本节课的收获和学习体会，并进行质疑，师生交流归纳，解惑。 创设问题情境，让学生通过类比学过的知识的研究方法来探究新知识，并激发学生的兴趣。
让学生经历猜想、画图、观察、归纳总结出二次函数y=x2的图像，感受知识的发生发展过程，便于对新知识的理解和认识。
通过让学生自己动手画图，加深对二次函数图像的认识和理解，同时培养学生规范作图的习惯。
增强学生观察分析、归纳概括能力和表达能力，经历由感性认识到理性认识的思维过程。
及时巩固本节所学知识，了解学生学习效果，培养学生独立解题能力。
总结学习的重点知识，帮助学生归纳，巩固新知识
根据学生学习的不同层次安排相应作业，从而使学生有不同层次的认识和提高。
板 书 设 计
课题 22.1 .2 二次函数 y=ax2的图像和性质 有关概念 二、二次函数 y=ax2 的性质
抛物线、抛物线的顶点
抛物线的对称轴
实际上，二次函数的图像是抛物线
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.3.1 二次函数（第3课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质；
3.理解抛物线与之间的位置关系.
过程
方法 用描点法画二次函数的图像，归纳整理得出抛物线的特点；
情感
态度 继续渗透体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心.
教学重点 二次函数的图象和性质
教学难点 理解抛物线和的位置关系.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 1.一次函数与的图像有怎么样的关系？
2.猜想二次函数与的图像之间的关系。
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数，与的图象
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
(2)然后描点画图，得到和的图像
思考：⑴抛物线，的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
⑵抛物线，与抛物线有什么关系？
⑶它们的形状是由什么决定的？它们的位置是由什么决定的？
2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数与的图象。
思考：⑴这5条抛物线的形状、大小有什么关系？
⑵这5条抛物线位置有什么关系？你有什么猜想？
3.猜想抛物线怎么平移会得到抛物线、？画图验证。
得到：一般的，把抛物线向上平移k（k>0）个单位，就得到抛物线；把抛物线向下平移k（k>0）个单位，就得到抛物线。
4.在同一直角坐标系中画函数，的图像
⑴抛物线，的开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑵抛物线怎么平移得到抛物线，？
5.在同一平面直角坐标系画函数，的图像，⑴说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标。
⑵抛物线怎么平移得到抛物线？
得到：抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是y轴；顶点坐标（0，k）.
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线向 平移 个单位得到的.当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x= 时，函数有最 值，是y= .
2.若二次函数，当x取x1,x2,( x1≠x2)时，函数值相等，则当x取 x1+x2时，函数值是 .
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像大致是（ ）
5.抛物线与的位置关系是
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2.二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标；
3．二次函数与的图像的位置关系.
五、作业设计
在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2观察三条抛物线的相互关系，①并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。②说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置。③分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝x2＋2和y＝x2－2? ④试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质. 教师引导学生回顾一次函数的比例系数k相同时的图像位置关系，猜测二次函数a相同时图像的关系。依然采取画二次函数图像的方法研究二次函数的性质，列表、描点、连线.
教师让学生观察，思考、讨论、交流。初步感知形如的二次函数的图像特点.学生画图，并观察、比较。思考教师提出的问题。教师指导感觉困难的学生， 将发现的结论进行小组交流，得出结论
教师提出问题，学生猜想，画图验证
小组讨论总结出一般结论
学生在坐标纸上画图，根据图像说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，教师指导学生观察图像，说明平移关系，学生画图验证获得的结论，小组讨论总结出抛物线的特点.
学生根据获得的函数性质和图像特点，独立练习，教师巡回视察，适时指导，之后，师生评议，达成一致
学生谈本节课收获，并根据个人体会进行质疑
教师设计作业，使学生巩固深化本节知识
从已知知识入手，类比研究方法进行猜想
通过学生亲自动手画图像，观察，思考，初步感知抛物线的图像特点
通过观察图像，以及图像上横坐标相同的点的位置关系，了解抛物线的平移规律
学生再次画图，验证获得的结论
通过画a是负数的二次函数的图像，使学生全面认识形如的二次函数的图像特点
使学生能够利用本节课学习的知识解决相关问题，培养学生的解题能力
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.3.1 二次函数 的图像和性质 1. 抛物线的性质： 2.抛物线与的位置关系
开口方向，对称轴，顶点坐标
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.3.2 二次函数（第4课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质；
3.理解抛物线与之间的位置关系.
过程
方法 用描点法画二次函数的图像，归纳整理得出抛物线的特点.
情感
态度 继续渗透体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心.
教学重点 二次函数的图象和性质.
教学难点 理解抛物线和的位置关系.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、复习引入 1.函数的图像可以由函数的图像上下平移得到，平移的规律是怎么样的？
2.猜想函数的图像是否可以由函数的图像通过平移得到？
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数、、与的图象.
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
(2)然后描点画图
思考：⑴抛物线，的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
⑵抛物线，与抛物线有什么关系？
⑶它们的形状是由什么决定的？它们的位置是由什么决定的？
2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数，与的图象。
思考：⑴三条抛物线的形状、大小有什么关系？
⑵三条抛物线位置有什么关系？你有什么猜想？
3.猜想抛物线怎么平移会得到抛物线、？画图验证。
得到：一般的，把抛物线向左平移h（h>0）个单位，就得到抛物线；把抛物线向右平移h（h>0）个单位，就得到抛物线。
4.在同一直角坐标系中画函数，，的图像
⑴说出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑵抛物线怎么平移得到抛物线，？
得到：抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h;顶点坐标（h, 0）.
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线向 平移 个 单位得到的。当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .
2. 函数的图像和x轴的交点坐标是 与y轴的交点坐标是 ，开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于y轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于原点对称的抛物线的解析式是 。
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2.二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标
3．二次函数与的图像的位置关系。
五、作业设计
在同一直角坐标系内画出下列二次函数，，的图象，观察三条抛物线的相互关系，①并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。②说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。③分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线，？④试说出函数，，的图象所具有的共同性质。 教师引导学生回顾函数的图像和性质，以及抛物线与的关系，猜想形如的二次函数的图像特点
教师引导学生列表，描点，画图，通过观察，思考，初步感知函数，的图像特点，思考教师提出的问题。教师指导感觉困难的学生， 将发现的结论进行小组交流
教师提出问题，学生猜想，画图验证
小组讨论总结出一般结论
学生在坐标纸上画图，根据图像说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标
学生画图验证获得的结论
小组讨论总结出抛物线的特点，学生根据学习的的函数性质和图像特点，独立练习，教师巡回视察，适时指导，之后，师生评议，达成一致
学生谈本节课收获，并根据个人体会进行质疑
教师设计作业，使学生巩固深化本节知识 在前面二次函数图像性质的研究的基础进一步研究形如
的二次函数的图像和性质
通过学生亲自动手画图像，观察，思考，初步感知抛物线的图像特点
通过观察图像，以及图像上横坐标相同的点的位置关系，初步了解抛物线之间的的平移规律
学生再次画图，验证获得的结论。通过画a是负数的二次函数的图像，使学生全面认识形如的二次函数的图像特点
使学生能够利用本节课学习的知识解决相关问题，培养学生的解题能力
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.3.2 二次函数 的图像和性质 1.抛物线的 2.抛物线与
开口方向，对称轴，顶点坐标 的位置关系
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.3.3 二次函数（第5 课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质；
3.理解抛物线、、与之间的位置关系；
4.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题.
过程
方法 用描点法画二次函数的图像，归纳出抛物线的特点
情感
态度 继续渗透体会数形结合思想，体会二次函数在实际生活中的应用
教学重点 二次函数的图象和性质
教学难点 理解抛物线之间的位置关系，能将实际问题转化为函数问题
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 提出问题：
函数的图像向 平移 个单位得到函数的图像，向 平移 个单位得到函数的图像，那么，将函数如何平移，就能得到函数的图像？
引出课题：二次函数的图像和性质
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数，、的图象。
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
(2)然后描点画图
观察思考：
⑴抛物线的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
⑵抛物线与有什么关系？
⑶抛物线与有什么关系？
它们的形状是由什么决定的？它们的位置是由什么决定的？
2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数，与的图象。
思考：⑴三条抛物线的形状、大小有什么关系？
⑵三条抛物线位置有什么关系？你有什么猜想？
3. 猜想抛物线怎么平移会得到抛物线？
猜想抛物线怎么平移会得到抛物线？画图验证。
得到：一般的，把抛物线向右平移h（h>0）个单位，就得到抛物线；再向上平移k（k>0）个单位，就得到抛物线
4.在同一直角坐标系中画函数，，的图像
⑴说出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑵抛物线怎么平移得到抛物线，？
得到：抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h;顶点坐标（h, 0）.
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线向 平移 个 单位得到的。当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .
2. 函数的图像和x轴的交点坐标是 与y轴的交点坐标是 ，开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于y轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于原点对称的抛物线的解析式是 。
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2.二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标
3．二次函数与的图像的位置关系。
五、作业设计
在同一直角坐标系内画出下列二次函数，，的图象，观察三条抛物线的相互关系，①并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。②说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。③分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线，？④试说出函数，，的图象所具有的共同性质。 教师引导学生回顾函数的图像和性质，以及抛物线与的关系，猜想形如的二次函数的图像特点
教师引导学生列表，描点，画图，通过观察，思考，初步感知函数，的图像特点，思考教师提出的问题。教师指导感觉困难的学生， 将发现的结论进行小组交流
教师提出问题，学生猜想，画图验，小组讨论总结出一般结论
学生在坐标纸上画图，根据图像说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，画图验证获得的结论
小组讨论总结出抛物线的特点，学生根据学习的的函数性质和图像特点，
独立练习，教师巡回视察，适时指导，之后，师生评议，达成一致
学生谈本节课收获，并根据个人体会进行质疑
教师设计作业，使学生巩固深化本节知识 在前面二次函数图像性质的研究的基础进一步研究形如
的二次函数的图像和性质
通过学生亲自动手画图像，观察，思考，初步感知抛物线的图像特点
通过观察图像，以及图像上横坐标相同的点的位置关系，初步了解抛物线之间的的平移规律
学生再次画图，验证获得的结论。通过画a是负数的二次函数的图像，使学生全面认识形如的二次函数的图像特点
使学生能够利用本节课学习的知识解决相关问题，培养学生的解题能力
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.3.3 二次函数 的图像和性质 1.抛物线的 2.抛物线与
开口方向，对称轴，顶点坐标 的位置关系
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.4.1 二次函数（第6课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.用描点法画出的图象；
2.能通过配方将二次函数化成的形式，从而确定抛物线的开口方向、对称轴和定点坐标.
过程
方法 结合前面的学习经验思考分析，了解画抛物线的前提是知道其开口方向、对称轴、顶点，故利用配方法将函数化成的形式，再用描点法画二次函数的图像.
情感
态度 经历求二次函数的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合思想方法.
教学重点 利用配方法将二次函数化成的形式，求抛物线的对称轴和顶点坐标.
教学难点 理解二次函数的性质
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 1.函数的图像是 ，开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
2.对于任意一个一般形式的二次函数，如，你能很容易的说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图像吗？
3.引出课题：二次函数的图像和性质.
二、探究新知
1.尝试画二次函数的图象.
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
43.5
35
27.5
21
15.5
11
7.5
(2)然后描点画图
观察图像，能准确说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
我们知道二次函数的图像的对称轴是直线，顶点坐标是（），利用抛物线的对称性列表，容易画出图像。对照二次函数与的解析式特点，若将二次函数变形为的形式，问题就解决了.
配方可得
因此，抛物线的开口向上，对称轴是直线顶点坐标是（6, 3）.
利用其对称性列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
２归纳：将二次函数进行配方，得到
因此，抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴：
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
向上
直线
a<0
向下
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2. 二次函数 的性质
3. 配方思想
五、作业设计
教材习题26.1第6题；第12题
补充：试求抛物线与两坐标轴的交点坐标。
教师提出问题，学生口答完成问题1，思考问题2，引出本节课课题，学生初步了解本节课所要研究的内容.
教师大胆放手，让学生利用已有的学习经验进行列表，画图.
教师点拨：这样列出的对应值，描出的不是对称点，图像也不对称，也就不能准确说出抛物线的对称轴和顶点坐标.
教师引导：与一元二次方程中的配方有相同之处，但是不完全相同，这里要提出二次项系数，不能无故消掉.
教师引导：观察图像，认识抛物线的变化趋势.
师生一起将进行配方，学生结合已有知识，观察、思考、讨论，归纳总结出一般结论，教师补充完善.
学生利用总结出的规律独立完成填空，并能阐述理由，师生共同评价.
学生谈本节课体会，教师做出归纳总结，并留有学生质疑时间，师生共同解答。
通过复习引入，巩固旧知识，提出新问题，初步了解探究任务，激起学生的探索欲望.
学生亲自操作，产生认知上的冲突，为进一步探究打下基础
学生观察，思考
学生从配方后得到的形式中找出抛物线的对称轴和定点坐标，然后重新列表画图.
学生经历两次列表，画图，感受只是发生发展形成过程，加深对配方法的重要性的理解与认识.
通过由特殊到一般的认识过程，有效的揭示一般形式的二次函数的一般规律.
及时运用所学知识，了解学生的学习效果.
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.4 二次函数的图像和性质 配方 配方 抛物线
的顶点坐标、对称轴
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 会用待定系数法求二次函数解析式.
过程
方法 根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.
情感
态度 体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.
教学重点 运用待定系数法求二次函数解析式.
教学难点 根据条件恰当设二次函数解析式形式.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标？应该怎样求出二次函数解析式？
引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.
二、探究新知
1.二次函数中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
抛物线经过点（-1，10），（1，4），（2, 7），求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为， 代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.
2.二次函数中有几个待定系数？需要知道图像上几个点的坐标才能求出来？
抛物线的顶点坐标为（1, 2），点（1，-1）也在图像上，能求出它的函数解析式吗？
得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是
先代入顶点坐标（1, 2）得到，再代入点（1，-1）即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.
3．二次函数，如果知道抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（-1,0），（-3, 0），点（4, 5）也在抛物线上，能求出二次函数解析式吗？
得到：如果知道抛物线与x轴的两个交点，可以设函数解析式是，代入点（-1,0），（-3, 0）得到
再代入点（4, 5）即可得到即可得到的值从而求出函数解析式，这种解析式叫交点式.
三、课堂训练
按下列条件求二次函数解析式：
1.抛物线过点（-1,9），（0,5），（1，7）；
2.当x=4时函数有最小值-3，且抛物线过点（1，1.5）；
3.抛物线的对称轴是x=4,与x轴的一个交点是（69，0），且函数的最小值是-8，；
4.抛物线过点（-1,1），（2,1），且函数的最小值为2；
5.抛物线与x轴的两个交点间的距离是8个单位，且顶点是M(1,5)；
6.抛物线与x轴的交点是（-1,0），（1,0），与y轴交点是（-5,0）；
7.抛物线与x轴只有一个交点（2,0），且与y轴交于点（0,2）；
点拨：根据问题特点恰当的设函数解析式，其中1题，6题设一般式，6题也可以设成交点式；2,3,4,5题解析式设成顶点式，或者使用抛物线顶点坐标公式；7题中的（2,0）其实就是抛物线的顶点，所以也设成顶点式.
四、小结归纳
1．根据条件灵活用待定系数法确定二次函数解析式；
①已知三点坐标，用一般式；
②已知顶点坐标，用顶点式；
③已知抛物线与x轴的两个交点，用交点式。
2. 综合考虑二次函数及其图像，灵活确定函数解析式。
五、作业设计
教材习题26.1第9题；第10题
补充：用至少三种解法完成下题：
抛物线与x轴的两个交点间的距离是8个单位，且顶点是M(1,5)，求函数解析式.
教师提出问题，学生思考，引出本节课课题，学生初步了解本节课所要研究的内容.
教师提出问题，布置学生分组，限时15分钟的思考解决。学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果。之后，师生让学生根据解决问题体会，总结出解决用待定系数法求二次函数解析式的过程与方法，教师补充完善.
教师让学生尝试应用，独立解决，然后小组交流，之后，师生集体点评.
学生谈本节课收获，并进行质疑，教师释疑，并进行系统总结.
使学生初步了解探究任务，激起学生的探索欲望.
培养学生自主探究能力，体会运用待定系数法求二次函数解析式的方法与过程，提高学习的积极性.
培养学生应用意识和能力，体会学习数学知识的价值.
使学生进一步理解待定系数法.
板 书 设 计
课题 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式 ： 2题 3题 5题 7题
2.顶点式 ：
3.交点式 ：
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；
会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；
会用估算方法估计一元二次方程的根.
过程
方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，进一步理解体会方程与函数之间的联系.
情感
态度 通过探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况的关系，进一步体会数形结合思想.
教学重点 一元二次方程与二次函数之间的联系
教学难点 二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
情境引入： 问题： 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h＝20t—5t2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
二、自主探究
1.分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝3(即5t2-20t-3＝0);反过来，解方程5t2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t-3的值为0，求自变量x的值.
一般地，可以利用二次函数深入探究一元二次方程.
2.二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋1.
的图象如图26.2－2所示。观察并回答：
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
得到：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.由图像可以知道，当自变量是2时函数值小于0，当自变量是3时函数值大于0，所以抛物线y=x2－2x－2在2得到：可以通过取平均数的方法不断缩小根所在范围，逐步得到根所在范围，这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.
三小结归纳
1. 二次函数与一元二次方程的关系；
2. 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，会用估算方法估计一元二次方程的根.
四四6.1次函数的图像求一元二次方程的近似解；、作业设计
教材习题26.2 1——6题
教师提出问题，布置学生分组，限时15分钟的思考解决。学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果.
师生共同分析，教师适当点拨，由学生板书问题，师生讲评。教师引导学生总结：二次函数与一元二次方程的解的关系
教师引导学生观察图像，思考二次函数的图像与x轴有无公共点及公共点的横坐
第二十二章 二次函数 教案
第二十三章 旋转 教案
第二十四章 圆 教案
第二十五章 概率初步 教案
九年级2014—2015学年度第一学期
义务教育课程标准人教版
（九年级上册）
数
学
教
案
教师：李贞武
前进中学
2014—2015学年度第一学期九年级数学教学进度表
周序 日 期 教学工作内容 备 注
1 8.31—9.6 开学第一课 赏析数学中的美
第21章 一元二次方程 21.1——21.2 8月31日开学
9月1日正式上课
2 9.7—9.13 21.2——21.3 9月8日中秋节放假
9月10日教师节
3 9.14—9.20 21.3——小结
4 9.21—9.27 第22章 二次函数 22.1.1——22.1.3
5 9.28—10.4 22.1.4——22.1.5 10月1日国庆节放假
6 10.5—10.11 22.2——22.3
7 10.12—10.18 22.3
第一次月考与评讲
8 10.19—10.25 第22章 小结
第23章 旋转 23.1
9 10.26—11.1 23.2.1——23.3——小结
10 11.2—11.8 第24章 圆 24.1.1——24.1.4 本周期中考
11 11.9—11.15 第2次月考（期中考试）卷分析与讲评
24.2.1——24.2.2
12 11.16—11.22 24.2.2——24.3
13 11.23—11.29 24.4——小结
14 11.30—12.6 25.1——25.3——小结
15 12.7—12.13 九（下） 第26章 反比例函数
26.1——26.2
16 12.14—12.20 26.2——小结
第三次月考与评讲
17 12.21—12.27 第27章 相似 27.1——27.2.1
18 12.28—2015.1.3 27.2.1——27.2.2 元旦放假
19 1.4—1.10 27.2.2——27.3
20 1.11—1.17 第27章小结 数学活动
第28章 锐角三角函数 28.1
21 1.18—1.24 28.1——28.2
小结
学期复习考试结束
22 1.25—1.31 期末复习
23 2.1—2.7 第一次质检 农历2014年腊月十九日
目 录
第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程………………………………………………………………………………………5
21.2.1配方法(第1课时) …………………………………………………………………………………7
21.2.1配方法(第2课时) …………………………………………………………………………………9
21.2.2公式法………………………………………………………………………………………………11
21.2.3因式分解法…………………………………………………………………………………………13
21.2.4 一元二次方程的根与系数关系……………………………………………………………………15
21.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）…………………………………………………………17
21.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）…………………………………………………………19
小结…………………………………………………………………………………………………………21
第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数（第1课时） …………………………………………………………………………25
22.1.2二次函的图象和性质(第1课时) ………………………………………………………27
22.1.3.1二次函的图象和性质(第1课时) ………………………………………………29
22.1.3.2二次函的图象和性质(第2课时)…………………………………………………31
22.1.3.3二次函的图象和性质(第3课时) …………………………………………33
22.1.4 .1二次函的图象和性质(第1课时) …………………………………………35
22.1.4.2用待定系数法求二次函数解析式（第1课时） ………………………………………………37
22.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时） ……………………………………………………39
22.3.1 实际问题与二次函数（第1课时） ……………………………………………………………41
22.3.2 实际问题与二次函数（第2课时） ……………………………………………………………43
小结（3课时）……………………………………………………………………………………………45
第二十三章 旋转
23.1 图形的旋转(1)………………………………………………………………………………………53
23.1 图形的旋转(2)………………………………………………………………………………………56
23.1 图形的旋转(3)………………………………………………………………………………………59
23.2.1中心对称(1)…………………………………………………………………………………………62
23.2.1中心对称(2)…………………………………………………………………………………………65
23.2.1中心对称(3)…………………………………………………………………………………………68
22.2 中心对称图形，关于原点对称的点的坐标………………………………………………………71
23.3 课题学习 图案设计…………………………………………………………………………………75
小结…………………………………………………………………………………………………………76
第二十四章 圆
24.1.1 圆……………………………………………………………………………………………………79
24．1．2 垂直于弦的直径…………………………………………………………………………………82
24．1．3 弧、弦、圆心角…………………………………………………………………………………86
24.1.4 圆周角………………………………………………………………………………………………90
24.2.1 点和圆的位置关系 ………………………………………………………………………………98
24.2.2 直线和圆的位置关系………………………………………………………………………………100
24.2.3 圆和圆的位置关系…………………………………………………………………………………103
24．3 正多边形和圆………………………………………………………………………………………108
24.4圆锥的侧面积和全面积………………………………………………………………………………113
小结…………………………………………………………………………………………………………116
第二十五章 概率
25.1.1随机事件(第一课时) ………………………………………………………………………………119
25.1.1 随机事件（第二课时）……………………………………………………………………………121
25.1.2 概率的意义…………………………………………………………………………………………123
25.2 用列举法求概率(第一课时)…………………………………………………………………………127
25.2 用列举法求概率(第二课时)…………………………………………………………………………130
25.2 用列举法求概率(第三课时) ………………………………………………………………………132
25.3.1利用频率估计概率…………………………………………………………………………………133
25.3.2利用频率估计概率 ………………………………………………………………………………135
25.4课题学习 键盘上字母的排列规律 …………………………………………………………………137
小结…………………………………………………………………………………………………………139
教学时间
课题 21.1 一元二次方程 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式
3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根
过程
方法 1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.
3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，
情感
态度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点 一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念
教学难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.
二、探究新知
探究课本问题2
分析：
1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？
2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？
整理所列方程后观察：
1.方程中未知数的个数和次数各是多少？
2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？
4x+3=0；；；；
概念归纳：
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式：
分析：
.为什么规定≠0？
.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？
3.特殊形式：；；
课本例题
分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.
一元二次方程的根的概念
1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念
2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）
4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？
5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？
归纳：
一元二次方程的根的情况
一元二次方程的解要满足实际问题
三、课堂训练
1.课本练习
2补充：
1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．
3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________
4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
四、小结归纳
1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.
2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
五、作业设计
必做：P28：1-7
选做：.P29：8、9
点题，板书课题.
学生读题找等量关系列方程.
学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.
学生尝试叙述，然后师生归纳
师生分析概念和一般形式.
学生根据相关概念作答，复习巩固.
学生类比一元一次方程的解尝试叙述
学生思考，讨论完成，
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.1配方法(1) 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．
2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．
3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.
过程
方法 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法
情感
态度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点 1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程
教学难点 降次思想，配方法
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.
二、探究新知
探究课本问题1
分析：
1.用列方程方法解题的等量关系是什么？
2.解方程的依据是什么？
3.方程的解是什么？问题的答案是什么？
4.该方程的结构是怎样的？
归纳：
可根据数的开方的知识解形如 x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.
解决课本思考
1如何理解降次？
2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？
3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？
归纳：
1运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；
2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.
探究课本问题2
1.根据题意列方程并整理成一般形式.
2.将方程 x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程 x2+6x-16=0化为像 x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？
完成填空： x2+6x+ =（x+ ）2
方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？
归纳：
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:
先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.
三、课堂训练
课本练习:
P31页练习，P34页练习1，2（1）
四、小结归纳
1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.
2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.
3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.
五、作业设计
必做：P42：1、2、3（1）（2）
选做：下面补充作业
补充作业：
1．若8x2-16=0，则x的值是_________．
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．
3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．
A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2
4．方程3x2+9=0的根为（ ）．
A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根
5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．
A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1
C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11
6．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．
（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？
（2）鸡场的面积能达到210m2吗？
点题，板书课题.
学生读题找等量关系列方程，思考解方程的依据.
学生观察所列方程特点，辨析方程的解与问题的答案.
学生尝试描述何为降次及方法，把握方程结构特点，初步体会直接开平方法解一元二次方程.
教师组织学生讨论，尝试回答，教师及时肯定并总结
学生审读并列方程
组织学生讨论，交流
然后师生总结
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.1配方法(2) 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.进一步理解配方法和配方的目的.
2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．
3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.
过程
方法 通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.
情感
态度 通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．
感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.
教学重点 用配方法解一元二次方程
教学难点 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.
二、探究新知
1.填空：
2.填空： =
3.解下列方程： x2-8x+7=0 2x2+8x-2=0
2x2+1=3x 3x2-6x+4=0
题目设置说明：
1.与上节课衔接（二次项系数为1）
2.至二次项系数不为1.二次项系数化为1后，的一次项系数为偶数.为后面做铺垫.的一次项系数为分数，无解.
分析：
（1）解方程，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；
（2）对比的解法得到方程的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
.把常数项移到方程右边；
.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
(3)运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程配方后右边是负数，确定原方程无解.
(4) 不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？
三、课堂训练
1.方程( )
A. B. C. D.
2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）．
A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2=
3．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．
A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（x-a）2=a
4.解决课本练习2（2）到（6）
5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．
A．1 B．2 C．-1 D．-2
6. ，，是的三条边
当时，试判断的形状.
证明
四、小结归纳
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把原方程化为的形式，
2.把常数项移到方程右边；
3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
5.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n的形式后，若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.
五、作业设计
必做：P42：3（3）（4）
选做：P43：8、9
点题，板书课题.
让学生独立完成，复习巩固上节课内容.
通过对比方程结构，尝试解方程 ，探讨二次项系数不是1的一元二次方程的解法，教师组织学生讨论，师生交流看法，肯定其可行性，总结出一般步骤.
让学生运用总结出的一般步骤解方程 ，其中需要先整理，无解.
根据上述方程的根的情况，学生思考并叙述
学生先自主，再合作交流，总结经验，完成.教师巡视指导，了解学生掌握情况，对于好的做法，加以鼓励表扬.并集体进行交流评价，体会方法，形成规律.
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.2公式法 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.
3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
过程
方法 1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；
2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.
3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.
情感
态度 1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.
教学重点 求根公式的推导，公式的正确使用
教学难点 求根公式的推导
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程？
二、探究新知
活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？
；6x2-7x+1=0
活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：
1.移项得到6x2-7x=-1，
2.二次项系数化为1得到
3.配方得到 x2-x+（）2=-+（）2
x2+x+（）2=-+（）2
4.写成（x+m）2=n形式得到（x-）2=，（x+）2=
5.直接开平方得到x-=±，注意：（x+）2=是否可以直接开平方？
活动3.对（x+）2=观察，分析，在时对的值与0的关系进行讨论
活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.
活动5.初步使用公式解方程6x2-7x+1=0.
活动6.总结使用公式法的一般步骤：把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号
求出的值，方程，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.
在≥0的前提下把a，b，c的值带入公式x=进行计算，最后写出方程的根.
三、课堂训练
1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
2.课本例2
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根
2.用求根公式求一元二次方程的根
3. 一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.
五、作业设计
必做：P42：4、5
选做：P43：11、12
补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份
用电量（千瓦时）
交电费总金额（元）
3
80
25
4
45
10
根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？
教师提出问题，学生思考.
学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导
让学生尝试对的值进行分析
学生尝试归纳，师生总结
学生初步使用公式，教师规范板书。之后总结使用公式步骤
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.3因式分解法 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.了解因式分解法的概念.
2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.
过程
方法 1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.
2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.
情感
态度 积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.
教学重点 会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程
教学难点 将整理成一般形式的方程左边因式分解
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.
二、探究新知
1.因式分解
x2-5x；； 2x(x-3)-5(x-3); 25y2-16； x2+12x+36；4x2+4x+1
分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.
2.若ab=0,则可以得到什么结论？
分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.
3.试求下列方程的根 ：
x(x-5)=0; (x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2 =0; (2x-3)2=0.
分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.
4. 试求下列方程的根
4x2-11x =0; x(x-2)+ (x-2)=0; (x-2)2 -(2x-4)=0
25y2-16=0; (3x+1)2 -(2x-1)2 =0; (2x-1)2 =(2-x)2
x2+10x+25=0; 9x2-24x+16=0;
5x2-2x-= x2-2x+; 2x2+12x+18=0;
分析：观察三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.
中的方程结构较复杂，需要先整理.
5.选用合适方法解方程
x2+x+=0；x2+x-2=0；(x-2)2 =2-x；2x2-3=0.
分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.
归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程. 解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
已知（x+y）2 –x-y=0，求x+y的值．
分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性.
下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．
A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7
B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1= ，x2=
C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2
D．x2=x 两边同除以x，得x=1
今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）
四、小结归纳
本节课应掌握：
1.用因式分解法解一元二次方程
2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程
五、作业设 计
必做：P43：6、10
选做：P43：13、14
由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法
学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫
学生根据 ab=0得到a=0或b=0，为下面学习作铺垫
学生直接利用2的结论完成3中解方程
让学生根据前面铺垫，尝试用因式分解法解 三组方程，之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
先观察，尝试选用合适方法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合适的方法解方程
学生尝试归纳，师生总结
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.2.4一元二次方程的根与系数关系 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
过程
方法 学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.
情感
态度 培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.
教学重点 一元二次方程的根与系数关系
教学难点 对根与系数关系的理解和推导
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .
已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 .
若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+x-=0
.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：； ； ；
四、小结归纳
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.
五、作业设 计
必做：P43：7
选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是，求的值.
教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题
学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.
学生独自完成
巩固上诉知识
教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论
学生独立解决，并交流
先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法
学生尝试归纳，师生总结
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正
学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.3实际问题与一元二次方程（1） 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
2.培养学生的阅读能力.
过程
方法 1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.
3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
情感
态度 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点 找等量关系，列方程
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.
二、探究新知
探究课本30页问题1
分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？
探究课本38页问题
分析：
设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？
某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）
分析：
设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
课本46页探究2
分析：
设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？
如何回答课本46页思考？
归纳：
通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？
某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
分析：
设平均增长率是x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？
归纳：
以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．
三、课堂训练
补充练习：
．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（ ）．
A．（1+25%）（1+70%）a元 B．70%（1+25%）a元
C．（1+25%）（1-70%）a元 D．（1+25%+70%）a元
．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）．
A． B．p C． D．
． 2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（ ）．
A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250
C．100（1-x）2=250 D．100（1+x）2
四、小结归纳
1.列一元二次方程解应用题的一般步骤
2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题
五、作业设计
必做：P48：1、2、3
选做：P49：9
补充作业：
上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?
点题，板书课题.
教师指导学生进行阅读，找关键词，题中数据，联系所要求的量，明确量与量的关系，设直接未知数，表示相关量，找等量关系尝试列方程，求根，根据实际问题要求，对根进行取舍.
学生独立解答问题1，2，然后交流，讨论，达到共识.
学生尝试叙述，然后师生归纳
师引导生对照上题，分析找出两题的异同点
让学生体会建立数学模型思想，分析、解决实际问题.
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
教 学 反 思
教学时间
课题 21.3实际问题与一元二次方程（2） 课型 新授
教学媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.能根据以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.
2.培养学生的阅读能力与分析能力.
3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
过程
方法 通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.
情感
态度 在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.
教学重点 建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点 找等量关系，列方程
教学过程设计
教学程序及教学内容 师生行为 二次备课
一、复习引入 导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.
二、探究新知
课本45页探究1
分析：
设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.
第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？
第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？
本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.
拓展：课本思考.四轮呢？
归纳：
本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.
课本47页探究3
分析：
正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？
上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？
若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？
“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程.
方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.
归纳：
在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决
.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.
三、课堂训练
补充练习：
1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
2．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）
4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
四小结归纳
谈一节课的收获和体会.
五、作业设计
必做：P48：4-8
选做：P49：10
补充作业：
某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
点题，板书课题.
教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，
师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.
教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识
教师总结，学生体会
学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正
师生归纳总结，学生作笔记.
.
教 学 反 思
第二十一章《一元二次方程》小结
一、本章知识结构框图
二、本章知识点概括
1、相关概念
（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，
其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．
一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程
整式方程 二次方程：一元二次方程，二元二次方程
*（4）有理方程 高次方程：
分式方程
2、降次——解一元二次方程
（1） 配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．
配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:
①方程化为一般形式；
②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③化二次项系数为1；
④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，
从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；
⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。
（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，
将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：
①通过移项将方程右边化为0；
②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；
③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。
3、一元二次方程根的判别式
（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。
（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：
①⊿=b2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；
②⊿=b2－4ac =0 方程有两个相等实数根；
③⊿=b2－4ac ＜0 方程没有实数根；
④⊿=b2－4ac ≥0 方程有两个实数根。
（3）应用：
①不解方程，判别方程根的情况；
②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；
③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；
注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。
*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）
（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，
那么
（2）应用：
①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；
②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；
③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；
④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：
当=0且≤0，两根互为相反数；
当⊿≥0且=1，两根互为倒数。
（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）
⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：
ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。
5、实际问题与一元二次方程
传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。
三、典型例题辨析
1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
2、当m 时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.
3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
4、根据下列表格的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。
5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．
6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．
7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．
8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为 ，的值为 .
9、已知方程的两根为，则的值为 。
10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．
11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．
12、解下列方程：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
13、若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.
14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。
15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0
（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.
16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．
17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）
18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?
19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．
①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）
②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）
20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
（1）从刹车到停车用了多少时间?
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
作业：必做：P53：1-10 选做：P54：11、12
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.1 二次函数（1） 课型 新授
教学媒体 多 媒 体
教
学
目
标 知识
技能 能列出实际问题中的二次函数关系式；
理解二次函数概念；
能判断所给的函数关系式是否二次函数关系式；
掌握二次函数解析式的几种常见形式.
过程
方法 从实际问题中感悟变量间的二次函数关系，揭示二次函数概念.学生经历观察、思考、交流、归纳、辨析、实践运用等过程，体会函数中的常量与变量，深刻领悟二次函数意义.
情感
态度 使学生进一步体验函数是描述变量间对应关系的重要数学模型，培养学生合作交流意识和探索能力。
教学重点 理解二次函数的意义，能列出实际问题中二次函数解析式
教学难点 能列出实际问题中二次函数解析式
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 播放实际生活中的有关抛物线的图片，概括性的介绍本章.
二、探究新知
㈠、用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系：
1.正方体的棱长是x，表面积是y,写出y关于x的函数关系式；
2.n边形的对角线条数d与边数n有什么关系？
3.某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都必上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
㈡观察所列函数关系式，看看有何共同特点?
、、
㈢类比一次函数和反比例函数概念揭示二次函数概念：
一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
实质上，函数的名称都反映了函数表达式与自变量的关系.
三、课堂训练
1.判断下列函数是不是二次函数，若是，指出各项系数.
； ；；； ； .
归纳：①函数表达式右边的各项是加法关系，各项系数前面的“-”是性质符号。
②二次函数的几种常见形式：；；；.
③所缺项的系数看做为0.
2.已知是关于x的二次函数，求m的值.
分析：m-2≠0,；
3. 已知，
⑴ 若y是x的一次函数，求m的值；
⑵ 若y是x的二次函数，求m的取值范围.
分析：根据一次函数和二次函数解析式的一般形式确定m的值.
4 教材6页练习1、2
四、小结归纳
学生谈本节课收获
1.二次函数概念
2.二次函数与一次函数的区别与联系
3.二次函数的4种常见形式
五、作业设计
㈠教材16页1、2
㈡补充：
1、①y=－x2②y=2x③y=22+x2－x3④m=3－t－t2是二次函数的是
2、用一根长60cm的铁丝围成一个矩形,矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式是____________.
3、小李存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元(不含利息税)，y与x之间的函数关系是 _______，若年利率为6%，两年到期的本利共______元.
4、在△ABC中，∠C=90°,BC=a,AC=b,a+b=16,则RT△ABC的面积S与边长a的关系式是____；当a=8时，S=____；当S=24时，a=________.
5、当k=_____时，是二次函数.
6、扇形周长为10，半径为x，面积为y，则y与x的函数关系式为_______________.
7、已知s与成正比例，且t=3时，s=4，则s与t的函数关系式为_______________.
8、下列函数不属于二次函数的是（ ）
A.y=(x－1)(x+2) B.y=(x+1)2 C.y=2(x+3)2－2x2 D.y=1－x2
9、若函数是二次函数,那么m的值是( )
A.2 B.-1或3 C.3 D.
10、如图，一块草地是长80 m、宽60 m的矩形，在中间修筑两条互相垂直的宽为x m的小路，这时草坪面积为y m2.求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
学生观看图片，教师介绍，引出本章章题.
教师给出问题，学生观察、思考、分析、小组讨论，列函数解析式
教师引导学生观察所列函数解析式，找它们的共同特点，并叙述.
学生类比一次和反比例函数概念尝试给二次函数下定义，之后，教师给出规范概念.
教师出示问题1，学生思考解决，并阐述判断依据和理由.
教师引导学生观察解析式结构，对照二次函数的一般形式进行分析
教师组织学生讨论所给函数解析式是一次函数时，二次项系数须是0，一次项系数不等于0.
学生独自列二次函数解析式，之后集体交流，达成一致.
教师组织学生回顾本节知识，学生谈个人收获，师生交流.
使学生初步感知二次函数，引出本章，并为后续学习做铺垫。
学生经历列函数解析式的过程，总结三个解析式的共同特点，得到二次函数的概念
总体概括初中学习的三类函数的名称都反映了了函数表达式结构特点和自变量的关系.
考查能否判断一个函数解析式是不是二次函数，使学生掌握二次函数的解析式特点
强调二次函数解析式的二次项系数不等于0，自变量的最高次数是2，使学生能比较一次函数和二次函数的解析式特点，确定m的取值情况。
使学生能列出实际问题中的二次函数解析式.
学生谈本节课学到的知识以及解题体会
板 书 设 计
课题 22.1.1 二次函数 一、二次函数定义： 2题分析 3题分析
二、二次函数的4种常见形式
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.2 二次函数（第2课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.学生会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质.
过程
方法 1.学生类比前面所学的函数图像的画法，用描点法画二次函数的图像；
2.学生经历观察、思考、探索二次函数图象性质的过程，结合解析式特点、图像特点，感知二次函数的性质.
情感
态度 使学生体会数形结合思想， 培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯
教学重点 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，探索二次函数性质
教学难点 探索二次函数性质
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 一次函数的性质是如何研究的?我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?
二、探究新知
㈠抛物线及相关概念
用描点发法画二次函数y=x2的图象。
解：(1)列表：自变量x可以是任何实数，x的互为相反数的两个值对
应的函数值相等，以0为中心，取几个自变量的整数值，并求出y值
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
9
4
1
0
1
4
9
…
(2)用表里x、y对应值作为点的横纵坐标，在坐标平面中描点
(3)连线：用平滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
像投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线，只是开口向上，这样的曲线叫做抛物线。实际上，二次函数的图像都是抛物线，它们的开口向上或向下。二次函数的图像叫做抛物线。
顶点：抛物线与它的对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。
㈡探索性质
1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?
2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?
3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?
对于1，
㈢归纳概括
由具体函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，猜想： 函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。越大，抛物线的开口越小。
问题： 如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?
当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
当a<0时，抛物线y＝ax2有些什么特点?
抛物线与有怎样的关系？
三、课堂训练
1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图像，并分别写出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标：
；；
2.抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
3.已知等边三角形的边长是2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出此函数的图像。
四、小结归纳
1．如何画出函数y=ax2的图象?
2．函数y＝ax2具有哪些性质?
3．抛物线与的关系
五、作业设计
必做题：教材16页第3、4题
选做题：尝试画函数的图像
教师引导学生回顾：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质。可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象。
教师让学生观察，思考、讨论、交流，图像特点归结为：它是轴对称图形，有一条对称轴y轴，且对称轴和图象有一点交点。
学生初步感知二次函数的图像是一条抛物线
学生画图，并观察、比较。教师指导感觉困难的学生，引导学生思考选几个点比较合适以及如何选点。让学生发表不同的意见，达成共识.
将发现的结论进行小组交流，得出结论：四个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)．
教师提出问题，学生思考，回答
教师让学生动手画图，教师巡视指导，点评，师生交流。
教师引导学生分析思考第
3题，是实际问题，自变量的取值范围是正数，图像是抛物线的局部
学生谈本节课的收获和学习体会，并进行质疑，师生交流归纳，解惑。 创设问题情境，让学生通过类比学过的知识的研究方法来探究新知识，并激发学生的兴趣。
让学生经历猜想、画图、观察、归纳总结出二次函数y=x2的图像，感受知识的发生发展过程，便于对新知识的理解和认识。
通过让学生自己动手画图，加深对二次函数图像的认识和理解，同时培养学生规范作图的习惯。
增强学生观察分析、归纳概括能力和表达能力，经历由感性认识到理性认识的思维过程。
及时巩固本节所学知识，了解学生学习效果，培养学生独立解题能力。
总结学习的重点知识，帮助学生归纳，巩固新知识
根据学生学习的不同层次安排相应作业，从而使学生有不同层次的认识和提高。
板 书 设 计
课题 22.1 .2 二次函数 y=ax2的图像和性质 有关概念 二、二次函数 y=ax2 的性质
抛物线、抛物线的顶点
抛物线的对称轴
实际上，二次函数的图像是抛物线
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.3.1 二次函数（第3课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质；
3.理解抛物线与之间的位置关系.
过程
方法 用描点法画二次函数的图像，归纳整理得出抛物线的特点；
情感
态度 继续渗透体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心.
教学重点 二次函数的图象和性质
教学难点 理解抛物线和的位置关系.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 1.一次函数与的图像有怎么样的关系？
2.猜想二次函数与的图像之间的关系。
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数，与的图象
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
…
…
…
(2)然后描点画图，得到和的图像
思考：⑴抛物线，的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
⑵抛物线，与抛物线有什么关系？
⑶它们的形状是由什么决定的？它们的位置是由什么决定的？
2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数与的图象。
思考：⑴这5条抛物线的形状、大小有什么关系？
⑵这5条抛物线位置有什么关系？你有什么猜想？
3.猜想抛物线怎么平移会得到抛物线、？画图验证。
得到：一般的，把抛物线向上平移k（k>0）个单位，就得到抛物线；把抛物线向下平移k（k>0）个单位，就得到抛物线。
4.在同一直角坐标系中画函数，的图像
⑴抛物线，的开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑵抛物线怎么平移得到抛物线，？
5.在同一平面直角坐标系画函数，的图像，⑴说出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标。
⑵抛物线怎么平移得到抛物线？
得到：抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是y轴；顶点坐标（0，k）.
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线向 平移 个单位得到的.当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x= 时，函数有最 值，是y= .
2.若二次函数，当x取x1,x2,( x1≠x2)时，函数值相等，则当x取 x1+x2时，函数值是 .
4.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像大致是（ ）
5.抛物线与的位置关系是
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2.二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标；
3．二次函数与的图像的位置关系.
五、作业设计
在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象，y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2观察三条抛物线的相互关系，①并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。②说出抛物线y＝x2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置。③分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝x2得到抛物线y＝x2＋2和y＝x2－2? ④试说出函数y＝x2，y＝x2＋2，y＝x2－2的图象所具有的共同性质. 教师引导学生回顾一次函数的比例系数k相同时的图像位置关系，猜测二次函数a相同时图像的关系。依然采取画二次函数图像的方法研究二次函数的性质，列表、描点、连线.
教师让学生观察，思考、讨论、交流。初步感知形如的二次函数的图像特点.学生画图，并观察、比较。思考教师提出的问题。教师指导感觉困难的学生， 将发现的结论进行小组交流，得出结论
教师提出问题，学生猜想，画图验证
小组讨论总结出一般结论
学生在坐标纸上画图，根据图像说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，教师指导学生观察图像，说明平移关系，学生画图验证获得的结论，小组讨论总结出抛物线的特点.
学生根据获得的函数性质和图像特点，独立练习，教师巡回视察，适时指导，之后，师生评议，达成一致
学生谈本节课收获，并根据个人体会进行质疑
教师设计作业，使学生巩固深化本节知识
从已知知识入手，类比研究方法进行猜想
通过学生亲自动手画图像，观察，思考，初步感知抛物线的图像特点
通过观察图像，以及图像上横坐标相同的点的位置关系，了解抛物线的平移规律
学生再次画图，验证获得的结论
通过画a是负数的二次函数的图像，使学生全面认识形如的二次函数的图像特点
使学生能够利用本节课学习的知识解决相关问题，培养学生的解题能力
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.3.1 二次函数 的图像和性质 1. 抛物线的性质： 2.抛物线与的位置关系
开口方向，对称轴，顶点坐标
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.3.2 二次函数（第4课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质；
3.理解抛物线与之间的位置关系.
过程
方法 用描点法画二次函数的图像，归纳整理得出抛物线的特点.
情感
态度 继续渗透体会数形结合思想，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯，增强学习信心.
教学重点 二次函数的图象和性质.
教学难点 理解抛物线和的位置关系.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、复习引入 1.函数的图像可以由函数的图像上下平移得到，平移的规律是怎么样的？
2.猜想函数的图像是否可以由函数的图像通过平移得到？
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数、、与的图象.
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
(2)然后描点画图
思考：⑴抛物线，的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
⑵抛物线，与抛物线有什么关系？
⑶它们的形状是由什么决定的？它们的位置是由什么决定的？
2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数，与的图象。
思考：⑴三条抛物线的形状、大小有什么关系？
⑵三条抛物线位置有什么关系？你有什么猜想？
3.猜想抛物线怎么平移会得到抛物线、？画图验证。
得到：一般的，把抛物线向左平移h（h>0）个单位，就得到抛物线；把抛物线向右平移h（h>0）个单位，就得到抛物线。
4.在同一直角坐标系中画函数，，的图像
⑴说出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑵抛物线怎么平移得到抛物线，？
得到：抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h;顶点坐标（h, 0）.
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线向 平移 个 单位得到的。当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .
2. 函数的图像和x轴的交点坐标是 与y轴的交点坐标是 ，开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于y轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于原点对称的抛物线的解析式是 。
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2.二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标
3．二次函数与的图像的位置关系。
五、作业设计
在同一直角坐标系内画出下列二次函数，，的图象，观察三条抛物线的相互关系，①并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。②说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。③分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线，？④试说出函数，，的图象所具有的共同性质。 教师引导学生回顾函数的图像和性质，以及抛物线与的关系，猜想形如的二次函数的图像特点
教师引导学生列表，描点，画图，通过观察，思考，初步感知函数，的图像特点，思考教师提出的问题。教师指导感觉困难的学生， 将发现的结论进行小组交流
教师提出问题，学生猜想，画图验证
小组讨论总结出一般结论
学生在坐标纸上画图，根据图像说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标
学生画图验证获得的结论
小组讨论总结出抛物线的特点，学生根据学习的的函数性质和图像特点，独立练习，教师巡回视察，适时指导，之后，师生评议，达成一致
学生谈本节课收获，并根据个人体会进行质疑
教师设计作业，使学生巩固深化本节知识 在前面二次函数图像性质的研究的基础进一步研究形如
的二次函数的图像和性质
通过学生亲自动手画图像，观察，思考，初步感知抛物线的图像特点
通过观察图像，以及图像上横坐标相同的点的位置关系，初步了解抛物线之间的的平移规律
学生再次画图，验证获得的结论。通过画a是负数的二次函数的图像，使学生全面认识形如的二次函数的图像特点
使学生能够利用本节课学习的知识解决相关问题，培养学生的解题能力
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.3.2 二次函数 的图像和性质 1.抛物线的 2.抛物线与
开口方向，对称轴，顶点坐标 的位置关系
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.3.3 二次函数（第5 课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.会用描点法画出的图象；
2.掌握二次函数的性质；
3.理解抛物线、、与之间的位置关系；
4.能运用二次函数的知识解决简单的实际问题.
过程
方法 用描点法画二次函数的图像，归纳出抛物线的特点
情感
态度 继续渗透体会数形结合思想，体会二次函数在实际生活中的应用
教学重点 二次函数的图象和性质
教学难点 理解抛物线之间的位置关系，能将实际问题转化为函数问题
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 提出问题：
函数的图像向 平移 个单位得到函数的图像，向 平移 个单位得到函数的图像，那么，将函数如何平移，就能得到函数的图像？
引出课题：二次函数的图像和性质
二、探究新知
1.在同一直角坐标系中画二次函数，、的图象。
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
1
-0.5
-1
-0.5
1
3.5
(2)然后描点画图
观察思考：
⑴抛物线的图像的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？
⑵抛物线与有什么关系？
⑶抛物线与有什么关系？
它们的形状是由什么决定的？它们的位置是由什么决定的？
2. 在同一平面直角坐标系中画出二次函数，与的图象。
思考：⑴三条抛物线的形状、大小有什么关系？
⑵三条抛物线位置有什么关系？你有什么猜想？
3. 猜想抛物线怎么平移会得到抛物线？
猜想抛物线怎么平移会得到抛物线？画图验证。
得到：一般的，把抛物线向右平移h（h>0）个单位，就得到抛物线；再向上平移k（k>0）个单位，就得到抛物线
4.在同一直角坐标系中画函数，，的图像
⑴说出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；
⑵抛物线怎么平移得到抛物线，？
得到：抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；对称轴是直线x=h;顶点坐标（h, 0）.
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看做是抛物线向 平移 个 单位得到的。当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .
2. 函数的图像和x轴的交点坐标是 与y轴的交点坐标是 ，开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 。关于x轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于y轴对称的抛物线的函数解析式是 ；关于原点对称的抛物线的解析式是 。
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2.二次函数的图像的开口方向、对称轴、顶点坐标
3．二次函数与的图像的位置关系。
五、作业设计
在同一直角坐标系内画出下列二次函数，，的图象，观察三条抛物线的相互关系，①并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。②说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置。③分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线，？④试说出函数，，的图象所具有的共同性质。 教师引导学生回顾函数的图像和性质，以及抛物线与的关系，猜想形如的二次函数的图像特点
教师引导学生列表，描点，画图，通过观察，思考，初步感知函数，的图像特点，思考教师提出的问题。教师指导感觉困难的学生， 将发现的结论进行小组交流
教师提出问题，学生猜想，画图验，小组讨论总结出一般结论
学生在坐标纸上画图，根据图像说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，画图验证获得的结论
小组讨论总结出抛物线的特点，学生根据学习的的函数性质和图像特点，
独立练习，教师巡回视察，适时指导，之后，师生评议，达成一致
学生谈本节课收获，并根据个人体会进行质疑
教师设计作业，使学生巩固深化本节知识 在前面二次函数图像性质的研究的基础进一步研究形如
的二次函数的图像和性质
通过学生亲自动手画图像，观察，思考，初步感知抛物线的图像特点
通过观察图像，以及图像上横坐标相同的点的位置关系，初步了解抛物线之间的的平移规律
学生再次画图，验证获得的结论。通过画a是负数的二次函数的图像，使学生全面认识形如的二次函数的图像特点
使学生能够利用本节课学习的知识解决相关问题，培养学生的解题能力
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.3.3 二次函数 的图像和性质 1.抛物线的 2.抛物线与
开口方向，对称轴，顶点坐标 的位置关系
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.4.1 二次函数（第6课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 1.用描点法画出的图象；
2.能通过配方将二次函数化成的形式，从而确定抛物线的开口方向、对称轴和定点坐标.
过程
方法 结合前面的学习经验思考分析，了解画抛物线的前提是知道其开口方向、对称轴、顶点，故利用配方法将函数化成的形式，再用描点法画二次函数的图像.
情感
态度 经历求二次函数的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合思想方法.
教学重点 利用配方法将二次函数化成的形式，求抛物线的对称轴和顶点坐标.
教学难点 理解二次函数的性质
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 1.函数的图像是 ，开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .
2.对于任意一个一般形式的二次函数，如，你能很容易的说出它的开口方向、对称轴、顶点坐标，并画出图像吗？
3.引出课题：二次函数的图像和性质.
二、探究新知
1.尝试画二次函数的图象.
解：(1)先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
43.5
35
27.5
21
15.5
11
7.5
(2)然后描点画图
观察图像，能准确说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
我们知道二次函数的图像的对称轴是直线，顶点坐标是（），利用抛物线的对称性列表，容易画出图像。对照二次函数与的解析式特点，若将二次函数变形为的形式，问题就解决了.
配方可得
因此，抛物线的开口向上，对称轴是直线顶点坐标是（6, 3）.
利用其对称性列表：
x
…
3
4
5
6
7
8
9
…
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
２归纳：将二次函数进行配方，得到
因此，抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴：
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
向上
直线
a<0
向下
三、课堂训练
1抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大。当x= 时，函数有最 值，是y= .
四、小结归纳
1．二次函数的图像的画法；
2. 二次函数 的性质
3. 配方思想
五、作业设计
教材习题26.1第6题；第12题
补充：试求抛物线与两坐标轴的交点坐标。
教师提出问题，学生口答完成问题1，思考问题2，引出本节课课题，学生初步了解本节课所要研究的内容.
教师大胆放手，让学生利用已有的学习经验进行列表，画图.
教师点拨：这样列出的对应值，描出的不是对称点，图像也不对称，也就不能准确说出抛物线的对称轴和顶点坐标.
教师引导：与一元二次方程中的配方有相同之处，但是不完全相同，这里要提出二次项系数，不能无故消掉.
教师引导：观察图像，认识抛物线的变化趋势.
师生一起将进行配方，学生结合已有知识，观察、思考、讨论，归纳总结出一般结论，教师补充完善.
学生利用总结出的规律独立完成填空，并能阐述理由，师生共同评价.
学生谈本节课体会，教师做出归纳总结，并留有学生质疑时间，师生共同解答。
通过复习引入，巩固旧知识，提出新问题，初步了解探究任务，激起学生的探索欲望.
学生亲自操作，产生认知上的冲突，为进一步探究打下基础
学生观察，思考
学生从配方后得到的形式中找出抛物线的对称轴和定点坐标，然后重新列表画图.
学生经历两次列表，画图，感受只是发生发展形成过程，加深对配方法的重要性的理解与认识.
通过由特殊到一般的认识过程，有效的揭示一般形式的二次函数的一般规律.
及时运用所学知识，了解学生的学习效果.
通过归纳、比较，学生系统的掌握所学知识
巩固所学知识，形成一定的数学能力
板 书 设 计
课题 22.1.4 二次函数的图像和性质 配方 配方 抛物线
的顶点坐标、对称轴
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 会用待定系数法求二次函数解析式.
过程
方法 根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.
情感
态度 体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.
教学重点 运用待定系数法求二次函数解析式.
教学难点 根据条件恰当设二次函数解析式形式.
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
一、情境引入 已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标？应该怎样求出二次函数解析式？
引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.
二、探究新知
1.二次函数中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
抛物线经过点（-1，10），（1，4），（2, 7），求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为， 代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.
2.二次函数中有几个待定系数？需要知道图像上几个点的坐标才能求出来？
抛物线的顶点坐标为（1, 2），点（1，-1）也在图像上，能求出它的函数解析式吗？
得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是
先代入顶点坐标（1, 2）得到，再代入点（1，-1）即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.
3．二次函数，如果知道抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（-1,0），（-3, 0），点（4, 5）也在抛物线上，能求出二次函数解析式吗？
得到：如果知道抛物线与x轴的两个交点，可以设函数解析式是，代入点（-1,0），（-3, 0）得到
再代入点（4, 5）即可得到即可得到的值从而求出函数解析式，这种解析式叫交点式.
三、课堂训练
按下列条件求二次函数解析式：
1.抛物线过点（-1,9），（0,5），（1，7）；
2.当x=4时函数有最小值-3，且抛物线过点（1，1.5）；
3.抛物线的对称轴是x=4,与x轴的一个交点是（69，0），且函数的最小值是-8，；
4.抛物线过点（-1,1），（2,1），且函数的最小值为2；
5.抛物线与x轴的两个交点间的距离是8个单位，且顶点是M(1,5)；
6.抛物线与x轴的交点是（-1,0），（1,0），与y轴交点是（-5,0）；
7.抛物线与x轴只有一个交点（2,0），且与y轴交于点（0,2）；
点拨：根据问题特点恰当的设函数解析式，其中1题，6题设一般式，6题也可以设成交点式；2,3,4,5题解析式设成顶点式，或者使用抛物线顶点坐标公式；7题中的（2,0）其实就是抛物线的顶点，所以也设成顶点式.
四、小结归纳
1．根据条件灵活用待定系数法确定二次函数解析式；
①已知三点坐标，用一般式；
②已知顶点坐标，用顶点式；
③已知抛物线与x轴的两个交点，用交点式。
2. 综合考虑二次函数及其图像，灵活确定函数解析式。
五、作业设计
教材习题26.1第9题；第10题
补充：用至少三种解法完成下题：
抛物线与x轴的两个交点间的距离是8个单位，且顶点是M(1,5)，求函数解析式.
教师提出问题，学生思考，引出本节课课题，学生初步了解本节课所要研究的内容.
教师提出问题，布置学生分组，限时15分钟的思考解决。学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果。之后，师生让学生根据解决问题体会，总结出解决用待定系数法求二次函数解析式的过程与方法，教师补充完善.
教师让学生尝试应用，独立解决，然后小组交流，之后，师生集体点评.
学生谈本节课收获，并进行质疑，教师释疑，并进行系统总结.
使学生初步了解探究任务，激起学生的探索欲望.
培养学生自主探究能力，体会运用待定系数法求二次函数解析式的方法与过程，提高学习的积极性.
培养学生应用意识和能力，体会学习数学知识的价值.
使学生进一步理解待定系数法.
板 书 设 计
课题 22.1.4.2 用待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式 ： 2题 3题 5题 7题
2.顶点式 ：
3.交点式 ：
教 学 反 思
年级 九年级 课题 22.2 用函数观点看一元二次方程（第1课时） 课型 新授
教学媒体 多媒体
教
学
目
标 知识
技能 二次函数图像与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；
会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；
会用估算方法估计一元二次方程的根.
过程
方法 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，进一步理解体会方程与函数之间的联系.
情感
态度 通过探究二次函数图像与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况的关系，进一步体会数形结合思想.
教学重点 一元二次方程与二次函数之间的联系
教学难点 二次函数图像与x轴交点个数和一元二次方程的根的个数之间的关系
教 学 过 程 设 计
教学程序及教学内容 师生行为 设计意图
情境引入： 问题： 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h＝20t—5t2
考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
二、自主探究
1.分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝3(即5t2-20t-3＝0);反过来，解方程5t2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t-3的值为0，求自变量x的值.
一般地，可以利用二次函数深入探究一元二次方程.
2.二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2） y＝x2－6x＋9；（3） y＝x2－x＋1.
的图象如图26.2－2所示。观察并回答：
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
（2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2－x＋1=0没有实数根.
得到：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
例 利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.由图像可以知道，当自变量是2时函数值小于0，当自变量是3时函数值大于0，所以抛物线y=x2－2x－2在2
三小结归纳
1. 二次函数与一元二次方程的关系；
2. 会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解，会用估算方法估计一元二次方程的根.
四四6.1次函数的图像求一元二次方程的近似解；、作业设计
教材习题26.2 1——6题
教师提出问题，布置学生分组，限时15分钟的思考解决。学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果.
师生共同分析，教师适当点拨，由学生板书问题，师生讲评。教师引导学生总结：二次函数与一元二次方程的解的关系
教师引导学生观察图像，思考二次函数的图像与x轴有无公共点及公共点的横坐
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