第2章不等式复习测试（2）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期末复习Word解析版

不等式复习测试二
一．选择题（共10小题）
1．若函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是　　
A． B．
C．，， D．
2．如果，那么下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
3．若函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
4．若二次函数的图象经过点，则函数的最小值为　　
A． B． C． D．
5．已知，，则、之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
6．已知动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，则的最大值为　　
A．1 B．2 C． D．4
7．已知正数，满足，则的最小值为　　
A．5 B． C． D．2
8．已知不等式的解集是，，则不等式的解集是　　
A． B．，，
C． D．，
二．多选题（共4小题）
9．下列大小顺序正确的是　　
A． B．
C．， D．，
10．下列说法正确的是　　
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为2 D．最小值为
11．下列命题中正确的是　　
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．最小值是5
12．已知正数，，满足，下列结论正确的有　　
A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
13．已知正实数，满足，则的最小值为　　．
14．若关于的不等式的解集为，，，则实数的取值为　　．
15．已知，且，，则的最小值为　　．
16．若，则函数的最大值是　　，此时　　．
四．解答题（共9小题）
17．已知函数，．
（Ⅰ）若，试求函数的最小值；
（Ⅱ）对于任意的，，不等式成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）存在，，使方程成立，试求的取值范围．
18．已知，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
19．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数取值范围．
20．设函数．
（1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围；
（2）若，解关于的不等式．
21．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，函数在，有解，求实数的取值范围．
22．设二次函数，集合．
（1）若，，，且方程的两根都小于，求实数的取值范围；
（2）若，求函数在区间，上的最大值（结果用表示）．
不等式复习测试二
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若函数的图象与轴没有交点，则的取值范围是　　
A． B．
C．，， D．
【分析】根据二次函数的性质求出的范围即可．
【解答】解：由题意得：
△，解得：，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查转化思想，是一道常规题．
2．如果，那么下列不等式中恒成立的是　　
A． B． C． D．
【分析】由已知条件，可直接判断选项正确．
【解答】解：，
．
故选：．
【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．
3．若函数在区间，上有零点，则的取值范围是　　
A． B．， C．， D．，
【分析】判断出在区间，上单调递增，得出即即可．
【解答】解：函数，对称轴，
在区间，上单调递增
在区间，上有零点，
即
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的单调性，零点的求解方法，属于中档题．
4．若二次函数的图象经过点，则函数的最小值为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得，解得，可求函数解析式为，利用二次函数的性质可求其最小值．
【解答】解：二次函数的图象经过点，
，
，
所求函数解析式为：，即，
函数的最小值为（1）．
故选：．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质的应用，考查了函数思想的应用，属于基础题．
5．已知，，则、之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
【分析】利用基本不等式求出的最小值，一次函数的性质判断的最大值，然后比较大小即可．
【解答】解：因为，
当且仅当时去等号，
，
；
；
故选：．
【点评】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用．
6．已知动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，则的最大值为　　
A．1 B．2 C． D．4
【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．
【解答】解：动点的轨迹为直线在第一象限内的部分，
所以，
由基本不等式，解得，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为2．
故选：．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等号式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
7．已知正数，满足，则的最小值为　　
A．5 B． C． D．2
【分析】由得，再将代数式与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．
【解答】解：，所以，，
则，
所以，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，的最小值为，
故选：．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．
8．已知不等式的解集是，，则不等式的解集是　　
A． B．，，
C． D．，
【分析】根据不等式的解集得出，是一元二次方程的实数根，得出和的关系，把不等式化为，求出解集即可
【解答】解：不等式的解集是，
则，是一元二次方程的实数根，且；
，；
不等式化为，
；
化为；
又，；
不等式的解集为：，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根之间的关系，是中档题
二．多选题（共4小题）
9．下列大小顺序正确的是　　
A． B．
C．， D．，
【分析】由题意利用函数的单调性判断 正确不正确；再利用用基本不等式、用作差比较法判断、正确，从而得出结论．
【解答】解：是上的减函数，，，
，
，故正确．
，而，故，故错误．
，，，
，，故正确．
，，，等价于，
等价于，
等价于①．
而①显然成立，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考函数的单调性、基本不等式的应用，用比较法比较两个数的大小，属于中档题．
10．下列说法正确的是　　
A．的最小值为2 B．的最小值为1
C．的最大值为2 D．最小值为
【分析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，选出正确选项．
【解答】解：当时，，故选项错误；
，选项正确；
，当时取“ “，故的最大值为3，选项错误；
（当且仅当时取“ “，选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题．
11．下列命题中正确的是　　
A．的最大值是
B．的最小值是2
C．的最大值是
D．最小值是5
【分析】利用基本不等式逐个选项验证其正误即可．
【解答】解：，，即，当且仅当取“ “，故选项正确；
，当且仅当时取“ “，矛盾，，故选项错误；
，，当且仅当时取“ “，，故选项正确；
，，，当且仅当时取“ “，故选项正确；
故选：．
【点评】本题主要考查式子的变形及基本不等式的应用，属于中档题．
12．已知正数，，满足，下列结论正确的有　　
A． B． C． D．
【分析】．由取对数得，然后找到、、的关系，计算与、与的比值即可；
．根据表示出、、，再根据这三者的等量关系，列出等式化简；
．根据，使用柯西不等式即可证明；
．由得，将二者相乘后利用基本不等式证明即可．
【解答】解：．由取对数得，
设，
则，
，即，
，即，
，
故错误；
．，
，即，
故正确；
．由柯西不等式可知，
，即，
故正确；
．由可知，
，
即，
故正确．
故选：．
【点评】本题需要将已知条件取对数，然后变形，本题还利用了柯西不等式和基本不等式，考查学生对对数运算的掌握，属于中档题
三．填空题（共5小题）
13．已知正实数，满足，则的最小值为　　．
【分析】由，可得，
令，，．根据函数在单调递减，即可求解．
【解答】解：正实数，满足，
，可得，
则，
令，，．
即有，
又函数在单调递减，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了均值不等式的应用，考查了函数思想、转化思想，属于中档题．
14．若关于的不等式的解集为，，，则实数的取值为　3　．
【分析】根据不等式的解集得出对应方程的解，利用根与系数的关系求出和的值．
【解答】解：不等式的解集为，，，
所以和是方程的解，且；
由根与系数的关系知，，
解得，，
所以实数的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次不等式解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15．已知，且，，则的最小值为　　．
【分析】直接利用不等式的性质和基本关系式的应用求出结果．
【解答】解：由于：（当且仅当等号成立）．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，不基本关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
16．若，则函数的最大值是　　，此时　　．
【分析】将原函数式化为后，利用基本不等式求解即可．
【解答】解：，
当且仅当，即时，等号成立．
函数的最大值是，此时．
【点评】本题主要考查函数最值的求法，考查基本不等式的应用，属于基础题．
四．解答题（共9小题）
17．已知函数，．
（Ⅰ）若，试求函数的最小值；
（Ⅱ）对于任意的，，不等式成立，试求的取值范围；
（Ⅲ）存在，，使方程成立，试求的取值范围．
【分析】（Ⅰ）对式子变形后，利用基本不等式即可求得结果；
（Ⅱ）先由题设把问题转化为：对于任意的，恒成立，
构造函数，，，利用其最大值求得的取值范围；
（Ⅲ）由题设把问题转化为：方程在，有解，解出的范围．
【解答】解：（Ⅰ）当时，（当且仅当时取“ “，
；
（Ⅱ）由题意知：对于任意的，恒成立，
即对于任意的，恒成立，
令，，，
则，解得：，
的取值范围为，；
（Ⅲ）由可得：，
即，
，，
，
解得：，
即的取值范围为，．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用、函数的性质及不等式的解法，属于中档题．
18．已知，．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【分析】（1）根据不等式恒成立可得△，解得即可；
（2）原不等式可化为为，分类解得即可．
【解答】解：（1）恒成立，即恒成立，要△，
解得，
故的取值范围为；
（2）原不等式可化为为，
当时，解得或，
当时，解得，
当时，解得或，
综上所述：当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，，
当时，不等式的解集为，，．
【点评】本题考查了不等式恒成立和问题和一元二次不等式的解集问题，考查了运算和求解能力，属于基础题．
19．已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在，使得成立，求实数取值范围．
【分析】（1）由已知结合基本不等式即可直接求解，
（2）问题转化成立，利用换元法后结合二次函数的性质可求．
【解答】解：（1），
因为，所以，
（当且仅当即时取等号），
所以，即函数的最小值为6，此时，
（2）存在，使得成立，
所以，
即，则，
解得．
【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值及不等式的存在性问题与最值的相互转化，体现了转化思想的应用．
20．设函数．
（1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围；
（2）若，解关于的不等式．
【分析】（1）问题转化为对任意的成立，结合二次函数的性质求出的范围即可；
（2）问题转化为，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）由题意得，对任意的成立，
即对任意的成立，
①当时，显然不符合题意；
②当时，只需，解得，
综上：．
（2）由得，
即，
①当时，解集为，
②当时，解集为，
③当时，解集为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．
21．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，函数在，有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入，然后结合函数零点的定义可求，
（2）由已知可得，然后结合的范围进行分类讨论，结合二次不等式的求法可求；
（3）由已知可转化为在，有解，从而转化为求解函数的最小值，结合二次函数闭区间上最值的求解可求．
【解答】解：（1）当时，，
所以，函数的零点为2，3，
（2）由可得，
当时，解得，
当时，不存在，
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集；
（3）时，在，有解，
即在，有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值即，
，
②即时，当取得最小值，此时，解得，
③当即时，当时取得最小值，此时，
解得，
综上，或．
【点评】本题主要考查了函数零点的定义，含参不等式的求解，还考查了二次不等式的最值求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
22．设二次函数，集合．
（1）若，，，且方程的两根都小于，求实数的取值范围；
（2）若，求函数在区间，上的最大值（结果用表示）．
【分析】（1）由条件知，2是方程的两个实根，根据根与系数的关系可以得出，，的关系式，再由的两根两根都小于，列出满足的不等式，解出的取值范围即可．
（2）由条件知是方程的两个实根，根据根与系数的关系可以得出，，的关系式，所以函数变为只含字母的解析式，问题转换为含参数的一元二次函数在定区间上的最值问题．
【解答】解：（1）因为，，所以1，2是的两根，
解得；，即，
又因为方程的两根都小于，所以；
即，解得；
（2）因为，故，解得．
所以，对称轴为，
①当时，则，在，上单调递增，所以（2）；
②当时，则，所以（2）；
③当时，则，所以．
综上：．
【点评】本题考查了含参数的一元二次方程根与系数的关系，根的分布问题，及动轴定区间问题，属于中档题．