高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.2空间向量基本定理(1)-课件(共41张PPT))
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.2空间向量基本定理(1)-课件(共41张PPT)) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 478.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-28 21:29:34 | ||
图片预览
文档简介
空间向量基本定理(1)
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
平面向量基本定理
问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
追问2 两个不共线的向量还够用吗？
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 p＝xa＋yb．
至少需要三个向量．
追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？
三个向量共面
三个向量不共面
a
b
c
追问3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
？
p
i
j
k
P
Q
O
α
xi
p
i
j
k
P
Q
O
yj
zk
α
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
xi
p
i
j
k
P
Q
O
yj
zk
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
α
追问4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
a
b
c
p
a
b
c
O
P
α
p
a
c
b
B
C
A
Q
Q
α
a
b
c
O
P
p
a
c
b
B
C
A
O
Q
P
p
a
c
b
B
C
A
α
a
b
c
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
问题2 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
那么，所有空间向量组成的集合就是
{ p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectors)．
问题3 空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
答：任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．
空间的基底有无穷多个．
{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当 a，b，c不共面．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
i
j
k
O
a
i
j
k
P
Q
O
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk．
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{e1，e2}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{a，b，c}
{e1，e2}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
一维
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
一维
{a}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
向量共线充要条件
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
向量 a ( a ≠ 0)与向量 b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使
b＝λa.
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
一维
{a}
给我一个支点，我可以撬起地球．
——阿基米德
给我一个基底，
我还你一个空间！
1. 如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C的中心，且
(1) {a，b，c}是否构成空间的一个基底？
(2) 如果{a，b，c}构成空间的一个基底，
那么用它表示下列向量：
课后作业
2.已知四面体 OABC，M，N 分别是边 OA，BC的中点，且
，用a，b，c表示向量
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
平面向量基本定理
问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
追问2 两个不共线的向量还够用吗？
如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使 p＝xa＋yb．
至少需要三个向量．
追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？
三个向量共面
三个向量不共面
a
b
c
追问3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
？
p
i
j
k
P
Q
O
α
xi
p
i
j
k
P
Q
O
yj
zk
α
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
xi
p
i
j
k
P
Q
O
yj
zk
我们称 xi，yj，zk 分别为向量 p 在 i，j，k 上的分向量．
α
追问4 如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗 ？
a
b
c
p
a
b
c
O
P
α
p
a
c
b
B
C
A
Q
Q
α
a
b
c
O
P
p
a
c
b
B
C
A
O
Q
P
p
a
c
b
B
C
A
α
a
b
c
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
xa
O
Q
P
p
a
c
b
yb
zc
B
C
A
α
a
b
c
问题2 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
那么，所有空间向量组成的集合就是
{ p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
空间向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectors)．
问题3 空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
答：任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．
空间的基底有无穷多个．
{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当 a，b，c不共面．
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
i
j
k
O
a
i
j
k
P
Q
O
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk．
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{e1，e2}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{a，b，c}
{e1，e2}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
问题4
平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
一维
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
一维
{a}
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
空间向量基本定理
平面向量基本定理
向量共线充要条件
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
向量 a ( a ≠ 0)与向量 b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使
b＝λa.
{a，b，c}
{e1，e2}
二维
三维
一维
{a}
给我一个支点，我可以撬起地球．
——阿基米德
给我一个基底，
我还你一个空间！
1. 如图，已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，点G是侧面BB′C′C的中心，且
(1) {a，b，c}是否构成空间的一个基底？
(2) 如果{a，b，c}构成空间的一个基底，
那么用它表示下列向量：
课后作业
2.已知四面体 OABC，M，N 分别是边 OA，BC的中点，且
，用a，b，c表示向量