高中数学人教A版(2019）选择性必修第一册第一章1.1.1空间向量及其线性运算-2课件(共41张PPT)

空间向量及其线性运算
问题1
我们已经学面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量，给出空间向量的概念和线性运算吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的概念
空间向量的概念
追问(1)
平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？
平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，
记作
或|a|.
空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，
记作
或|a|.
追问(2)
如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的表示法
空间向量的表示法
(1)有向线段
(1)有向线段
A
(起点)
B
(终点)
a
(2)字母
a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y)
(2)字母
a，b，c，…
(3)坐标表示：a＝(x，y，z)
a
c
b
印刷体：
a
手写体：
追问(3)
从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的相关概念
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
共线向量：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的相关概念
空间向量的相关概念
模为
0
的向量，记作
0
；零向量的方向任意；
模为
1
的向量；
模和方向都相同的两个向量，记作
a＝b；
模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b
；
零向量：
单位向量：
相等向量：
相反向量：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的相关概念
空间向量的相关概念
共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作
a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
共线向量：若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作
a∥b；
规定，零向量和任意向量共线.
问题2
在学面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？
追问(1)
平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？
平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算.先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律.
追问(2)
平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
(1)
加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.
法则：三角形和平行四边形法则；
b
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
①
|λa|＝|λ||a|；
②若λ
>
0，λa与a的方向相同；
若λ
<
0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
(2)
数乘运算：
转化
平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
a
b
.
O
α
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
(1)
加、减运算：求两个空间向量的和与差的运算.
法则：三角形和平行四边形法则；
(1)
加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.
法则：三角形和平行四边形法则；
b
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
①
|λa|＝|λ||a|；
②若λ
>
0，λa与a的方向相同；
若λ
<
0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
(2)
数乘运算：
实数λ与空间向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
①
|λa|＝|λ||a|；
②若λ
>
0，λa与a的方向相同；
若λ
<
0，λa与a的方向相反；
若λ＝0，λa＝0.
(2)
数乘运算：
追问(3)
平面向量线性运算的运算律有哪些？你能类比它们得出空间向量线性运算的运算律吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
(3)运算律：
①交换律：
a
+
b＝b
+
a；
②结合律：
a
+
(b
+
c)
＝(a
+
b)
+
c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律：
(λ+μ)a＝λa
+
μa，
λ(a+b)＝λa
+
λb.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
(3)运算律：
(3)运算律：
①交换律：
a
+
b＝b
+
a；
②结合律：
a
+
(b
+
c)
＝(a
+
b)
+
c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律：
(λ+μ)a＝λa
+
μa，
λ(a+b)＝λa
+
λb.
①交换律：
a
+
b＝b
+
a；
②结合律：
a
+
(b
+
c)
＝(a
+
b)
+
c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律：
(λ+μ)a＝λa
+
μa，
λ(a+b)＝λa
+
λb.
追问(4)
空间向量线性运算运算律的证明，和平面向量有哪些异同？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的线性运算
空间向量的线性运算
①交换律：
a
+
b＝b
+
a；
②结合律：
a
+
(b
+
c)
＝(a
+
b)
+
c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律：
(λ+μ)a＝λa
+
μa，
λ(a+b)＝λa
+
λb.
(3)运算律：
(3)运算律：
a
+
(b
+
c)
＝(a
+
b)
+
c
①交换律：
a
+
b＝b
+
a；
②结合律：
a
+
(b
+
c)
＝(a
+
b)
+
c，
λ(μa)＝(λμ)a；
③分配律：
(λ+μ)a＝λa
+
μa，
λ(a+b)＝λa
+
λb.
追问(5)
如何证明空间向量的加法结合律呢？
a
c
b
追问(5)
如何证明空间向量的加法结合律呢？
a
c
b
在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，记
则
a
+
(b
+
c)
＝
(a
+
b
)
+
c
＝
所以有：a
+
(b
+
c)＝(a
+
b
)
+
c.
a，
b，
c
.
一般地，对于三个不共面的向量
a，b，c，以任意点
O为起点，
a，b，c为邻边作平行六面体，则
a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.
追问(5)
如何证明空间向量的加法结合律呢？
a
c
b
问题3
平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？
追问(1)
你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量共线的充要条件
空间向量共线的充要条件
对任意两个平面向量
a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，
使a＝λb
.
对任意两个空间向量
a，
b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，
使a＝λb
.
追问(1)
你还记得两个向量共线的充要条件吗？这个充要条件对于空间向量也成立吗？
如右图，O是直线
l上一点，在直线
l上取非零向量
a，我们把与向量
a平行的非零向量称为直线
l的方向向量.
对于直线
l上任意一点
P，由向量共线的充要条件可知，存在唯一确定的实数
λ
，使得
=
λa.
也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
追问(2)
任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？
任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面.
a
b
.
O
α
c
p
如何判断三个向量是否共面呢？
追问(3)
你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？
a
b
.
O
α
p
p＝xa
+yb
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量基本定理
若向量
a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量
p，存在唯一的有序实数对
(x，y)
，使得：
p＝xa
+yb.
追问(3)
你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系吗？
a
b
.
O
α
p
若
p在α内，则有
p＝xa
+yb；
p
若
p＝xa
+yb，则
p在α内.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量基本定理
若向量
a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量
p，存在唯一的有序实数对
(x，y)
，使得：
p＝xa
+yb.
两个向量
a，b不共线，那么向量
p与向量
a
，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对
(x，y)，使得：
p＝xa
+yb.
空间向量共面的充要条件
A
B
C
问题4
如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA
，OB
，OC
，OD，在四条射线上分别取点E
，F
，G
，H，使
.
求证：
E
，F
，G
，H
四点共面.
追问(1)
如何证明E
，F
，G
，H
四点共面？
追问(2)
如何证明这三个向量共面？
根据向量共面的充要条件，用
表示
即可.
可以通过证明
这四点构成的三个向量，如
共面，来证明这四点共面.
追问(3)
如何实现上述表示？
把根据三角形法则，把
分别
用
等向量来表示；再利用
已知条件，将它们转化为用
来表示的形式.
而由平行四边形ABCD，得到
，从而可以
得到
的关系，进一步得到
的关系，最终用
表示
.
证明:因为四边形ABCD是平行四边形，
所以
.
因此，
因此，
共面，即
四点共面.
因为
，所以
选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是用向量解决立体几何问题的常用方法.
问题5
回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
1
空间向量及线性运算
(1)
空间向量的概念：
定义；表示法；相关概念.
(2)
空间向量的线性运算：
加、减、数乘运算及其运算律.
(3)
线性运算的应用：
直线的方向向量；向量共面.
2
类比平面向量的研究方法
类比
猜想
证明或转化
推广
课后作业
本节教材P5-P6课后练习；
复习平面向量的数量积运算相关内容.