北师大版七年级数学上册第5章第3节应用一元一次方程—水箱变高了 (2)(共26张PPT)

5.3应用一元一次方程
——水箱变高了
长方形的周长C = ;
长方形面积S=_______;
2(a+b)
ab
长方体体积V=_________.
abc
b
a
b
c
a
正方形的周长 C =_______;
正方形面积 S =_______;
4a
a2
正方体体积 V =______.
a3
a
a
圆的周长 C = ________;
圆的面积S = _______;
圆柱体体积V = _________.
r
h
r
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阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他被称为想撬动地球的人。
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h
r
阿基米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变。
想一想
=
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请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？并根据不变量写出等量关系 。
1、把一小杯的水倒入另一只大杯中；

2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，
然后把它围成长方形；

3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，
再把它改变成球。
解：小杯中水的体积=大杯中水的体积
解：三角形的周长=长方形的周长
解：立方体的体积=球的体积
【自主“学”习】
什么发生了变化？
什么没有发生变化？
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高了多少米?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
想一想
解：设水箱的高变为 X米，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径
高
体 积

2米
1.6米
4米
X米
等量关系：
V旧水箱＝V新水箱
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高了多少米?　　　　　　　　　　　　　　　　
解：设水箱的高度变为X米，
根据等量关系列出方程：
解方程得： X=6.25
答：水箱高度增高了 米
2.25
=
× 22×4
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高了多少米?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
V旧水箱＝V新水箱
∴ 6.25-4=2.25（米）
例：小明有一个问题想不明白。他要用一根长为10米的铁丝围成一个长方形，使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？
小明的困惑：
解： 设长方形的宽为X米，则它的长为 米，
根据题意，得：
(X+1.4 +X) ×2 =10
X=1.8
长是：1.8+1.4=3.2
答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米,面积是5.76米2.
等量关系：
（长+宽）× 2=周长
（X+1.4）
面积： 3.2 × 1.8=5.76
做一做
小明又想用这10米长铁丝围成一个长方形。
（2）使长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长方形相比，面积有什么变化？
X
X+0.8
解：（2）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米。
根据题意，得：
(X+0.8 +X) ×2 =10
x=2.1
长=2.1+0.8=2.9
面积=2.9 ×2.1=6.09
答:该长方形的长为2.9米,面积为6.09米2
X
X+0.8
（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与前两次围成的面积相比，又有什么变化？
X
4x =10
x=2.5（m)
∴边长= 2.5
面积=2.5 2 =6. 25
解：（3）设正方形的边长为x米。
根据题意，得：
面积增大： 6. 25 -6.09=0.16 （m2 ）
同样长的铁丝围成怎样的四边形面积最大呢？
X
当周长不变时，围成正方形面积最大
面积：1.8 × 3.2=5.76
面积：
2.9 ×2.1=6.09
面积：
2.5 × 2.5 =6. 25
长方形的周长一定时，当且仅当长宽相等时面积最大。
（1）
（2）
（3）
你自己来尝试！
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小颖所钉长方形的长和宽各为多少厘米？
10
10
10
10
6
6
？
分析：等量关系是 变形前后周长相等
解：设长方形的长是 x 厘米，由题意得：

解得
因此，小颖所钉长方形的长是16厘米，宽是10厘米。
开拓思维
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体铁块，浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）
相等关系：水面增高体积=长方体体积
解：设水面增高 x 厘米，由题意得：

解得

因此，水面增高约为0.9厘米。
2.小明的爸爸想用10米铁丝在墙边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
铁丝
墙面
x
X+4
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抓住变化过程中的不变量，列方程求解。
　一　液体更换容器题，容积不变。
二　固定长度，虽然围成的图形形状及面积不同，但是应抓住图形的总周长不变。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三　图形的拼接、割补、平移、旋转等类型题，应抓住图形的面积、体积不变。
——讨 论 题——
在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒内装满水，再将筒内的水到入底面直径为7cm，高为9cm的烧杯内，能否完全装下？若装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。
若将烧杯中装满水倒入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还剩水多高？
答 案
解：
所以，能装下。
设杯内水面的高度为 x 厘米。
杯内水面的高度为 4.04 厘米。
答 案
解：
因为
所以，不能装下。
设杯内还剩水高为 x 厘米。
因此，杯内还剩水高为 4.96 厘米。
2、旧水箱容积=新水箱容积
1、列方程的关键是正确找出等量关系。
4、长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时(正方形），面积最大。
3、线段长度一定时，不管围成怎样 的图形，周长不变
课堂小结:
设

列
根据等量关系列出方程。
解
解方程
检
审清题意，把有关的量用含有未知数的代数式表示
检验
应用方程解决问题的一般步骤：
你学会了什么？
答
作答