高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.3.1空间直角坐标系-课件(共69张PPT)
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册第一章1.3.1空间直角坐标系-课件(共69张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-28 21:30:57 | ||
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文档简介
空间直角坐标系
问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？
追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？
类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}坐标系三要素
平面直角
坐标系
空间直角
坐标系
坐标原点
单位长度
三条互相垂直的坐标轴
坐标原点
互相垂直的两条坐标轴 轴和 轴
单位长度
原点
坐标轴
单位长度
追问2：你能否给出空间直角坐标系的定义呢？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}平面直角坐标系
空间直角坐标系
在平面内选定一点 和一个单位正交基底 ， .
以 为原点，分别以 ，
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴： 轴、 轴.
叫做 ， ， ，
在空间选定一点 和三个基向量，
以 为原点，
， ，
它们是两两互相垂直的单位向量.
分别以
的方向为正方向，
以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、
轴、 轴.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , .
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , .
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
追问3：空间直角坐标系如何画呢？
平面直角坐标系
空间直角坐标系
平面直角坐标系
空间直角坐标系
平面直角坐标系
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}平面直角坐标系内
空间直角坐标系内
取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数 ， ，使得 . 我们把有序数对 ， 叫做 的坐标，记作 ， .
取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 .
定义：在单位正交基底 ，， 下与向量 对应的有序实数组 ， ， ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 , , ， 其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标.
追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？
追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？
追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？
我们在空间直角坐标系 中可以作 .
我们在空间直角坐标系 中可以作 .
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使
有序实数组 ，， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ，
追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？
问题3: 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标 ， ， 吗？
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
即点 或者向量 的坐标就是 ， ， .
思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 或任意一个向量 的坐标呢？
点 的坐标
给定的向量 的坐标
的坐标
?
?
应用空间向量基本定理确定坐标
根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
（2）写出向量 , , , 的坐标.
追问1：题目条件中的 ， ， 为什么是单位正交基底？
由图可知， 在 轴上，且 ，所以
，
同理 ， ，所以 ， ，
是单位正交基底.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
追问2：求空间点的坐标我们有哪些
基本解题思路？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问3：观察图形，所求的 ， ， ，
四点的位置有什么不同？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
解：因为点 在 轴上，且 ，根据
空间向量基本定理易得 .
所以点 的坐标是 , , .
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
解：同理，点 的坐标就是 的坐标，由空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是 , , .
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}点的位置
点的坐标
点 在 轴上
方法提炼：
点 在 轴上
, ,
, ,
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
点 在 轴、 轴和 轴上的射影分别是 ，， ，它们在坐标轴上的坐标分别是 ，， ，所以点 的坐标是 ，， .
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
点 在 轴、 轴和 轴上的射影分别是 ， ， ，它们在坐标轴上的坐标分别是 ， ， ，所以点 的坐标是 ，， .
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
思路小结：
1）过点分别作各坐标轴的垂面；
2）确定点在坐标轴上的射影的坐标；
3）得到空间点的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
（2）写出向量 , , , 的坐标.
追问5：怎么求解空间给定向量的坐标？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
追问6：观察几何体，有没有过原点的向
量与所求向量相等？
在长方体中易知 ， ，
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
,
.
追问7：对于 和 ，没有棱所在的向
量与它们相等，那又该怎么办呢？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
思路小结：通过分析几何体的结构特征，将所求向量写成基向量的和，从而得到空间向量的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题5：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和
空间向量的坐标表示的？
问题6：如何求空间点或向量的坐标呢？
课后作业
1. 在空间直角坐标系中标出下列各点：
2. 在长方体 中， ， ， ， 与
相交于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 .
（1）写出点 的坐标；
（2）写出向量 ， 的坐标.
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
问题1：类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？
追问1：平面直角坐标系包含哪些要素？
类比到空间直角坐标系，它包括哪些要素？这些要素需要满足什么条件？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}坐标系三要素
平面直角
坐标系
空间直角
坐标系
坐标原点
单位长度
三条互相垂直的坐标轴
坐标原点
互相垂直的两条坐标轴 轴和 轴
单位长度
原点
坐标轴
单位长度
追问2：你能否给出空间直角坐标系的定义呢？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}平面直角坐标系
空间直角坐标系
在平面内选定一点 和一个单位正交基底 ， .
以 为原点，分别以 ，
的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立两条数轴： 轴、 轴.
叫做 ， ， ，
在空间选定一点 和三个基向量，
以 为原点，
， ，
它们是两两互相垂直的单位向量.
分别以
的方向为正方向，
以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、
轴、 轴.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , .
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , .
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
空间直角坐标系定义
在空间选定一点 和一个单位正交基底 , , . 以点 为原点，分别以 ， ， 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴： 轴、 轴、 轴，它们都叫做坐标轴. 这时我们就建立了一个空间直角坐标系 ， 叫做原点， ，， 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分.
追问3：空间直角坐标系如何画呢？
平面直角坐标系
空间直角坐标系
平面直角坐标系
空间直角坐标系
平面直角坐标系
空间直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
问题2：在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问1：空间中任意一点 与哪个向量的坐标相同？
追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}平面直角坐标系内
空间直角坐标系内
取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，有且只有一对实数 ， ，使得 . 我们把有序数对 ， 叫做 的坐标，记作 ， .
取与 轴、 轴、 轴方向相同的单位向量 ， ， 为基底，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使得 .
定义：在单位正交基底 ，， 下与向量 对应的有序实数组 ， ， ，叫做点 在空间直角坐标系中的坐标，记作 , , ， 其中 叫做点 的横坐标， 叫做点 的纵坐标， 叫做点 的竖坐标.
追问2：在空间直角坐标系中如何定义 的坐标呢？
追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？
追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？
我们在空间直角坐标系 中可以作 .
我们在空间直角坐标系 中可以作 .
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 ， ， ，使
有序实数组 ，， 叫做 在空间直角坐标系 中的坐标，上式可简记为 ， ，
追问3：对于给定的向量 又该如何定义它的坐标呢？
问题3: 在空间直角坐标系 中，对空间任意一点 ，或任意一个向量 ，你能借助几何直观确定它们的坐标 ， ， 吗？
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
过点 分别作垂直于 轴、 轴和 轴的平面，依次交 轴、 轴和 轴于点 ， 和 .
可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， .
即点 或者向量 的坐标就是 ， ， .
思路小结：目前，我们有哪些方法可以用于确定空间中一个点 或任意一个向量 的坐标呢？
点 的坐标
给定的向量 的坐标
的坐标
?
?
应用空间向量基本定理确定坐标
根据几何直观确定 在各坐标轴上的投影向量，从而求得坐标
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
（2）写出向量 , , , 的坐标.
追问1：题目条件中的 ， ， 为什么是单位正交基底？
由图可知， 在 轴上，且 ，所以
，
同理 ， ，所以 ， ，
是单位正交基底.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
追问2：求空间点的坐标我们有哪些
基本解题思路？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问3：观察图形，所求的 ， ， ，
四点的位置有什么不同？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
解：因为点 在 轴上，且 ，根据
空间向量基本定理易得 .
所以点 的坐标是 , , .
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
解：同理，点 的坐标就是 的坐标，由空间向量基本定理易得 . 所以点 的坐标是 , , .
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}点的位置
点的坐标
点 在 轴上
方法提炼：
点 在 轴上
, ,
, ,
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
点 在 轴、 轴和 轴上的射影分别是 ，， ，它们在坐标轴上的坐标分别是 ，， ，所以点 的坐标是 ，， .
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
追问4：点 在 轴、 轴、 轴的射影点是谁？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
点 在 轴、 轴和 轴上的射影分别是 ， ， ，它们在坐标轴上的坐标分别是 ， ， ，所以点 的坐标是 ，， .
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
思路小结：
1）过点分别作各坐标轴的垂面；
2）确定点在坐标轴上的射影的坐标；
3）得到空间点的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（1）写出 ， ， ， 四点的坐标；
（2）写出向量 , , , 的坐标.
追问5：怎么求解空间给定向量的坐标？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
追问6：观察几何体，有没有过原点的向
量与所求向量相等？
在长方体中易知 ， ，
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
,
.
追问7：对于 和 ，没有棱所在的向
量与它们相等，那又该怎么办呢？
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
思路小结：通过分析几何体的结构特征，将所求向量写成基向量的和，从而得到空间向量的坐标.
问题4 如图，在长方体 中， ， ，
, 以 ， ， 为单位正交基底，建立如图
所示的空间直角坐标系 .
（2）写出向量 , , , 的坐标.
问题5：回顾本节课的学习过程，我们是如何得到空间点和
空间向量的坐标表示的？
问题6：如何求空间点或向量的坐标呢？
课后作业
1. 在空间直角坐标系中标出下列各点：
2. 在长方体 中， ， ， ， 与
相交于点 ，建立如图所示的空间直角坐标系 .
（1）写出点 的坐标；
（2）写出向量 ， 的坐标.
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
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祝同学们学习生活愉快！