高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.1.2空间向量的数量积运算-2课件(共39张PPT)

空间向量的数量积运算
平面向量及其线性运算
空间向量及其线性运算
推 广
平面向量的数量积运算
空间向量的数量积运算
问题1 你能类比平面向量的数量积运算，把它推广到空间向量吗？
追问(1) 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？
夹角
数量积的定义
运算律
应用
追问(2) 什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量，给出空间向量夹角的概念吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的夹角


两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做 ＝a ，
＝b ，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
b
a
.
O
α
A
B
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量的夹角


两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，做 ＝a ，
＝b ，则∠AOB叫做向量
a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0 ≤〈a，b〉≤ π.
如果〈a，b〉＝ ，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b .
b
a
.
O
α
A
B
两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：
a · b＝|a||b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的数量积
空间向量的数量积


已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（inner product），记作a · b . 即
a · b＝|a||b|cos〈a，b〉.
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的数量积
空间向量的数量积


由向量数量积定义，可以得到：
① 若a，b是非零向量，a⊥b ? a · b＝0；
② a · a＝a 2＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2 .
证明空间中的垂直关系
求空间中线段的长度
追问(3) 平面向量的数量积是什么？你能类比平面向量，给出空间向量数量积的运算吗？
追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的投影


两个非零向量a，b， ＝a， ＝b，过A和B分别做
所在直线的垂线，垂足分别为A1和B1，得到 ，称上述变换为向量a向向量b的投影， 叫向量a在向量b上的投影向量.
b
a
A
B
A1
D
C
B1
追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？
b
a
A
B
A1
D
C
B1
b
a
.
O
N
M
M1
＝|a|cos〈a，b〉
b
a
.
O
α
a
c
追问(4) 在平面向量中我们学习过投影向量的概念，什么是投影向量？你能把它推广到空间向量中吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量的投影向量


将空间向量a，b ，平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即:
c =|a|cos〈a，b〉 ，
向量c称为向量a在向量b上的投影向量.
追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的数量积运算律


① (λa)·b＝λ(a·b)， λ∈R；
② a·b＝b·a（交换律）;
③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的数量积运算律
空间向量的数量积运算律


① (λa) ·b＝λ(a·b)， λ∈R；
② a·b＝b·a（交换律）;
③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
追问(5) 空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量的数量积运算律
空间向量的数量积运算律


① (λa) ·b＝λ(a·b)， λ∈R；
② a·b＝b·a（交换律）;
③ a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.
a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）
问题2 空间向量的数量积运算由平面向量的数量积运算推广而来，与平面向量数量积运算一样，要注意它与向量的线性运算、实数的乘法运算的区别.你能回答以下问题吗？
追问(1) 由a·b＝0，能否得到a＝0或 b＝0？
不一定！
因为 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，
所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0.
即a＝0或b＝0或a⊥b.
追问(2) 对于三个均不为零的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c. 对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？
不一定！
由a·b = a·c，有a·(b－c）＝0.
从而有b＝c或a⊥(b－c）.
追问(3) 对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则 或 .那么对于向量a，b，若a·b＝k，能写成 或 吗？
不能！因为没有定义向量的除法运算.

k
k
追问(4) 对于三个均不为零的数a，b，c，有(ab)c＝a(bc).对于向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)成立吗？
不一定！两个向量的数量积为一个实数，(a·b)c和a(b·c)分别表示与向量c和向量a共线的向量，它们不一定相等.
向量的数量积运算没有结合律.
问题3 用空间向量的数量积运算，可以解决空间中的哪些问题？
追问(1) 平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量数量积的应用


（1）求线段长度(距离)：
（2）求夹角：
（3）证明垂直：
追问(1) 平面向量的数量积运算可以解决哪些问题？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量数量积的应用


（1）求线段长度(距离)：
（2）求夹角：
（3）证明垂直：
把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；
a⊥b ? a · b＝0.
cos 〈a，b〉＝ ;
追问(2) 空间中的这些问题是否也可以用它们解决?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}平面向量数量积的应用
空间向量数量积的应用


（1）求线段长度(距离)：
（2）求夹角：
（3）证明垂直：
把所求线段看成一个向量的模，并用其它已知向量表示它，再用数量积运算求该向量的模；
a⊥b ? a · b＝0.
cos 〈a，b〉＝ ;
问题4 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB = 5，
AD = 3，AA'= 7，∠BAD = 60°，∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：
(1) ；(2) AC'的长（精确到0.1）.
追问(1) 如何计算 ？它们的长度，夹角是多少？
AB，AD的长度和夹角均已知，AB＝5，AD＝3，
∠BAD = 60°.
解：(1)
追问(2) 为了求AC'的长，应该用哪些向量表示 ？为什么？如何表示？
可以根据已知条件与平行四边形法则，用
来表示，因为它们的模长和夹角均已知，可以进行数量积运算.
(2)
用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法.
问题5 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线.
如果l⊥m， l⊥n，
求证： l⊥平面α;
m
n
l
α
追问(1) 直线和平面垂直的定义是什么？
m
n
l
α
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直，则
直线l垂直于平面α .
追问(2) 如何用向量方法证明l和平面α内任意一条直线垂直？
m
n
l
α
在平面α内任取一条直线g，分别在直线l，m，n，g
上取非零向量l，m，n，g作为方向向量，由向量共面的
充要条件知，g可由m，n的线性组合表示. 由已知l⊥m，
l⊥n，通过数量积运算，得到l⊥g，从而l⊥g，
从而l⊥平面α.
g
m
g
n
l
m
n
l
α
g
m
g
n
l
证明：
在平面α内作任意直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因为直线m，n相交，所以m，n不共线.
因此，存在唯一有序实数对(x，y)，使得g＝xm +yn.
因为l⊥m， l⊥n，所以l⊥m， l⊥n，即l·m＝0，l·n＝0.
于是l·g＝l·xn＋ l·ym＝xl·n＋yl·m＝0，
所以l⊥g.
即l⊥g，所以l⊥平面α.
用向量表示直线，用
向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法.
m
n
l
α
g
m
g
n
l
问题6 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？
1 空间向量的数量积运算
(1) 空间向量数量积运算的定义；
(2) 空间向量数量积运算的运算律；
(3) 空间向量数量积运算的应用.
2 类比平面向量的研究方法
类比
猜想
证明或转化
推广
课后作业
用投影向量证明空间向量数量积运算的分配律;
2. 教材P9-10，习题1.1第4，7，10题.