高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.2空间向量基本定理(2)-课件(共19张PPY)

空间向量基本定理（2）
问题1 你能用自己的语言复述空间向量基本定理吗？
空间向量基本定理
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectors) .
　　如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc.
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 ，
，用向量 表示
问：是否一定能做到？
答： 不共面，
空间向量基本定理保证了可行性．
可以构成空间的一个基底．
O
A
B
C
M
N
P
答：可以利用向量线性运算的
运算法则，如三角形法则、
平行四边形法则等．
问：如何进行表示？
O
A
B
C
M
N
P
例1 如图，M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上，且 ，
，用向量 表示
解：
O
A
B
C
M
N
P
Q
问题2 通过这道例题的解题过程，同学们能否总结出用基向量表示空间向量的方法呢？
结合图形特征，利用三角形法则、平行四边形法则、向量数乘等线性运算法则，将待求向量逐步转化为基向量，将未知化归为已知.
用基向量表示空间向量的方法
答：综合几何方法：
问：证明异面直线垂直，你能想到
哪些方法？
向量方法．
证明异面直线所成角为直角；
线面垂直的定义和性质等．
例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
答：可以转化为向量问题
问：如何使用向量方法解决立体几何
问题？
例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
答：可以转化为向量问题
问：如何使用向量方法解决立体几何
问题？
例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
求证
只需证
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
例2 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4， AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．
求证 MN⊥AC1．
问：如何计算 ？
向已知条件转化．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
4
证明：
设
这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．
则
所以
所以
所以
选取基底(不共面且已知长度夹角)
4
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
4
5
用基向量表示相关向量
还原为几何问题的解
把相关向量的运算转化为基向量的运算
向量问题的解
选取基底(不共面且已知长度夹角)
证明：
设
这三个向量不共面，{a，b，c}是空间的一个基底．
则
所以
所以
所以
选取基底(不共面且已知长度夹角)
立体几何问题
用向量方法解决立体几何问题的路径
①适当选取基底
向量
运算
转化
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
向量问题
向量问题的解
立体几何问题的解
转化
向量方法
理论基础：空间向量基本定理
答：可以取单位正交基底．
例3 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F， G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
问：单位正方体这个条件对解题
有什么作用？
单位：基向量长度为1．
正交：基向量两两垂直，
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
任意两不同基向量数量积为0．
问：如何用向量方法证明EF//AC？
答：只需证 ，
只需证存在实数 λ，
使得 ．
例3 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F， G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
证明：
设
则 {i，j，k} 构成空间的一个单位正交基底．
所以
所以
所以
所以
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
i
j
k
问：如何用向量表示 CE 与 AG 所 成角的余弦值？
答：求 与 所成角的余弦值．
例3 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F， G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
（2）求 CE 与 AG 所成角
的余弦值．

A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
i
j
k
解：
因为
所以
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
i
j
k
所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为
1
0
0
0
选取单位正交基底
有利于运算
解：
因为
所以
思考：是否可以用 与 所
成角的余弦值来求解第2小问？
例3 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F， G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
（2）求 CE 与 AG 所成角
的余弦值．
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
应用一个定理：空间向量基本定理
学习一种方法：向量方法
体会一种思想：转化与化归思想
课堂小结
课后作业
1. 如图，在棱长为1的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，BD的中点，点 G 在 CD 上，且
（1）求证：EF⊥B1C ;
（2）求 EF 与 C1G 所成角的余弦值．
(思考题)用综合几何方法证明或求解例
题，体会综合几何方法与向量方法的特点．